立体几何9-2简单几何体的表面积和体积.ppt

n重点难点 n重点：柱、锥、台、球的表面积与体积公式 及其应用 n难点：公式的灵活运用 n知识归纳 n1圆柱的侧面积S2Rh(R、h分别为圆 柱的底面半径和高) n2圆锥的侧面积SRl(R、l分别为圆锥底 半径和母线长) n3球的表面积S4R2(R为球半径) n4把棱柱(棱锥、棱台)的侧面沿一条侧棱 剪开后展在一个平面上，展开后的图形称为 棱柱(棱锥、棱台)的侧面展开图；展开图的 面积称为棱柱(棱锥、棱台)的侧面积 n(1)直棱柱的底面周长为 c，高为h，则S直棱 柱侧ch. n(4)棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的 和；棱锥的全面积等于底面积与侧面积的 和；棱台的全面积等于侧面积与两底面积 的和 n5祖暅原理的应用：等底面积、等高的柱 体(或锥体)体积相等 n6柱体体积V柱Sh.特殊地，圆柱体积V r2h. n棱锥的平行于底面的截面性质：棱锥被平 行于底面的平面所截，截面与底面相似，相 似比等于截得小棱锥与原棱锥的对应边 (侧 棱、高)的比面积比等于相似比的平方， 若棱锥为 正棱锥，则两底面对应 半径的比 、对应边 的比、对应边 心距的比、斜高的 比都等于相似比 n误区警示 n1弄清面积、体积公式中各个字母的含义 ，准确应用公式 n2棱锥、棱台、圆锥、圆台的平行于底面 的截面性质的基础是相似形的知识，要分清 究竟是哪个量和哪个量对应 n一、割补法 n割补法是割法与补法的总称补法是把不熟 悉的(或复杂的)几何体延伸或补成熟悉的(或 简单的)几何体，把不完整的图形补成完整 的图形割法是把复杂的几何体切割成简单 的几何体 n二、等积变换 n在求几何体的体积，高(点到面的距离)等问 题时，常常要通过等积变换来处理，等积变 换的主要依据有： n(1)平行线间距离处处相等 n(2)平行平面间的距离处处相等 n(3)若l，则l上任一点到平面的距离都相 等 n(4)等底面积等高的柱(锥)体的体积相等，锥 体的体积是等底面积等高的柱体体积的 . n(5)三棱锥ABCD中有VABCDVBACD VCABDVDABC. n三、卷起、展开与折迭 n(1)将平面图形卷成旋转体(或将旋转体侧面 展开)、将平面图形折成多面体，要注意折( 卷、展)前后几何量的对应关系和位置关系 ，弄清哪些量发生了什么变化，哪些量没有 变化，特别注意其中的平行、垂直位置关系 n(2)多面体或旋转体的表面距离最值问题， 常通过展开图来解决 n答案：A n点评：解题时，首先弄清所给几何体的形状特征及有关的面积、体积计算公式及 方法是解决这类问题的关键 n(文)如图为 一个几何体的三视图 ，左视图 和主视图 均为矩形，俯视图为 正三角形， 尺寸如图，则该 几何体的侧面积为 ( ) nA6 B12 nC24 D32 答案：C n答案：B n点评：不要将左视图的面积与三棱柱一个侧面的面积混淆. n例2 (2010陕西文)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面 ABCD，APAB，BPBC2，E，F分别 是PB，PC的中点 n(1)证明：EF平面PAD； n(2)求三棱锥EABC的体积V. n分析：(1)由 E、 F为中点易想到中位线获证 n(2)求三棱锥E ABC的体积，由于ABC面积易求，需看E到平面 ABC的距离是否可求，注意到E为 PB中点，PA平面ABCD，因此 只需取AB中点G，则EG为高，或由E为 PB中点知，E到平面ABC的 距离等于P到平面ABC的距离的一半而P到平面ABC的距离为PA，也 可获解 n解析：(1)在 PBC中，E， F分别是PB， PC的中点， nEFBC. n又 BCAD， EFAD， n又 AD平面PAD， EF平面PAD， nEF平面PAD. n答案：C n点评：(1)等底面积与高的柱体(锥体)体积相等，且柱体体积是锥体体积的3 倍，在求体积和等积变换中是经常用到的结论 n(2)求棱锥的体积，关键找(求 )出棱锥的高 n(理)如图，已知在多面体ABCDEFG中， AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC平 面DEFG，平面BEF平面ADGC，AB ADDG2，ACEF1，则该 多面体的 体积为 ( ) nA2 nB4 nC6 nD8 n解析：补成长方体ABMC DEFN并连接CF，易知三棱锥F BCM与三棱锥C FGN的体积相等，故几何体体积等于长方体的体积4.故 选 B. n答案：B n点评：1.也可以用平面BCE将此几何体分割为两部分，设平面BCE与 DG的交点为H，则ABC DEH为一个直三棱柱，由条件易证EH綊 FG綊BC，平面BEF平面CHG，且BEFCHG ， 几何体BEF CHG是一个斜三棱柱，这两个三棱柱的底面都是直角边长 为 2和 1的直角三角形，高都是2， 体积为4. n2如图(2)，几何体ABC DEFG也可看作棱长为2的正方体中，取棱 AN、 EK的中点C、 F，作平面BCGF将正方体切割成两部分，易证这两 部分形状相同，体积相等，VABC DEFG 23 4. n例3 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E 、F分别为 AB、AC的中点，平面EB1C1F将 三棱柱分成、两部分，求和的体积 之比 n分析：第 部分为棱台，第部分是不规则几何体，可通过棱柱体积减去棱 台体积得到其体积 n(2010浙江理，12)若某几何体的三视图 (单 位：cm)如图所示，则此几何体的体积是 _cm3. n解析：由三视图知，该几何体是一个正四棱台和一个正四棱柱的组合体，四棱台 下底面边长为8，上底面边长为4，高为3，上面正四棱柱底面边长为4，高为2， 则体积为 nV (42 82 48)3 442 144cm3. n答案：144 n例4 底半径为1，高为 的圆锥 ，其内接 圆柱的底面半径为R，当R为何值时 ，内接 圆柱的体积最大？ 点评：也可以利用导数求其最值 答案：C n(理)已知球的半径为R，在球内作一个内接 圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时 ， 它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少 ？ n例5 四棱锥PABCD中，侧面PAD是正 三角形，且与底面垂直，又底面ABCD为矩 形，E是PD中点 n(1)求证：PB平面ACE； n(2)若PBAC，且PA2，求三棱锥E PBC的体积 n解析：(1)设矩形ABCD对角线AC与 BD交点为O，则O为 BD 中点，又E为 PD中点，EOPB， nPB平面ACE， EO平面ACE， PB平面ACE. n(2)作 PF平面ABCD，垂足为F，则F在 AD上， n又 PA PD， F为 AD中点，连BF交 AC于 M， nPF平面ABCD， AC平面ABCD， ACPF ， n又 ACPB， PBPF P， AC平面PBF， nACBF， nAD PA 2， AF FD 1， BC 2， n已知某几何体的直观图 和三视图 如图所示 ，其正(主)视图为 矩形，侧(左)视图为 等腰 直角三角形，俯视图为 直角梯形 n(1)若M为CB中点，证明：MA平面CNB1 ； n(2)求这个几何体的体积 n(2)该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形， BA， BC， BB1两两垂直，BC平面ABB1N， BC为三棱锥C ABN的高，取BB1的中点Q，连接NQ，如图所示 ， 四边形ABB1N为直角梯形且AN BB1 4， 四边形 ABQN为正方形，NQBB1.又 BC平面ABB1N， NQ平面ABB1N， BCNQ，且BC与 BB1相交于B ， NQ平面C1B1BC， NQ为四棱锥N CBB1C1的高， 则原几何体的体积 n一、选择题 n1(文)(2010新课标全国文)设长方体的长 、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个 球面上，则该球的表面积为( ) nA3a2 B6a2 nC12a2 D24a2 n答案 B n(理)侧棱长为 4，底面边长为 的正三棱柱的 各顶点均在同一个球面上，则该 球的表面 积为 ( ) nA76 B68 nC20 D9 n答案 C n答案 D n解析 原几何体是一个底面边长为2，高为1的正三棱柱， n则 S侧 3(21) 6. n(理)(2010安徽理，8)一个几何体的三视图 如图，该几何体的表面积为 ( ) nA280 nB292 nC360 nD372 n答案 C n解析 由三视图知该几何体是两个长方体的组合体，上面的长方体的表面积为