西城综合分班考试班第三讲__教师.doc

好动与不满足是进步的第一必需品爱迪生第三讲 数论真题模考1、 某个自然数被除余，被除也余，那么这个自然数被除的余数是 【分析】 可推知这个数为。被除的余数是。2、 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是，如果把所有这样的分数从大到小排列，那么第二个分数是 。【分析】 所以最大的为：，第二个分数为：。3、 在至之间，有三个连续自然数，其中。最小的能被整除，中间的能被整除，最大的能被整除，那么，这样的三个连续自然数是 。 【分析】 运用中国剩余定理，可求出满足条件的三个连续自然数为： 。4、 先任意指定个整数，然后将它们按任意顺序填入方格表第一行的七个方格中，再将它们按任意顺序填入方格表第二行的芳格中。最后，将所有同一列的两个数之和相乘。那么，积是 数。 (填奇或偶)。 【分析】 运用假设法，带入这个整数计算。可得知积应为偶数。 5、 将一个三位数的个位数字与百位数字对调位置，得到一个新的三位数。已知这两个三位数的乘积等于，那么，这两个三位数的和等于 。 【分析】 ，所以这两个三位数的和等于。6、 ，除以余，除以余，除以余，这个数最小是（ ）【分析】 运用中国剩余定理，可以得出这个数最小是：。7、 一位现在一百多岁的老寿星，公元时的年龄为岁，则此老寿星年多少岁？【分析】 ，老寿星出生于：，所以年为：岁。8、 两个连续自然数的平方和等于，又有三个连续自然数的平方和等于，则这两个连续自然数为_，这三个连续自然数为_。【分析】 所以这两个连续自然数为、，所以这三个连续自然数为、。9、 已知都是自然数，且=，则的最小值为_。【分析】 所以，最小值为。10、 学校新买来个乒乓球，个乒乓球拍和个乒乓球网，如果将这种物品每样均平分给每个班，那么这三种物品剩下的数量相同，请问学校有多少个班？【分析】 ，利用被除数之间的差能被除数整除的原则，求出 所以学校有个班。考点拓展【例1】 在一位自然数中，任取一个质数和一个合数相乘，所有可能的乘积的总和是 【分析】 。【例2】 将九个自然数分成三组，每组三个数。第一组三个数之积是，第二组三个数之积是，第三组三个数之和最大是 。【分析】 ，所以第三组之和最大为：。【例3】 余 。【分析】 观察找规律， 每个一循环，所以余。【例4】 名学生成一横排，第一次从左至右报数，第二次从右至左报数，两次报的数之和等于的学生有 名。【分析】 ， 观察找规律，从右边起，每隔个数打一包，一包里有名同学符合条件。总共能打 所以满足条件的学生共有名。【例5】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问：所有小于的美妙数的最大公约数是多少？【分析】 是一个美妙数，因此美妙数的最大公约数不会大于。任何三个连续正整数，必有一个能为整除，所以，任何美妙数必有因子。若中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数必有因子。另外，由于完全平方数的个位数字只能是，若其个位是和，则中间的数能被整除；若其个位是和，则第一个数能被整除；若其个位是和，则第三个数能被整除。所以，任何美妙数必有因子。由于，的最小公倍数是，所以任何美妙数必有因子，故所有美妙数的最大公约数至少是。综上，所有美妙数的最大公约数既不能大于，又至少是，所以，只能是。【例6】 称能表示成的形式的自然数为三角数。有一个四位数，它既是三角数，又是完全平方数。则。 【分析】依题有，即。因为与是两个连续自然数，其中必有一个奇数，有奇数。又由相邻自然数互质知，“奇数”与“”也互质，于是奇数，（），而为四位数，有，即，又与相邻，有。当时，相邻偶数为时，满足条件，这时，即；当时，相邻偶数为和都不满足条件；当时，相邻偶数为和都不满足条件。所以，。课后练习1、 有一个三位数能被整除，去掉末尾数字后所得的两位数恰是的倍数。在这样的三位数中最大的是 。答案 要三位数最大，前两位必须是，又它能被整除，所以为：。2、 将写成一个循环小数，在这个循环小数的小数部分中截取连续的一段，使得折一段中的所有数字之和为。那么这一段数字中共有 数字。答案 。3、 某八位数形如，它与的乘积形如，则七位数应是多少？答案4、 有一