正交设计-方差分析.ppt

1 第11章 正交试验结果的统计分析方法 方差分析法 2 11.1正交试验方差分析的数学模型 (一)数学模型 根据一般线性模型的假定,若9次试验结果(如例10.2中的转化率 )以x1、x2,x表示,我们首先假定: (1)三个因素间没有交互作用。 (2)为9个数据可分解为: x1=+a1+b1+c1+1 x2=+a1+b2+c2+2 x3=+a1+b3+c3+3 x4=+a2+b1+c2+4 x5=+a2+b+c3+5 3 x6=+a2+b3+c1+6 x7=+a3+b1+c3+7 x8=+a3+b2+c1+8 x9=+a+b+c+9 其中:一般平均;估计=xi=x1+x2+x9叫全部数据的总体 平均值。 a1、a2、a3表示A在不同水平时的效应。 b1、b2、b3表示B在不同水平时的效应。 c1、c2、c3表示C在不同水平时的效应。 (3)各因素的效应为零,或者,各因素的效应的加和为零 ai=0 bi=0 ci=0 4 (4) i是试验误差,它们相互独立,且遵从标准正态分布N(0,1),所 以多个试验误差的平均值近似等于零。 (二)参数估计 有了数学模型,还应通过子样的实测值,对以上的各个参数作出 估计。 由数理统计知识 E（ ） E（ ）表示 的数学期望。即， 是的一个无偏估计 量。可表示为： 5 11.2 正交试验的方差分析法 一、方差分析的必要性 极差分析不能估计试验中以及试验结果测定中必然存在 的误差大小。为了弥补这个缺点，可采用方差分析的方法。 方差分析法是将因素水平（或交互作用）的变化所引起 的试验结果间的差异与误差波动所引起的试验结果间的差异区 分开来的一种数学方法 所谓方差分析，就是给出离散度的各种因素将总变差平 方和进行分解，而你还进行统计检验的一直数学方法。 6 二、单因素方差分析法 方差分析法的基本思路： （1）由数据中的总变差平方和中分出组内变差平方和、组间变 差平方和，并赋予它们的数量表示； （2）用组间变差平方和与组内变差平方和在一定意义下进行比 较，如两者相差不大，说明因素水平的变化对指标影响不大； 如两者相差较大，组间变差平方和比组内变差平方和大得多， 说明因素水平的变化影响很大，不可忽视； （3）选择较好的工艺条件或进一步的试验方向。 7 例11.1 考察温度对一化工产品的得率的影响，选了五种不 同的温度，同一温度做了三次试验，结果如下： A A1 A2 A3 A4 A5 温度() 60 65 70 75 80 得 率 (%) 平均得率 90 97 96 84 84 92 93 96 83 86 88 92 93 88 82 90 94 95 85 84 表1测定结果 8 9 10 11 12 13 14 15 方差来源 变差平方和 自由度 平方差平方和 F临 FA 显著性 A SA=303.6 4 75.9 3.5 15.18 * e Se=50.0 10 5.0 6.0 总和 16 17 11.3.1：正交设计方差分析的步骤 11.3.2：3水平正交设计的方差分析 11.3.3：混合型正交设计的方差分析 11.3.4：拟水平法的方差分析 11.3.5：重复试验的方差分析 11.3：正交试验方差分析 18 计算离差的平方和: 设用正交表安排m个因素的试验，试验总次数为n, 试验的结果分 别为x1, x2, , xn. 假定每个因素有na个水平，每个水平做a次试 验，则n = ana. 1) 总离差的平方和ST记: 记为 其中 ST反映了试验结果的总差异，它越大，说明各次试验的结果之间 的差异越大。试验结果之所以有差异，一是由因素水平的变化所 引起的，二是因为有试验误差。 11.3.1 正交设计方差分析的步骤 19 2) 各因素离差的平方和 由单因素的方差分析 记为 其中 Ki 表示因素的第i 个水平a次试验结果的和。 SA反映了因素A的水平变化时所引起的试验结果的差异，即因素A 对试验结果的影响。对于两因素的交互作用，我们把它当作一个 新的因素。如果交互作用占两列，则交互作用的离差的平方和等 于这两列的离差的平方和之和。比如 SAxB = S(AxB)1 + S(AxB)2 20 3) 试验误差的离差的平方和SE 设S因+交为所有因素以及要考虑的交互作用的离差的平方和， 因为 ST = S因+交 + SE, 所以 SE = ST - S因+交 计算自由度: 试验的总自由度 f总 = 试验总次数 - 1 = n - 1 各因素的自由度 f因 = 因素的水平数 - 1 = na - 1 两因素交互作用的自由度等于两因素的自由度之积fAxB = fA X fB 试验误差的自由度fE = f总 - f因+交 21 计算平均离差平方和(均方): 在计算各因素离差平方和时，我们知道，它们都是若干项平方 的和, 它们的大小与项数有关，因此不能确切反映各因素的情况。 为了消除项数的影响，我们计算它们的平均离差的平方和。 因素的平均离差平方和 = (因素离差的平方和)/因素的自由度 = S因/f因 试验误差的平均离差平方和 = (试验误差的离差的平方和)/试验误差的自由度 = SE / fE 求F比:将各因素的平均离差的平方和与误差的平均离差平方和相 比，得出F值。这个比值的大小反映了各因素对试验结果影响程度 的大小。 22 对因素进行显著性检验: 给出检验水平，从F分布表中查出临界值F(f因，fE)。将在“求 F比”中算出的F值与该临界值比较，若F F(f因，fE)，说明该因 素对试验结果的影响显著，两数差别越大，说明该因素的显著 性越大。 23 11.3.2： 3水平正交设计的方差分析 例1 (无交互作用): 磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组件的关键部件之一，按质量要求其输 出力矩应大于210g.cm。某生产厂过去这项指标的合格率较低，从而 希望通过试验找出好的条件，以提高磁鼓电机的输出力矩。根据工 程技术人员的经验，取试验因素和相应水平如下表： 24 解：(选用正交表L9(34) 表头设计： 试验计划与试验结果： 25 26 详细计算如下： 27 列方差分析表如下： 最佳条件的选择： 对显著因子应取最好的水平，对不显著因子的水平可以任意选 取；在实际中通常从降低成本操作方便等角度加以选择，上面 的例子中对因子A与B应选择A2B2，因子C可以任选，譬如为 节约材料可选择C1 验证试验： 对A2B2C1进行三次试验，结果为：234，240，220，平均值 为231.3. 此结果是满意的 28 （二）有交互作用的正交试验的方差分析 当任意两因素之间(如A与B）存在交互作用而且显著时， 则不论因素A、B本身的影响是否显著，A和B的最佳因素都应从 A与B的搭配中去选择 例2 某分析试验，起测定值受A、B、C三种因素的影响 ，每因素去两个水平，由于因素间存在交互作用，在设计试验 方案时，可选用L8(27)表，试验安排结果如表（试验指标要求越 小越好） 29 因素 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 K1 K2 Qi Si A 1 B 1 AB 3 C 4 BC 6 误差 7 试验指标 （经简化后） AC 5 1 1 1 1 2 2 2 2 -5 0 6.25 3.125 1 1 2 2 1 1 2 2 +10 -15 81.25 78.125 1 1 2 2 2 2 1 1 0 -5 6.25 3.125 1 2 1 2 1 2 1 2 -30 25 706.25 703.125 2 1 2 1 2 1 2 1 25 -30 256.25 253.15 1 2 2 1 1 2 2 1 -5 0 6.25 3.125 1 2 2 1 2 1 1 2 5 -10 31.25 28.125 0 5 -10 0 -5 10 -15 10 正交试验结果计算表 30 31 方差来源 平方和 自由度 均方 F FA 显著性 方差分析表 B C AC A AB BC 误差 总和 78.125 703.125 253.125 3.125 3.125 3.125 28.125 1071.875 1 1 1 1 1 1 1 7 78.125 703.125 253.125 8.3 75 25 F0.05(1,4)=7.1 F0.01(1,4)=21.2 32 结果表明B、C、AC对试验结果影响最大，B可取B2，而A和C见 存在显著的交互作用，可通过二元表和二元图来确定其最优水平 A C A1A2 C1-10-20 C2 5 20 由图可知，A2C1最好,故最 佳试验条件为A2B2C1，这 正好是第7号试验。事实上 ，从试验结果看，它的效果 也最好。 20 10 0 -10 -20 -30 -40 A1A2 指标 A C1 C2 33 说明：对二水平因素，平方和的计算有一个简单的公式 设计算方法对任何二水平的因素都是适用的，设共做了n次 试验，某一列是二水平，相应的K值是K1和K2 则该列的平方和S为: 34 例4（无交互作用） 某钢厂生产一种合金，为便于校直冷拉，需要进行一次退火热处 理,以降低合金的硬度。根据冷加工变形量，在该合金技术要求范 围内,硬度越低越好。试验的目的是寻求降低硬度的退火工艺参数 。考察的指标是洛氏硬度(HR)，经分析研究，要考虑的因素有3个 ： 退火温度A，保温时间B，冷却介质C。 11.3.3：混合型正交设计的方差分析 35 解： 36 37 方差分析表： 从F值和临界值的比较看出，各因素均无显著影响，相对来说， B的影响大些。为提高分析精度，我们只考虑因素B，把因素A ，C都并入误差。这样一来，SE就变成SA + SC + S4 + S5 = 0.445 + 0.18 + 1.125 + 0.500 = 2.250，再列方差分析表。 38 方差分析表(2)： 临界值 F0.05(1，6) = 5.99, F0.01(1, 6) = 13.75 从F值和临界值的比较来看，因素B就是显著性因素了。 因素影响从大到小的顺序为BCA，选定的最优方案应为A2B2C1 39 例6: 钢片在镀锌前要用酸洗的方法除锈。为了提高除锈效率，缩短 酸洗时间，先安排酸洗试验。考察指标是酸洗时间。在除锈效 果达到要求的情况下，酸洗时间越短越好。要考虑的因素及其 水平如表： 选取正交表L9(34)，将因素C虚拟1个水平。据经验知，海鸥牌比 OP牌的效果好，故虚拟第2水平并安排在第1列。 11.3.4 拟水平法的方差分析 40 解：虚拟水平的因素C的第1水平重复3次，第二水平重复6次。因此，离差平方和 为： 其余因素的离差平方和为 误差的离差平方和为： 41 42 方差分析表： 从F值和临界值比较看出，各因素均无显著影响，相对来说，因素 D的影响大些。我们把影响最小的因素B并入误差，使得新的误差 平方和为SE= SE + SB，再列方差分析表 43 方差分析表(2)： 由此看出，因素D有显著影响，因素A，B均无显著影响。因素重要 性的顺序为DCAB，最优方案为A3B1C2D3. 44 上机作业 2、 在某种化油器设计设计 中希望寻寻找一种结结构，使在不同天气条件下均具有 较较小的比油耗。试验试验 中考察的因子水平如表，。 试验结