建模实验报告.docx

实 验 报 告课程名称 数学模型 姓 名 周明 班级学号 092086234 实验成绩 13实验一 人口增长模型一、 实验目的：熟悉matlab语言环境，通过对malthus模型和logistic人口模型的分析，学会运用微分方程等数学方法建立单种群连续数学模型。二、 实验内容与要求：微分法建模、微分方程建模；学习和练习matlab在微分方程建模中的应用。三、 实验习题： 1、malthus模型： 记t时刻人口的数量为x（t），假设人口是连续发生变化的，人口的增长率是常数r，如果不考虑环境资源和社会因素对人口的限制，和人口的迁入、迁出，试建立人口数量的变化规律。已知x（0）=100；x（100）=150；求x（150），并图示模型曲线。2、logistic模型：如果考虑环境资源和社会因素对人口的限制，不考虑人口的迁入、迁出，试建立人口数量的变化规律。设r=0.4；k=100；x（0）=5；求x（10），求出平衡点，图示模型曲线。正文一malthus模型 1模型假设： 记t时刻人口的数量为假设人口是连续变化的，人口的增长率是常数r，如果不考虑环境资源和社会因素对人口的限制，和人口的迁出 。2建立模型： 3. 模型求解：由matlab软件编程：建立zhouming.msyms x t r;dsolve(dx=r*x,x(0)=100,t)运行结果：ans = 100*exp(r*t)即由已知条件x（0）=100；x（100）=150；syms r r=solve(100*exp(r*100)=150,r) r=1/100*log(3/2)所以：subs(x,150)ans = 183.7117即：利用matlab软件中的fplot命令画出图形：fplot(100*exp(1/100*log(3/2)*t),0 1500),grid二logistic模型1. 模型假设：如果考虑环境资源和社会因素对人口的限制，不考虑人口的迁入、迁出，设r=0.4；k=100；x（0）=5；求x（10），求出平衡点，图示模型曲线。2. 模型建立：阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若r表示为对x的函数r(x)，则它应是减函数，假设是减函数。于是：这里的r称固有增长率，表示人口很少时的增长率。为了确定系数s的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量k ，称人口容量。当x=k时人口不再增长，即增长率r(k)=0,此时,代入上式，得：上式分离变量，两边积分变形为： 可求得方程的解为由已知条件代入上式，可得：3. 模型求解： 由matlab中subs命令可求 syms x; x=100/(1+19*exp(-0.4*t); subs(x,10)ans = 74.1841即：=74.1841 求平衡点: ；所以;又已知；即：=0； syms x solve(1/100*log(3/2)*x*(1-x/100),x)ans = 0 100解得所以：方程的平衡点为 用matlab中fplot命令画出和的图形 fplot(100/(1+19*exp(-0.4*t),0 15)，grid fplot(1/100*log(3/2)*x*(1-x/100),0,100),grid实验二 传染病模型一 实验目的：通过对si模型、sis模型和sir模型的分析，学会运用微分方程等数学方法建立高维系统数学模型。二实验内容与要求：通过学习和练习matlab在传染病模型中的应用，预测疾病的变化趋势，验证理论分析的有效性。三实验习题：sir模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。正文：sir模型1模型假设：不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。人口始终保持一个常数，即n(t)k。 一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。假设t时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数s(t)成正比，比例系数为，从而在t时刻单位时间内被所有病人传染的人数为s(t)i(t)。 t时刻，单位时间内从染病者中移出的人数与病人数量成正比，比例系数为，单位时间内移出者的数量为i(t)。（参数参考书p139）2建立模型：对于病愈免疫的移出者而言，应有：显然有： 再记初始时刻的健康者和病人的比例分别为：移除者的初值，则sir模型的方程可以写作3模型求解：根据建立微分方程模型用matlab编程求解function y=zhouming1(t,x) a=2;b=0.4 y=a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2);建立zhouming2.m.文件：clearts=0:50;x0=0.20,0.98;ts=0:50;x0=0.20,0.98;t,x=ode45(zhouming1,ts,x0);t,xplot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid,legend(i(t),s(t),title(i(t),s(t)的图形);gtext(i(t),gtext(s(t)plot(x(:,2),x(:,1),grid, legend(is相轨线), title(is相轨线的图形);实验三 种群模型一、实验目的：熟悉matlab语言环境，建立竞争种群、互惠模型和捕食被捕食模型，通过练习matlab在种群模型中的应用，预测种群个体数量的变化规律。实验内容与要求：掌握微分方程模型稳定性的分析方法；学习和练习matlab在微分方程建模中的应用。三、实验习题：（选一）1、建立两种群竞争种群，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。2、建立两种群互惠模型，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。3、建立两种群捕食被捕食模型，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。正文食饵捕食者模型：1. 模型假设：记食饵和捕食者在时刻t的数量分别为，食饵独立生存是以指数规律增长，（相对）增长率为r，即，而捕食者的存在使得食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比；捕食者独立存在时死亡率为，即；分别反映捕食者掠取食饵的能力和食饵对捕食者的供养能力；2. 模型建立：建立微分方程模型如下：3. 模型求解：记食饵和捕食者的初始数量分别为， 为求微分方程（1），（2）的及初始条件（3）的数值解x（t），y（t）（并作图）及相轨线y（x），设用maltab中ode45命令求解微分方程组的数值解，并作图matlab编程如下：function xdot=zhouming3(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=(r-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1).*x(2);ts=0:0.1:15; x0=25,2; t,x=ode45(shier,ts,x0);t,x, plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t),pause, plot(x(:,1),x(:,2),grid用matlab中solve命令求解微分方程组的平衡点syms x yx,y=solve(x-0.1*x*y,-0.5*y+0.02*x*y) x = 0. 25.y = 0. 10.所以微分方程组的平衡点为：实验四 概率模型一、实验目的：通过对报童的诀窍模型的分析，学会运用概率统计方法建立数学模型，并进行求解。二、实验内容与要求：学会运用概率统计方法建立数学模型；熟练运用matlab中概率统计工具箱。 三、实验习题： 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，应该自然的假设为abc，这就是说，报童售出一份报纸赚ab，退回一份赔bc，报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。练习：利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？假设已经得到159天报纸需求量的情况如下表：表 159天报纸需求量的分布情况需求量100-119120-139140-159160-179180-199200-219220-239240-259260-279280-299天数3913223235201582表中需求量在100-119的由3天，其余类推。根据这些数据。并假定a=1，b=0.8，c=0.75，为报童提供最佳决策。正文一、模型假设 （1）报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，且cba（2）报纸的需求量是随机的，设在报童的销售范围内每天报纸需求量为r份的概率是f(r)（3）报纸的需求量服从正态分布。二、模型建立 假设每天购进量为n份，因需求量r是随机的，可以等于、小于或大于n，致使报童每收入也是随机的，则此模型的目标函数不能是报童每天的收入，而应该是他的长期的收入。从概率论的观点看，这相当于报童每天收入的平均值，下面简称平均收入。 记报童每天购进n份报纸的平均收入为g(n)，如果这天rn,则n份全部售出，又需求量r的概率为f(r)，于是得到 通常需求量r和购进量n都相当大，所以可以将r视为连续变量，同时将f(r)改写成概率密度p(r)则上式变成 对求导得 令，得 因为，所以上式可表示为 满足上式中的n，即为报童平均收入最大的报纸购进量 三、模型求解 1. 求解问题一 由题设得 下面用matlab求解：编辑文件名为zhouming4.m的函数文件如下：a=1;b=0.75;c=0.6;m=500;s=50; % m：平均值；s:标准差n=norminv(a-b)/(a-c),m,s) % n： 报纸最大需求量syms xpr=1/(sqrt(2*pi)*s)*exp(-(x-m)2/(2*s2); pr： 概率密度gn=int(a-b)*x-(b-c)*(n-x)*pr,0,n)+int(a-b)*(n*pr),n,inf); % gn：最大利润double(gn)运行结果：n = 515.9320warning: explicit integral could not befound. ans = 117.4161即报童获得最大收入的进报量为516份，最大收入为117元2求解问题二假设已经得到159天报纸需求量的情况如下表： 表 159天报纸需求量的分布情况需求量100-119120-139140-159160-179180-199200-219220-239240-259260-279280-299天数3913223235201582表中需求量在100-119的由3天，其余类推。根据这些数据。并假定a=1，b=0.8，c=0.75，为报童提供最优决策。对上表中需求量取均值得到其分布如下需求量100-119120-139140-159160-179180-199200-219220-239240-259260-279280-299概率3/1599/15913/15922/15932/15935/15920/15915/1598/1592/159用matlab求出此样本的均值和方差、标准差编辑文件名为zhouming5.m函数文件如下：r=110:20:290; %需求量p=1/159*3 9 13 22 32 35 20 15 8 2 ; %需求量对应概率 er=sum(r.*p) %求样本平均值erdr=sum(r.2.*p)-er.2 %求样本方差drs=sqrt(dr) %求样本标准差s运行结果：er = 199.4340dr = 1.4984e+003s = 38.7095同问题一求解如下编辑文件名为zhouming6.m的函数文件如下：a=1;b=0.8;c=0.75;m=199.4340;s=38.7095; % m：平均值；s:标准差n=norminv(a-b)/(a-c