基本不等式及应用.doc

基本不等式及应用一、考纲要求：1.了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题3了解证明不等式的基本方法综合法二、基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件a0，b0ab三、常用的几个重要不等式(1)a2b22ab(a，bR) (2)ab()2(a，bR)(3)()2(a，bR) (4)2(a，b同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是ab.四、算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四个“平均数”的大小关系；a，bR+：当且仅当ab时取等号.五、利用基本不等式求最值：设x，y都是正数(1)如果积xy是定值P，那么当xy时和xy有最小值2.(2)如果和xy是定值S，那么当xy时积xy有最大值S2.强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数； 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。等：等号成立的条件必须存在.2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性）想一想:错在哪里？3、已知两正数x，y满足xy1，则z(x)(y)的最小值为_解一：因为对a0，恒有a2，从而z(x)(y)4，所以z的最小值是4.解二：z(xy)2222(1)，所以z的最小值是2(1)【错因分析】错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的【正确解答】z(x)(y)xyxyxy2，令txy，则0txy()2，由f(t)t在(0，上单调递减，故当t时， f(t)t有最小值，所以当xy时z有最小值.误区警示：(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因如函数y12x(x0)有最大值12而不是有最小值12.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错课堂纠错补练：若0x，则f(x)sinx的最小值为_解析：令sinxt,00，b0，ab1，求证：4.【证明】(1)a0，b0，ab1，2224(当且仅当ab时等号成立)4.原不等式成立练习：已知a、b、c为正实数，且abc1，求证：(1)(1)(1)8.证明：a、b、c均为正实数，且abc1，(1)(1)(1)8.当且仅当abc时取等号考点2利用基本不等式求最值 (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法例4： (1)设0x2，求函数的最大值【分析】由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件【解】(1)0x0，y，当且仅当x2x即x1时取等号，当x1时，函数y的最大值是.(2) x0，求f(x)3x的最小值；（3）已知:x0,y0.且2x+5y=20,求 xy的最大值.（4）已知a，求的取值范围显然a2，当a2时，a20，a(a2)2226，当且仅当a2，即a4时取等号，当a2时，a20，y0，且xy1，求的最小值 x0，y0，且xy1，()(xy)77274，当且仅当，即2xy时等号成立，的最小值为74.练习：求下列各题的最值(1)已知x0，y0，lgxlgy1，求z的最小值；解：(1)由x0，y0，lgxlgy1，可得xy10.则2.zmin2.当且仅当2y5x，即x2，y5时等号成立(2)x0，求f(x)3x的最大值；x0，f(x)3x212，等号成立的条件是3x，即x2，f(x)的最小值是12.(3)x3，求f(x)x的最大值x3，x30，f(x)x(x3)3(3x)3231，当且仅当3x，即x1时，等号成立故f(x)的最大值为1.（4），求的最大值。考点3利用基本不等式求最值的解题技巧1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式。2拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值例3：（1）已知,，求的最小值。（2）已知，求的最大值。（3）已知，求的最大值。（4）求函数的最大值。（5）设abc0，求2a210ac25c2的最小值。A2B4C2D5【分析】通过拆、拼、凑创造条件，利用基本不等式求最值，但要注意等号成立时的条件【解析】原式(a210ac25c2)aba(ab)a2aba(ab)(a5c)2aba(ab)0224，当且仅当，即a，b，c时，等号成立【答案】B练习：（1）(2011年浙江)设x，y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_解析：4x2y2xy1，4x24xyy23xy1(2xy)213xy2xy()2(2xy)21(2xy)2(2xy)2即2xy当且仅当2xy时取等号，(2xy)最大值.（2）已知，求的最大值。（3）已知，求的最小值及相应的的值。考点4基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤是：(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答例4 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用【分析】(1)首先明确总费用y旧墙维修费建新墙费，其次，列出y与x的函数关系式；(2)利用基本不等式求最值，最后确定取得最值的条件，作出问题结论【解】(1)如图，设矩形的另一边长为a m.则y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知xa360，得a，所以y225x360(x2)(2)x2，225x210800.y225x36010440.当且仅当225x时，等号成立即当x24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元方法归纳：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解练习：1、有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：dkv2ll(k为正常数)，假定车身长都为4 m，当车速为60 km/h时，车距为2.66个车身长(1)写出车距d关于车速v的函数关系式；(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？解：(1)当v60 km/h时，d2.66l，k0.0006，d0.0024v22.(2)设每小时通过的车辆为Q，则Q，即Q.0.0024v20.24，Q.当且仅当0.0024v，即v50时，Q取最大值.答：当v50 km/h时，大桥上每小时通过的车辆最多2、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840，画面的宽与高的比为，画面的上下各留8的空白，左右各留5空白，怎样确定画面的高于款的尺寸，使宣传画所用纸张面积最小？如果要求，那么为何值时使宣传画所用纸张面积最小？归纳提升：1创设应用基本不等式的条件：(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目的是使“和式”或“积式”为定值，且每项为正值；(2)在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法 2常用不等式：以下不等式