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九年级数学竞赛专题 第一讲 因式分解一、选择题1下列由左边到右边的变形中，其中是因式分解的是（ ）a(2a+3)()2a-3)=4a-9; b4m-9=(2m+3)(2m-3)cm-16+3m=(m+4)(m-4)+3m; d2x(y+z)-3(y+z)=2xy + 2xz 3y 3z2下面各式的因式分解中，正确的是（ ）a-7ab 14 + 49aby = 7ab(1- 2x + 7y); bc6; dxy(x y ) x (y x ) = x (x y )(y 1 )3下面各式的因式分解中，正确的是（ ）abcd4下面各式的因式分解中，正确的是（ ）aab a + b + 1 = (a 1)(b + 1)b4xy + 1 4c3a 3b + 3x bx = (a b )(3 x )d5下列因式分解的变形中，正确的是（ ）abcd二、填空题1在代数式中是完全平方式的是_。2若：被2x 3 除后余3，则商式是_，且a = _。3在一个边长12.75平厘米的正方形内挖去一个边长为7.25厘米的正方形，则剩下的面积就是_。4乘积=_。5已知一个正六位数，前三位数字与后三位数字完全相同，那么这个六位数一定能被质数_整除。三、解答题1分解因式; ; ; ; ;2已知三角形的三条边a,b,c适合等式：，请确定三角形的形状。3已知：三个连续奇数，它们的平方和为251，求这三个奇数。4已知：2x 3 和 3x + 1是f(x) = 的因式，求a,b的值。5证明：（1）若n为整数，则一定是8的倍数；（2）若n为正整数时，- n 的值必是6的倍数；（3）四个连续自然数的积加1必为一完全平方数。答案一、选择题1b2c3d4d5c提示：1依据因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式乘积的形式称为分解因式。只有选项b正确，其中选项a、d均为整式乘法。2按照提取公因式的方式分解因式，同时注意分解因式后的结果，一般而言每个因式中第一项的系数为正、只有选项c正确。3利用公式法进行因式分解，同时注意分解因式后的最后结果必须分解彻底，只有选项d正确，选项b因式分解的结果并不彻底。4利用分组分解法同时结合公式法进行因式分解，只有选项d正确。5利用十字相乘法进行因式分解，同时注意因式分解是恒等变形，只有选项c正确，选项b非恒等变形。二、填空题：11；2x+4.5；3110平方厘米；4；57、11、13提示：1若代数式是完全平方式，则必可利用公式法进行因式分解。而只有（1）式=是完全平方式。2根据题意，利用大除法： a = 5，即：商式为x + 4，且a = 5.3依题意，原正方形面积为厘米，挖去的正方形面积为7.25平方厘米，利用平方差公式：乘下的面积就是12.75- 7.25=(12.75+7.25)(12.75 - 7.25) = 110平方厘米4原式5依题意，设所求的站位数为：，a,b,c均为自然数，则 1001=71113， a,b,c为自然数，100a + 10b + c 为自然数7三、解答题1分解因式：（1）十字相乘法：原式（2）配方法：原式=（3）配方法：原式 （4）原式= （5）法1：原式= 法2：原式= （6）法1：原式= 法2：原式= （7）原式= （8）反数法：原式= 2解，依题意：而a,b,c为三角形的三边长 a + b + c 0只有a = b = c，即三角形为等边三角形注：也可如下分解：原式= 3解：设这三个奇数依次为n 2 , n , n + 2，其中n为自然数，则n 2，则依题意：(n - 2) + n + (n+2) = 251 3n=243 n=81 n = 9或-9当n = 9时，n 2 = 7, n + 2 = 11;当n = - 9时,n 2 = - 11, n + 2 = -7.所以，这三个连续奇数为7、9、11；或7、-9、-114解：若(2x 3 )和(3x + 1)都是f(x) = ax+bx+32x + 15的因式，则(2x 3 )(3x + 1 ) = 6x-7x 3能整除f(x)。解法1：利用多项式与多项式的大除法：a = 6且b = - 37即： 解法2： n = -5, m = 1, b = -37, a = 6即5证明：（1）n为整数， 8 | 8n.即8|(2n+1)-(2n-1)命题得证；（2）n为正整数，(n+1)和n是连续2个自然数，必定一奇一偶，所以，2|n(n+1)；而(n-1),n,(n+1)是连续3个整数，必有一个是3的倍数，所以3|(n-1)n(n+1),即6|(n-1)n(n+1)。命题得证。（3）设这四个连续自然数依次为n 2, n 1, n , n + 1，其中n2且n为自然数，则依题意：(n 2 )(n 2 ) n (n + 1 ) + 1=(n 2 ) (n + 1)(n 1 )n + 1=(n- n 2 )(n- n ) + 1=(n- n )-2(n-n )+1=(n- n 1 )因为n为自然数，所以n- n 1 必为整数，即命题得证。九年级数学竞赛专题 第二讲 分式变形一、选择题1等介于（ ）（其中x18）a; b3y + 2x = 6; c; d2若且m0，则下列比例式中成立的应是（ ）a; b; c; d3化肥厂原计划x天一产化肥120吨，由于采用新技术，每天增加生产3吨，因此比原计划提前2天完成原计划，则列出的方程应是（ ）a; b; c; d4若y =(abc0)，则=（ ）a; b; c; d5两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精的体积和水的积体比是p：1，另一个瓶子中酒精的体积和水的体符号比是q：1，如果这两瓶的全部溶液混合在一起，在这混合液中酒精的体积与水的体积之比是（ ）a; b; c; d二、填空题1当x取_时，代式有意义。2比较大小：3若方程：的根均相等，则只需m的值是_。4已知：a + b + c = 0，则的值是_。5当x取_整数值时，分式的值为整数。三、解答题1化简：（1） （2）（3）（4）2证明以下各式：（1）若abc=1，则（2）若a + b + c = 0，则（3）已知：且，求证：（4）若：x = by + cz, y = cz + ax, z = ax + by,求证：.3（1）将下列各题分解为部分分式：;.（2）已知：，求a、b、c的值。4（1）已知a 0, b 0, c 0.求证：.（2）如果a，b，都是整数，并且a 1, b 1，试求：a + 2b 的值。5一件工程由甲、乙、丙、丁、戊五人工作，如果甲、乙、丙三人同时工作，需用7天完成；如果甲、丙、戊三人同时工作，需用5天完成；如果甲、丙、丁三人同时工作，需用6天完成，如果乙、丁、戊三人同时工作，需用4天完成，问五人同时工作，几天可以完成工作的答案一、选择题1d2d3d4d5b提示：1在（1）左右两边分虽乘以6xy：则18y + 12x = xy而 x18且y12选项d正确2不妨设a = 2, b = 4, c = 3, d =6，则m = 1时， 选项a错误， 选项b错误， 选项c错误， 选项d正确3若原计划x天生产化肥120吨，则日产量为：吨，而增产后的日产量为：吨（1）实际生产天数为(x 2 )天；则增产后的日产量为吨（2），则依题意有：，所以选项d正确。4由（1）（2）（3）得：abc0 xyz0由（4）可得：由（4）可得：由（4）可得：选项d正确5酒精体积与水体积之比是p：1的瓶子容积为1，其中所装纯酒精为，水为；酒精体积与水体积之比是q：1的瓶子容积为1，其中所装纯酒精为，水为。当两瓶混合所含纯酒精为（+），水为（+）所以酒精和水的体积之比为+：+=二、填空题1x0, x1；2；3m = ;40；54、6、8、10提示：1只有当：时，原分式才有意义；解得：时，原分式有意义。2解法1：两数作差：解法2：两数作商也可得：3解：m 1 0 原方程的根相等，则 时，时，原方程只有一个根4若a + b + c =0，则a + b = - c, b + c = - a, a + c = - b当a + b + c = 0时，=0原式= -3 + 3=05x为整数，所以2x + 5为整数所以只要为整数即可，所以x 7整除3即可。而3=13=（-1）（-3） 所以 x 7 = 1或x 7 = 3.所以x = 8或x = 6或x = 10或x = 4时原分式的值为整数。三、解答题1化简（1）解：原式=（2）原式=（3）原式= （4）原式= 2证明以下各式（1）证法1：abc=1左边= =右边所以等式成立。证法2：abc=1左边= =右边等式成立。（2）a + b + c = 0a = - (b + c), b = -(a + c), c = - (a + b)原式左边= =右边 即等式成立。（3）又由（2）式得：等式左边=1=右边 所以等式成立。（4）由（1）+（2）（3）得：（x + y + z） = 2ax + 2by + 2cz (4)由（4）-（1）2得：y + z x = 2ax;由（4）-（2）2得：x + z y = 2by;由（4）-（2）2得：x + y z = 2cz; x + y + z = 2(1+a)x = 2(1 + b )y = 2(1 + c )z令x + y + z0, (1 + a )x0, (1 + b )y0, (1 + c )z0.同理：3（1）将下列各题分解为部分分式：设2a+b=1且b-a=5a=2，b=-3设a+b+c=6且5a+4b+3c=16且6a+3b+2c=18。a=4，b=-10，c=12原式=（当a、b、c的值也可用x的特殊值来求）（2）设 a=1，b-2a=0，a-b+c=2b=2，c=34 （1）证明：（当a=b时取等号）x 0时，若a = x，b = ，则x + 2 (当x = 且x 0时取等号)a 0, b 0 , c 0, 且（1）6（当a = b = c时取等号）原不等式：（2）当a =b时，有： a 1 且a为整数2即非整数，与已知矛盾所以a不等于b，不妨设a b设=x，=y，且x,y均为正整数且x y,2a 1 = bx, 2b 1 = ay(4 xy )a = x + 2, a 1 , x 1且a,x均为整数，4 xy必是正整数，xy = 3或xy = 2或xy =1当xy = 3时，解得：当xy = 2时，解得：（不合题意）当xy =1时，不合题意舍a + 2b = 115解：设甲单独完成全部工程所需天数为x天，乙单独完成全部工程所需天数为y天，丙单独完成全部工程所需天数为z天，丁单独完成全部工程所需天数为m天，戊单独完成全部工程需n天，则依题意得： 由（1）+（2）+（4）得：把（4）代入（5）得： 则 即五人同时工作2天可以完成工作的九年级数学竞赛专题 第六讲 对称变换1如图，abc中，ae平分bac的外角，d为ae上一点，若ab=c，ac=b，db=m，dc=n，则m+n与b+c的大小关系是（ ）am + n b + c ; bm + n = b + c cm + n b + c 或m + n b + c 2如图，abc中，a=2b，c72，c砰分acb，p为ab中点，则下列各式中正确的是（ ）aad=bc-cd; bad=bc-ac; cad=bc-ap; dad=bc-bd二、解答题1在定直线xy异侧有两点a、b，在直线xy上求作一点p，使pa与pb之差最大。2如图，已知线段ab的同侧有两点c、d满足acb=adb=60，abd=90-dbc。求证：ac=ad.3如图，已知abc中，ab=ac，a=100，bd平分abc,求证：bc=bd+ad.4如图，已知p是abc边bc上一点，且pc=2pb，若abc=45，apc=60，求证：acb的大小。5如图，已知abc中，ab=ac，d是abc外一点且abd=60，adb=90-bdc。求证：ac=bd+cd.6abc中，已知bac=15，ad平分bac，过a作da的垂线交直线bc于m，若bm=ac+ba。求证：abc、acb的度数。7已知：等边凸六边形abcdef中，顶角a、c、e与b、d、f的和相等，即a+c+e=b+d+f。求证：a=d，b=e，c=f。8已知，如图，设mon=20，a为om上一点，oa=4，d为on上一点，od=8，c为a由任一点，b是od上任意一点。求：折线abcd的长度的最小值。答案一、1a2b略解：1在am上截取ac=ac，连结dc，如图，易证adcad c所以dc=d c因为ba + a c bd+d c所以ab + ac b + c，故选a.2因为a=2b所以a b所以bc ac在bc上截取ca=ca，连结d a（如图），易证acdacd所以ad= ad，且1=a=2b又1=b+2所以b=2所以ab= ad=ad所以bc= ac+ ab = ac + ad所以ad = bc ac符合（b）注意到：若ad=bc-cd，则cd=bc-ad= ac=ac此时cd a=cda=a=2b所以ad a=4b又ad a+2=4b + b = 180所以b = 36所以c = 72与已知矛盾，故a排除，易证bd b a= ad，所以pb ad所以ad bc bd，排除d二、1作法：作点b关于直线xy的对称点b，作直线a b交xy于p点，则点p为所求点（如图）若baxy（即b、a到直线xy的距离相等），则点p不存在。证明：连结bp，在xy上任意取点p，连结pa、pb，则pb=pb，pb= pb因为| pb - pa | = | pb-pa| ”“；2120；345；425+12；略解：1 延长dm到f，使mf=dm，连结ef、cf（如图）易证bdmcfm（sas）所以bd=cf易证demfem（sas）所以de=fe在ecf中，ec+fcef所以bd+ecde2 将abp绕a点逆时针旋转60，使ab与ac重合，p落到p点（如图），则有a pcapb所以a p=ap=2， pc=pb=2且pac=pab，所以pap=bac=60所以ap p是等边三角形，所以pp=2，p+ pc=16=p c所以ppc=90，所以ppc=60所以apc=app+ppc=1203在abc外作dba=c，且db=qc，连结dp，da（如图，即将aqc绕点a放心转90）所以dbp=2c=90所以dp=db+bp=qc+bp=pq所以dp=pq易证abdac（sas）所以da=qa，1=2所以adpapq（sss）所以1+3=paq因为2+3+paq=90所以1+3+paq=90所以paq=454设pb=3，pa=4，pc=5，将pbc绕b点逆时针旋转60至bda（如图），则adbcpb因为dba=pbc，db=pb=3，ad=cp=5所以dbp=abc=60所以dbp是等边三角形所以a p+dp=4+3=25=ad所以apd=90，所以apb=150延长ap，作beap于e（如图）则bpe=30，所以be=bp=，所以pe=，所以ae=4+所以=25+12二、1略证：连结ad（如图）易证aepf是矩形，所以ae=fp因为ab=ac，bac=90，d为bc中点，所以ad=bc，1=2=45=3所以ead=fcd=135，cpf=45=3，所以cf=pf=ae，所以adecdf（sas）所以de=df此题也可证bdeadf（be=af，b=fad，bd=ad）2略证：易证daq=cdp又因为ad=dc，adc=dcb=90所以adqdcp（asa）所dq=cp由正方形怀质可知od=oc，odq=ocp=45所以doqcop（sas）所以1=2所以2+3=1+3=90所以opoq此题实际上将正方形绕o点顺时针旋转90，旋转后q点即落在p点处3略解：连结de、df（如图）因为d、e、f是各边中点，所以de平行且等于ac，df平行且等于bc因为ab=bc=ca所以a=b=c=60所以de=df，edf=dfa=c=60因为等边dhg所以dg=dh，hdg=60=edf，所以edf-fdg=hdg-fdg，即1=2所以degdfh（sas）所以fh=eg4略解：延长bc到f，使cf，连结（如图）所以bf=bc+cf=bc+de=1因为be=ac，deb=acf=90，de=cf，所以bdeafc（sas）所以af=bd=，b=1所以af=bf因为b+2=90所以1+2=90所以abc=305略解：如图因为等边abc和等边dce所以acb=dce=abc=ecd=60ac=bc，ec=dc所以1=2，acebcd（sas）所以aec=bdc=60+3所以aeb=360-aec-ced-bed =360-（60+3）-60-bed =360-120-（3+bed） =360-120-（180-bed） =360-120-（180-40） =1006略解：将aob绕点a逆时针旋转60至adc的位置，连结od（如图），则有aobadc，所以ad=ao，cd=bo，adc=aob=110易证aod为等边三角形，所以od=oa，所以ocd就是以oa、ob、oc为边组成的三角形因为aob=110，boc=120，所以aoc=130所以cod=aoc - aod=70，odc=adc-ado=aob-aod=50所以ocd=180-cod-odc=60所以，以oa、ob、oc为边组成的三角形三内角度数分别为50，60，707略解：延长cb到g，使bg=df，连结ag（如图）又因为ad=ab，d=abg=90所以adfabg（sas）所以5=g，1=3因为1=2，所以2=3所以2+4=3+4，即fab=eag因为cdab，所以5=fab=eag所以eag=g所以ae=eb+bg=eb+df8略解：延长cb到g，使gb=df，连结ag（如图）又因为ab=ad，abg=d=90所以abgadf（sas）所以3=2，ag=af因为bad=90，eaf=45所以1+2=45所以1+3=45=eaf又因为ae=ae，所以ageafe（sas）所以gb+be=ef，所以df+be=ef因为aefage所以所以又所以9略解：延长dm到f，使mf=dm，连结cf、ef（如图）又因为me=me，dme=fme=90所以dmefme所以de=fe因为bm=cm，bmd=cmf，dm=fm所以bdmcfm所以b=1，bd=fc因为b+2=90所以1+2=90所以所以所以de=10略解：延长ac到e，使ce=bm，连结de（如图）因为bd=dc，bdc=120所以cbd=bcd=30因为abc=acb=60所以abd=acd=dce=90所以bmdcde所以bdm=cde因为mdn=60所以bdm+ndc=60所以edc+ndc=nde=60=ndm又 dn=dn所以mdnedn（sas）所以mn=ne=nc+ce=nc+bm所以amn周长=am+an+mn=am+an+nc+bm=ab+ac=2.九年级数学竞赛专题 第九讲 二次根式一、选择题1若x -3，化简|1 - |的结果是（ ）a3+x; b-3 x; cx; d-x2化简，得（ ）a(x 1 ); b(1 x )c- (x + 1 ); d(x 1 ) 3，则的值是（ ）a无意义; b; c; d4已知最简根式是同类二次根式，则满足条件的a,b的值（ ）a不存在; b有一组;n c有二组; d多于二组5化简：=（ ）a; b; c; d不同于ac的答案二、填空题1当x _时，式子有意义。2已知0 x 1，化简=_。3在实数范围内分解因式：=_。4计算：=_。5比较大小：三、解答题1设x = .2解方程组：3化简：4已知：;5若的整数部分为a，小数部分为b，求a - 的值。答案一、1b2b3d4b5d提示：1x -3x + 2 0, x + 3 0原式=|1 - |2 + x | = |1 + 2 + x | = |x + 3 | = - 3 x 2要使式子有意义，则解得x 提示：1要使有意义，则必须 即x 且x-420 x 0 原式=当b1时，原式=当0b1时，原式=解法二：同理原式=当b1时，原式=当0 b 1时，原式=5 a = 2 , b .九年级数学竞赛专题 第九讲 二次根式一、选择题1若x -3，化简|1 - |的结果是（ ）a3+x; b-3 x; cx; d-x2化简，得（ ）a(x 1 ); b(1 x )c- (x + 1 ); d(x 1 ) 3，则的值是（ ）a无意义; b; c; d4已知最简根式是同类二次根式，则满足条件的a,b的值（ ）a不存在; b有一组;n c有二组; d多于二组5化简：=（ ）a; b; c; d不同于ac的答案二、填空题1当x _时，式子有意义。2已知0 x 1，化简=_。3在实数范围内分解因式：=_。4计算：=_。5比较大小：三、解答题1设x = .2解方程组：3化简：4已知：;5若的整数部分为a，小数部分为b，求a - 的值。答案一、1b2b3d4b5d提示：1x -3x + 2 0, x + 3 0原式=|1 - |2 + x | = |1 + 2 + x | = |x + 3 | = - 3 x 2要使式子有意义，则解得x 提示：1要使有意义，则必须 即x 且x-420 x 0 原式=当b1时，原式=当0b1时，原式=解法二：同理原式=当b1时，原式=当0 b 1时，原式=5 a = 2 , b .九年级数学竞赛专题 第十一讲 四边形一、选择题1下列命题中假命题有（ ）个相邻的两个角都互补的四边形是平行四边行；一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线相等且互相垂直的四边形为正方形；有一条对角线平分一个内角的四边形是菱形。a1; b2; c3; d42在四边形abcd中，o是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）aac=bd，ab平行且等于cd; badbc，a=ccao=bo=co=do，acbd; dao=co，bo=do，ab=bc3在给定的条件中，能画出平行四边形的是（ ）a以 58cm为一条对角线，20cm，34cm为两条邻边b以7cm和9 cm为对角线，8 cm为一边c以20cm、36 cm为对角线，22 cm为一边d以6 cm为一条对角线，3 cm、10 cm为两条邻边4能判定四边形abcd是菱形的条件是（ ）a对角线ac平分对角线bd，且acbd; b对角线ac平分对角线bd，且a=cc对角线ac平分对角线bd，且平分a和c;d对角线ac平分a和c，且a=c5顺次连结四边形abcd的各边中点所围成的图形是菱形，那么四边形abcd的对角线（ ）a互相平分; b互相垂直; c互相垂直平分; d相等二、填空题1梯形的上底等于6，下底等于14，那么它的中位线将梯形分成两部分面积的比为_。2如图1，在四边形abcd中，bad=c=90，ab=ad=9，aebc于e，ae=8，则cd的长为_。 (1) (2) (3)3如图2，矩形abcd中，ab=8，bc=4，将矩形沿ac折叠，点d落在点