随机过程的基本概念.ppt

第一章 随机过程的基本概念 1.1 基本概念 1.2 有限维分布与柯尔莫哥洛夫定理 1.3 随机过程的数字特征 电子科技大学 1.1 基本概念 Ex.1 对某城市的气温进行n年的连续观察, 记录得 一、实际背景 在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特 定时间点上的一次观察,且需要做多次的连续不 断的观察,以观察研究对象随时间推移的演变过 程. 电子科技大学 研究该城市气温有无以年为周期的变化规律? 随机过程的 谱分析问题 Ex.2 从杂乱电讯号的一段观察Y(t),0 t T 中,研究是否存在某种随机信号S(t )? 过程检测 Ex.3 监听器上收到某人的话音记录Z(t),t 试问他是否确实是追踪对象？ 过程识别 电子科技大学 二、随机过程定义 为(F,P)上的一个随机过程. 定义 设(,F, P)是概率空间, ,若对每个 是概率空间(F,P)上的随机变量, 则称这族随机变量 注 1) 称T是参数集(或参数空间) 当T=(1,2, ，n), 随机向量 电子科技大学 当T=(1,2, ,n,), 随机时间序列 随机过程是n 维随机变量，随机变量序列的 一般化,是随机变量X(t), 的集合. 用E表示随机过程 的值域,称E为 过程的状态空间. Ex.4 设(,F, P)是对应于抛均匀硬币的概率 空间: 电子科技大学 做无穷多次抛硬币独立试验,引入随机变量 则 是一随机过程. 其参数集T =0,1,2, 状态空间E=0,1. 随机过程的理解 为集合T 与的积集. 称 电子科技大学 随机过程 可看成定义在积集 上的二 元函数 1)当固定 是一个随机变量； 2)当固定 ,作为 的函数， 是一个 定义在T上的普通函数. T 电子科技大学 X(t1,)X(t2,) X(t,1) X(t,2) X(t,3) t1t2tn 定义 对每一固定 ，称 是随机过程 的一个样本函数. 也称轨道, 路径,现实 . 电子科技大学 Ex.5 利用抛硬币的试验定义一个随机过程， 设出现正反面的概率相同 ,写出 X(t) 的所有 样本函数. 解记 1= 出现正面,2= 出现反面, 则X(t)的所有现实为 x(1,t)= cost,和 x(2, t)= 2t. 电子科技大学 1、分布函数定义 对任意 ,二维随机变量(X(s),X(t)联 合分布函数 定义1 随机过程 ，对 随机变量X(t)的分布函数 ,称为过程XT 的一维 分布函数. 二、有限维分布与柯尔莫哥洛夫定理 电子科技大学 称为XT 的二维分布函数族. 定义2 过程 对任给的 随机向量 的联合分布函数 称为过程的n 维分布函数.记 电子科技大学 称F为XT 的有限维分布函数族. 定义3 过程 的n 维特征函数定义为 电子科技大学 特征函数和分布函数是相互唯一确定. 称 为XT 的有限维特征函数族. 2. 随机过程存在定理 随机过程的有限维分布函数族满足以下 两个性质 （1）对称性 电子科技大学 对1,2,n 的任一排列j1, j2, , jn,均有 对任意固定的自然数mn,均有 （2）相容性 注 联合分布函数能完全确定边缘分布函数. 因事件乘积满足交换律.注 电子科技大学 类似地,随机过程的有限维特征函数满足: 1) 对1,2,n的任一排列j1 , j2 , , jn 有 2) 对任意固定的自然数mn,均有 电子科技大学 3、随机过程存在定理(柯尔莫哥罗夫) 如果分布函数族 满足条件(1)和(2),则存在一个概率空间上的一 个随机过程 ,其有限维分布函 数族恰为 即有 电子科技大学 在实际应用中,很难确定出随机过程的有限维 分布函数族,过程的数字特征能反映其局部统计性 质. 1、均值函数、方差函数及相关函数 定义 给定随机过程 ,称 为过程XT的均值函数. 需确定各类数字特征随时间的变化规律. 三、随机过程的数字特征 电子科技大学 定义 给定随机过程 ,称 为过程XT的方差函数. 称 为过程XT的均方差函数. 需要描述不同时刻过程状态的关联关系. 定义 给定随机过程 ,称 为过程XT的协方差函数. 有 电子科技大学 定义 给定随机过程 ,称 为过程XT的自相关函数. 有 特别当 时XT是零均值过程 称 为过程XT的自相关系数. 电子科技大学 定义 给定两个随机过程 称 为 和 的互协方差函数。称 为 和 的互相关函数。 电子科技大学 Ex.1 设p,q是两个随机变量, 构成随机过程 均值函数为 自相关函数为 若p,q相互独立，且均服从分布N(0,1)，则 电子科技大学 Ex.2 设随机过程 其中是正常数, 随机变量A 与相互独立, A N(0,1), U(0, 2).试求过程的均值函数和相关 函数. 解 电子科技大学 随机变量函 数的数学期 望公式 电子科技大学 2、复随机过程 定义 设 和 是两个实随 机过程，称 为复随机过程. 复随机过程 的均值函数为 方差函数为 电子科技大学 自相关函数为 自协方差函数为 定义 设 和 是两个复随机 过程,它们的互相关函数定义为 互协方差函数为 电子科技大学 四、随机过程的分类 1. 按状态空间和参数集进行分类 1) T, E 均为可列集; 2) T 是可列集, E 不可列; 3) T 不可列, E 为可列集; 4) T, E 均不可列. 电子科技大学 当T为可列集,称为离散参数随机过程, 随机 序列, 时间序列. 当E 为可列(或有限)集,称为离散状态随机过 程. 2. 按概率结构进行分类 1) 二阶矩过程 若过程 对每一个 , 的 二阶矩都存在. 电子科技大学 2) 平稳过程 宽平稳过程（或协方差平稳过程） 若 仅依赖 称为宽平稳过程 。 严平稳过程 有相同的联合分布，则称该过程为严平稳过程。 若 电子科技大学 定义：设 为一平稳过程 （或平稳序列），若 或 则称X的均值具有遍历性。此处极限为均 方意义，即 平稳过程的遍历性 电子科技大学 若 或 则称X的协方差具有遍历性。若一个随机过 程的均值和协方差函数都具有遍历性，则称 随机过程具有遍历性。 电子科技大学 定理（均值遍历性定理） （1）设X=Xn,n=0, 1, 2, 是平稳序列， 其协方差函数为 ，则X有遍历性的充要 条件是 （2）设X=Xt,-t+ 是平稳过程，则X 有遍历性的充要条件是 电子科技大学 给出连续型的证明： 电子科技大学 做变换 则Jacobi行列式的值为 积分区域变为 电子科技大学 所以有 电子科技大学 推论1：若 则均值遍历性定理成立。 证明：因为，当 时，有 电子科技大学 推论2：对于平稳序列而言，若 则均值遍历性定理成立。 证：给出离散型情形，由Stoltz定理 令 电子科技大学 定理（协方差函数遍历性定理） 设X=Xt,-t+ 是平稳过程，其均值函数 为零，则协方差函数有遍历性的充要条件是 其中 电子科技大学 例 设 ， 则 的均值有遍历性。 证明 其均值为 其协方差函数为 电子科技大学 所以， 是平稳过程