【精品】若干基于Libor及Shibor理财产品的数学模型及定价分析（终稿）

同济大学理学院硕士学位论文若干基于Libor及Shibor理财产品的数学模型及定价分析姓名：刘畅申请学位级别：硕士专业：计算数学指导教师：徐承龙20080301Abstract摘要摘要利率作为金融学重要指标之一，其数学模型自然成为金融数学的重点研究 対象。随着各国银行间同业拆借利率的出现，尤其2007年诞生在我国的上海银 行间同业拆借利率，极大地推动了利率衍生产品市场的发展，并为规避利率风 险提供了对冲工具。在这种情形下，本文首先简要介绍多种利率模型，进而较 系统地介绍了伦敦银行间同业拆借利率市场模型（LFM)和相关参数确定方法， 即本文第一、二章，为前人所做工作的总结。本文第三章，主要研究了当前国内市场发行的两种远期利率衍生物，建立 数学模型，并根据模型的特点，列出计算流程。在第四章分别应用蒙特卡罗方 法中的Euler方法和改进Euler方法对模型进行求解，再利用图表对计算结果进 行详细比较，数值结果显示后一种方法得到的结果确实收敛速度较快。最后对 不同初值的计算结果进行比较。关键词：伦敦银行间同业拆借利率蒙特卡罗方法Ito公式欧拉方法ABSTRACTAs the interest is a most important indicator in finance, its mathmetical model normally becomes the main researching object in financial maths. And the Libor also Shibor in our country, further develop the market of forward interest derivertives and provide an effective hedging instrument to avoid interest rate risk. In this situation, the thesis first comes to various interest models from researching history. Then it introduces the Libor market model systematically, also it deals with the parameters for the model. The part above is in the first and second chapter, and most of them are the summary of otherswork.Since the third chapter, the thesis is mainly on the establishment of two kinds of forward interest rate derivertives in national market. According to LFM, we get the models for both products, and introduce the process of computation method for them. In the fourth chapter, we test both Euler method and improved Euler method to solve the maths model and test more situations about initial parameters. Then we get tables and figures for both tested products. The results show that the improved Euler method is better.Ito formula Euler methodKey Words: Libor Monte-Carlo method同济大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。签名： 年第1章引言学位论文版权使用授权书本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务;学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版;在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。学位论文作者签名：年月日经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。指导教师签名：学位论文作者签名：年月日1.1利率模型的研究意义在华尔街，曾经有一群人每天观察格林斯潘的公文包，以了解他是否要动用 联储的货币政策来调控经济。他的公文包里承载着美国经济的未来，而这种货 币政策就是调息。他曾经多次采用这种策略来刺激美国经济的发展，到了伯南 克时代，这位学者型联储主席同样采用这种策略，来度过次级债危机，人们评 价他是打开潘多拉魔盒的那个始作俑者。可以看到，利率政策的变化不仅影响 了美联储，同时影响了整个华尔街。在国内，一年内几次升息，直接间接地影 响着股市、楼市甚至老百姓家里的柴米油盐。可以说，利率是金融甚至整个世界经济发展的重要衡量指标，它不仅支配了， 整个国家的宏观经济，同时支配了我们个人的钱包。利率是指金钱的时间价值， 目前很多人有房屋或其他贷款，利率上升吋，如果收入没有増加，支出就要增 加。而消费需求下降及借款成本上升，又会使企业盈利下降，进而可能裁减人 员并导致失业率上升。所以中央银行的紧缩或宽松政策，都会对经济景气造成 影响。最极端的例子是美国央行在过去两年多连续升息17次，联邦基本利率由 1%上升到8月初的5.25%，堪称货币政策的经典之作。利率对投资估值也很关键。无风险利率（如国债利率）可评估价格是否合理。 例如现在10年期国债利率约3%,而有1家公司股价为33元，每股每年获利1.0 元，哪种投资更合算？让我们算一笔账：假使该公司以后每年稳赚1.0元，则买 股票的年盈利收益率为1.0元/33元=3%,盈利收益率与国债利率相同，那么有 什么必要买股票，还要承担股票价格波动的风险呢？所以利率水平高低会决定 股市的市盈率水平。例如当国债利率为3%吋，加上2%的风险补偿，股市应该 有5%的盈利收益率，即20倍（1/5%=20)的市盈率才算合理。而当国债利率上 升到5%吋，加上2%的风险补偿，股市需要有7%的盈利收益率，这时股市的市 盈率应该大致下跌到14倍（1/7%=14.3)左右才值得投资，否则就比较贵了。反 之如果利率下跌，市盈率应该提高。到了 20世纪70年代，利率的不确定性开始逐渐加剧，以致越来越多的金融 机构不愿对长期利率作出固定承诺。到了 80年代，浮动利率己经被广泛应用于 借贷领域，其结果使得贷方更能控制其利率风险，并将其转嫁给借方。这样利率模型自然成为金融学、金融工程、金融数学研究的主要课题之一。 利率理论有着十分悠久的历史，它早于货币经济理论，甚至早于纯粹货币理论 的产生。古典利率理论，由亚当斯密开始，而这种研究多为经济分析，不涉及 复杂的数学模型。到了近代，学者们利用数学中的利器一随机分析揭开了利 率尤其是浮动利率的神秘面纱。利率模型的研究也重点转向对常见的浮动利率 Libor (伦敦银行间同业拆借利率）上来，下一节将具体介绍这种模型的发 展及种类。研究Libor模型的另一层意义在子，2007年诞生于上海的Shibor (上海银行 间拆借利率)。作为国内首个基准利率，它的产生代表着我国金融体系的趋于完 善。市场基准利率是指一国的利率体系中能够真实反映资金成本和供求状況， 且其变动必然引起利率体系中其他利率相应变动的利率。它是货币政策价格调 控的基础，是货币政策传导和连接中央银行、金融市场、金融机构和企业居民 的纽带，是金融产品的参照系，是存贷款利率实现全面市场化的先決条件。例 如：欧元同业市场的Euribor以及亚洲货币市场发挥定价参考作用的香港Hibor、 新加坡Sibor与台湾Taibor等。我们的Shibor和这些基准利率一样具有以下几个 特点：(1) 通过报价制形成的：(2) 交易量不是选择基准利率的主要依据；(3) 都是由隔夜至1年期的各档次利率组成的利率体系，而非交易量最大 的某一档利率：(4) 拆出利率报价应用比较广泛；(5) 报价银行团由信用等级高、交易規模较大、定价能力较强的一流银行 组成；(6) 在各行报价基础上，剔除一定比例最高、最低的报价部分，对剩佘的 报价进行简单算木平均；(7) 由央行或银行业协会委托指定机构计算并按时对外公布。我国基准利率的产生是商业银行内外定价的需要、是推动利率市场化改革的 需要、是货币政策调控的需要。而就其上述几个特点可以看到，基准利率的产 生具备一定的随机性，没有严密的数学背景作为支撑。国内对浮动利率数学模3-第1章弓型的研究几乎就是空白，国外的研究进行了很多年，但可以找到的资料少之又 少。我们可以借鉴的是国际上研究Libor及其衍生产品的方法，将其应用于Shibor 的研究上去，为其建立严密的数学基础，以推进其更快更好的发展。各个银行 对Shibor的报价，应该基于Shibor模型而不仅仅是简单的统计。这样，才能使 基准利率在我国有良好的发展前景，使得Shibor及其衍生产品迅速走入金融人 士的视线，稳定国内利率市场。文章的后面将会详细介绍Libor模型的发展以及 成果，并将其应用于对Shibor衍生产品的定价中去，希望可以为基准利率的深 远研究起到一定的推动作用。1.2利率模型的种类及发展利率模型发展了很多年，由于利率对于各种金融产品的研究定价具有基础作 用，对利率研究不断进步，则历史上利率模型也多种多祥。其中远期利率的定 义为：令今天的时间= 0, /(0,表示站在今天角度观测的时刻（/0)的利 率，则/(0，r)称为远期利率。而当/趋近于时，即得到短期利率。目前市场上比较流行的利率模型主要有下面几类：1.2.1均衡模型均衡模型是在真实世界測度下建立的模型，考虑了市场参与者的风险偏好、 投资机会、风险价格等因素，假设瞬时利率遵循的随机过程，由市场出清的条 件推导出均衡的利率期限结构。此类模型依状态变量的多寡分为单因子模型以 及多因子模型。1.2.1.1 单因子模型（Single-factormodels)(1) Merton(1973)dr(t) = u dt + a dz其中“和为常数。其缺陷为：假设利率的随机过程与股价的随机过程相同 并不合理，因为利率的波动具有明显的均值回归的特征，即长期而言，利率会 趋向长期利率的平均值，但股价没有这种趋勢。此外在上述模型中，利率可能第1章引言出现负值，与实际情況不符。（详见参考文献1)(2) Vasicek(1977)dr = a(b - r)dt + a dz这个模型体现了利率的均值回归性质。假设瞬时利率于风险中性概率测度 下，为均值回归调整速度，为瞬时利率的平均值，为瞬时利率的标准差。 上述三值都为正常数。该模型采用mstein-Uhlenbeck过程，也称为弹性的随机 游走。其为稳态分布，瞬时趋势項0-表示瞬时利率将以a的调整速度趋向长期平均值，此性质使短期利率动态过程表现出均值回归。然而，由于这里 服从正态分布，利率可能出现负值。（详见参考文献2)(3) Cox、Ingersoll 和 Ross(1985)dr = a(b - r)dt + airdz假设风险价格为常数来实现无套利机会，该假设隐含了利率模型本身与个 人偏好无关。CIR舍弃了部分均衡的观念，从一般均衡的角度，把消费者偏好、 生产过程、个人投资以及消费行为等当作模型的输入变量，消除了不完全市场 的套利机会。同时解决了 Vasicek设定的瞬时利率的随机过程服从正态分布，从 而可能导致利率呈现负值的问題。其经济含义为，利率增长时其波动率也随之 增长。（详见參考文献3)1.2.1.2多因子模型(1) Brennan 和 Schwartz (1979)dr = Px (r,l)dt + (r,l)dzx dl = /32(r,l)dt + C2(r,l)dz2此模型假设期初的长期利率隐含了对未来即期利率的预期，因此模型中的状态变量为瞬时利率与长期利率其中，P为长期利率与瞬时利 率的相关系数，模型通过有限差分方法可以求解。另外，该模型也具有利率不 为负以及瞬时利率向长期利率回归的特性。（详见参考文献4)(2) Longstaff 和 Schwartz (1992)认为衍生证券的价值应同时反映期初利率与波动率水准。承袭了 CIR模型， 将产出报酬和产出的变异转换成可以观测的因子，也即瞬时利率和瞬时利率的 波动率。（详见参考文献5)1.2.2无套利模型无套利模型强调在风险中性概率测度下进行模型的建构。均衡模型是通过 假设瞬时利率的随机过程，并且在无套利机会的条件下来确定零息债券的价格， 无套利模型则不需要估计或假设瞬时利率的风险价格。此类模型容许模型内的 部分参数随时间而改变，并且将市场所观察到的利率期限结构当作输入变量， 模型中相关參数或变量的设定不得使利率期限结构的动态变化过程出现套利机 会。1. Ho-Lee 模型（1986)dr u(t)dt + rdz该模型视期初的利率期限结构为输入变量，以二项分布结构推导出利率期限 结构的动态变化，其均值与时间相关。确保模型与期初利率期限结构一致。（详 见参考文献6)2. Original Salmon Brothers 模型（Koppraschetal.，1987)dnr = u(t)dt+(rdz上一模型假设瞬时利率的概率分布为正态分布，则利率可能会变为负值，与 实际利率经验不符；而且模型假设利率的波动率为常数也与经验不符，为了避 免上述缺点，Salmon模型假设瞬时利率的概率分布为对数正态分布，得到此模 型。（详见参考文献7)3. BDT 模型（Black、Derman 和 Toy，1990)假设瞬时利率的概率分布为对数正态分布，这样利率。模型中除了包含期初 利率期限结构的信息，也将波动率利率期限结构视为输入变量。此时利率的动m = daldt_ g(ty态变化具有均值回归性，其中均值调整速度，而为均数回归的平均水平。（详见参考文献8)4. Black 和 Karasinkai 模型（1991)dnr = #(0(ln w )一In r)dt + cr(t)dzBDT模型通过纳入波动率期限结构使得利率的动态变化具有均值回归的特 征。但会造成不当的拟合均值回归与未来短期利率的波动率，以致定价时的偏 差。因此，本模型納入利率上限曲线，并允许时间间隔长度为时间的函数。其 中为均值调整速度，为瞬时利率的平均值。（详见参考文献9)5. Hull 和 White 模型（1990，1994a)dr = 9t) at)(b- r)dt + cr(t)rpdz本模型是对Vasicek模型和CIR模型的延展，参数设定由市场数据确定，几 乎可以涵盖所有无套利单因子模型。（详见参考文献沖6. HJM 模型（Heath、Jarrow 和 Morton, 1990, 1992)dft,T) = W，7Vr + 芝；私 r)电HJM模型是一种N因子连续模型，以外生方式指定远期利率的波动，而利 率的期限结构是远期利率的函数。输入变量不容易得到，而且计算量较大。（详 见参考文献10和参考文献11)1.2.3 LFM 模型Libor作为一种特别的远期利率，产生于伦敦。根据银监会对Libor的定义： Libor (London Interbank Offered Rate ),即伦敦同业拆借利率，是指伦敦的第一 流银行之间短期资金借贷的利率，是国际金融市场中大多数浮动利率的基础利 率。作为银行从市场上筹集资金进行转贷的融资成本，贷款协议中议定的LIBOR 通常是由几家指定的参考银行，在规定的时间（一般是伦敦时间上午11: 00) 报价的平均利率。最经常使用的是3个月和6个月的Libor。下面公式中，代表和。之间的Libor, &代表和+1之间的时间间隔，代表相关系数，而)代表Ft(/)的波动率。 ttitk:dFkt) = crkt)Fk(t)I+ Mt)Fk(OdZk(t)i = Ktk.x t远期利率协议（FRA):指合约双方同意在未来某日期按事先约定的利率 借贷的合约；利率期货：以固定收益工具或利率为基础资产的期货；利率互換（Swap):双方同意在未来的一定期限内根据同种货币的同样 的名义本金交换现金流，其中一方的现金流根据浮动利率计算出来，而 另一方的现金流根据固定利率计算。（不交換本金)；利率上限（Cap):交易双方确定一个利率上限水平，在此基础上，利率上限的卖方向买方承诺，在规定的期限内，如果市场參考利率高于协定 利率上限，则卖方向买方支付市场利率高于协定利率上限的差额部分； 如果市场利率低于或等于协定利率上限，卖方无任何支付义务。作为补 偿，买方支付一定数额手续费；利率下限（Floor):交易双方确定一个利率上限水平，在此基础上，利 率上限的卖方向买方承诺，在规定的期限内，如果市场参考利率低于协 定利率下限，则卖方向买方支付市场利率低于协定利率下限的差額部 分；如果市场利率高于或等于协定利率下限，则卖方无任何支付义务。 作为补偿，买方支付一定数额手续费；利率双限（Collar):将利率上限和利率下限两种金融工具结合使用；互换期权（Swaptions):是基于利率互换的期权，给予持有者一个在未 来某个确定时间进行某个确定的利率互換的权利。1.3.2主要利率衍生产品的研究方法目前，对于利率衍生产品除了第二章将介绍的LFM (Libor Market Model) 和LSM (Swap Market Model),其研究方法主要是利用等价鞅测度定理并套用 B-S公式得到衍生产品的价格。市场上交易最活跃的利率衍生产品即为，利率上 限（下限）和欧式互換期权。下面其给出简要的计算方法以及相应的结果，详 细推导过程见参考文献12。1. 利率上限（下限）期权利率上限（下限）期权是Libor远期利率的看涨（看跌）期权，考虑面值为M,敲定价为K的n期远期期权，作为利率上限，其价格记为期权 的到期支付额为幻+,则其价值计算如下：= MEn+,(max4(7；)-0)假设服从对数正态分布，则可以套用B-S公式，得到如下結果: 0): m 仏+1()(4()卵,)-卿2)其中，AH, 4(*)为远期利率，pc)零息票债券在*时刻价值。同理可得利率下限的表达式：F，0) = M仏(0)(颂-),00.5）1= dx-aTndxd2noyK + 0.5a2T) lnd-0.5o2= dx-aTnhyK-0.5cr2Tn)2. 互換（Swap)写“ U)IA十州二 Pn(0-Pn+m(0 n+y-i-n+y(0考虑一个远期利率互換，本金为1，两方同意在日期代+1，2，以浮 动利率)，换得固定利率，则此固定利率可以由下式 表示：3. 互换期权（Swaption)互换期权是互换利率的看涨期权，考虑面值为M,敲定价为K的互換期权, 其价格记为加,(7；，欠)，期权的到期支付额为从?；)-尺)+,则其价值 计算如下：fWaPn- = En+，吼M 卜ME”+1(maxH)-A：，0) U(0)IA十八假设Z服从对数正态分布，则可以套用B-S公式，得到如下结果：加叩r*(o)=m(|十)弘爾-心)）,lnd + O.52/)1=其中，&，(*)为互换利率，尸(*)零息票债券在*时刻价值。1.4本文的主要研究内容与章节构架第一章为引言部分，论文简单阐述了利率模型的发展历史，并对利率衍生 产品进行简单的叙述。具体介绍国际上比较流行的十二种利率模型，并对其各 自的优缺点进行比较。为下文详细介绍伦敦银行同业拆借利率市场模型（LFM) 做出必要的铺垫。第二章详细介绍了伦敦银行同业拆借利率市场模型（LFM),包括模型的具 体推导过程，根据随机分析原理和Ito公式，得到最終的模型。接下来，对模型 涉及的參数的计算方法，由于本文不是实证研究，没有对其进行数理统计的研 究，在下文的介绍中也直接把参数作为已知条件来引用。第三章介绍两个具体的模型，一个是上海银行在去年推出的有关上海银行 间同业拆借利率的衍生产品，另外一个是商银行汇财通B款（区间型Libor 衍生产品）。主要采用伦敦银行间同业拆借利率市场模型模拟远期利率，并最后 采用蒙特卡罗模拟来求解。第四章首先介绍蒙特卡罗方法，接下来对模型一（Shibor模型）进行Euler 方法和改进Euler方法的数值模拟，并对两种方法得到的结果进行比较。对于模 型二（Libor区间型产品）进行Euler方法的蒙特卡罗模拟，并对不同初值得到 的结果进行比较。9 2章Libor市场模型（LFM)第2章Libor市场模型（LFM)简介2.1 LFM的由来自从1981年第一个利率互換交易以来，利率衍生品市场发展得极为迅速， 产品交易的数量和复杂程度都在增长。因此，利率衍生物建模和定价领域成为 研究者以及实际交易者争先进入的一个领域。而利率衍生品的定价离不开对利率模型的研究，尤其远期浮动利率模型。因 为无论是利率上限（下限）还是互換的定价，都离不开对其基础资产利率 的分布以及市场数据拟合的研究。最近利率模型的突破性发展产生了现今广为使用的利率模型LFM (Libor市场模型)，此模型由Brace，Gatarek, Musiela(1997)以及 Miltersen，Sandmann, Sondermann (1997)建立。与其他传统模 型相比，Libor市场模型具有几个优点：第一，它与Black公式匹配的很好，这 样隐含波动率可以很容易得到，避免了其他模型必须数值拟合过程；第二，市 场模型基于观察到的市场利率，例如Libor和互換利率，因此不需要用瞬时利率 或远期利率来对利率上限（下限）以及互换进行定价或者对冲。就像HJM模型一祥，Libor市场模型基本上是应用蒙特卡罗模拟来求解。值 得庆幸的是，随着Libor市场模型的发展，一些新的蒙特卡罗方法中的数值解法 的产生，推动了模型的发展。2.2 LFM的推导过程2.2.1符号说明1. =0，2，：为市场上交易的利率上限的重置日期（以年为单位时同)， 在美国最流行的利率上限为每季重置；2. Sk=tM-tk:为时间间隔，一般为一常数；3. w(r)：表示f时刻后的第一个重置时间，即/为最小的正整数使得 - m();4. Fk(t)：在时间&和/,+1间的Libor远期利率，丨为观察时点；5. Pt,tk)-. &为到期日的零息票债券在/时刻的价值，根据远期利率定义可以得到下式1+4(0 =;P(UM)6. ak(t)： 6(0在f时刻的波动率；7. vk(t)：户仏)在r时刻的波动率；8. Zk(t)：标准布朗运动符号。2.2.2 LFM 模型1. 巧的基本模型，利用等价鞅测度定理证明（定理的具体推理过程详见 附录A,下面对Libor市场模型的证明直接引用此定理）等价鞅测度定理：为基于同一不确定因素的可交换债券的价格，令e，则0可以看作/相对于g的价格，也就是说不以货币作为计价単位 g(numeraire),而以g作为计价单位。则沒是一个戟。基本模型：以P(以i+1)作为计价単位可以得到G(/)为鞅。即满足下式:(2.1)dFkt) = rkt)Fkt)dZkt)其证明过程如下：应用等价鞅测度定理，由户仏/4)和巧(的关系可以得到(2.2)p (J户(）一户，4+1) 作）令定理中/=丄(作,/*)-作,)，g = Pt,tM),由（2.2)式可以得出定#第2章Libor市场模型（LFM)理中汐=l=K8=Fk ,应用等价鞅测度定理可知以5 =作，+1)计价单位计算为鞍，也就是说（2.1)式成立。也即 = 一金 lrk(s)2ds+ aks)dZks)2. 巧(的一般模型，利用鞅测度变换定理（定理的具体推理过程详见附录A，下面对Libor市场模型的证明直接引用此定理）滚动远期风险中性世界（rolling forward risk-neutral world):对于任一在下一重置时刻到期债券，一直具有远期风险中性的特征。戟测度变换定理：在滚动远期风险中性世界里，假设/，g，A为基于同一不确 定因素的符合対数正态分布的金融产品的价格，則/相对于计价单位g的价格变 到/相对于计价单位A的价格，变化的期望增长为即五(/卜/ /犮)=(*-)/。dmmy 4,W)聯 ,i(01 +柳）dt+(Tk(t)dZk(t)(2.3)一般模型：以作为计价单位可以得到巧(的表达式如下：证明过程如下: 在本模型中，令定理中/= 6=丄，2-作1)，则(7/=。尸，ft+1)令= ，u)，k作，“)下面用技巧化简*-,，对=Vk+l)两边同时推对数得n(0-n+i(0=i+彻将&累加则可以得到+从(得）* 8 h) i+(o带入/= Ft在计价单位g = P(Mt+1)下的公式即上文（2.1)式，得到最终的 Libor市场模型dmmdt + crk(t)dZk(t)3. 带相关系数的远期利率模型不同远期利率的唯一扰动就是相关系数：piJcdt = dZdZ.it) = dZi,Zk 这样，远期利率模型另外一种写法为dFk(t) = crk(t)Fk(t) PkMdt 由于在测度 S = /(/，?；）下， jf = Ft(0是一个缺，则有=0,化简上式得到 dFj), _ f Pj.ScTjiOFt) jI + SjFjQ) dt 点1 + SjFjit)2.3 LFM的参数研究 2.3.1 LFM中的即时波动率1. 特殊的Libor即时波动率：下面将按顺序给出一般结论，基本上采用统计的方法求解。首先假设远期利率/;(的即时波动率是分段常数。特别地，FA(0的即时波动率在每个到期日时间间隔中是常数。在这个假设下，可以把即时波动率写成如下矩阵形式。（其 中，“Instant.Vols”和“Fwd”分别为即时波动率和远期利率的縮写：表2.1不同到期日和观察日的波动率矩阵Instant. VolsTime：(o,r0(ToJ,(TvT2Fwd Rate：）uDeadDeadDeadm2,12,2DeadDead1FM幻A/,2A/JMM根据上表的矩阵格式，可以做出不同的假设，以简化统计计算量，降低波 动率参数的个数。第一个假设为波动率只与远期利率的距到期日时间有关即-rw，而不是 与到期日7；和时刻/分别相关。在这种情形下，可以得到下面的式子和表格，并 记为模型一：-l)表2.2在第一个假设下的波动率矩阵Instant. VolsTime： e (0,7J,(MCMFwd Rate： Fx(t)DeadDeadDeadmViDeadDead:FMif)VmVM-2第二个降低参数的假设令波动率与时刻无关，即得到下面的式子和表格， 并记为模型二：* (0 = %(,)=: 4表2.3在第二个假设下的波动率矩阵Instant. VolsTime： fe(0，ro(Mfi，r2Fwd Rate： Ft)DeadDeadDeadF2(t)si2DeadDead:FM第三个降低參数的假设为把波动率分解成两个函数，这两个函数分別与到 期日和现在的时刻相关，则得到下列式子和表格，并记为模型三：W)=*，(0=初0 表2.4在第三个假设下的波动率矩阵Instant VolsTime： / e(0,70(M(MFwd Rate： (細、DeadDeadDeadmDeadDead:Fuit)Kwi最后一个基于分解分段常数波动率的假设为把波动率分解成两个函数，这 两个函数分别与到期日和距到期日的时间相关，则得到下列式子和表格，并记 为模型四Instant. VolsTime： t e(0,7(M(TvT2Fwd Rate：(DeadDeadDeadmDeadDead:FM義W-2* ()=*，m(0 =: A W(m(rH)表2.5在第四个假设下的波动率矩阵下面再给出市场上常用的两种统计得到即时波动率的多参数公式，并 分别记为模型五和模型六：4(7i-0 + c这个公式给出的波动率的图形相对于距到期日时间是一个驼峰形，但是它 的灵活性不足难以实现基于利率上限、互換等利率衍生产品市场中现实数据的 拟合，波动率依赖距到期日时间而不是分别依赖于时间和到期日-于是有 下面一个公式，引入了到期日的函数作为一个参数。* (：(-，6, c，=:於(7)_1 -0+c)这种变化改进了参数形式的灵活性，可以让模型更好的与利率上限、互換 等利率衍生产品市场中现实数据一致。2. 用利率互换报价反演远期利率的波动率市场上一般对利率互換的报价为其波动率，所以LFM模型中的可以用 利率互換的波动率来得到。下面给出互換利率的公式： 、Pit,Ta)-P(t,Tp) -FPt,Ta,Tp)一 J一 PZ SiPitT)X SmtM)FP(t;Ta,Ti) =Pif,Ta)=n fppfpj=1 + SjFjit)/*o+l/a+li=a+ y-ar+1 1+(0rtj=a+lJiL+w)i=a+l于是，互換利率的公式也可以写成:，-n 1xo/,7=Or+l+ 叫(0)6) K(0)F0)Ajfrt (2A-1*A /jA+1 +1(2.5)/J=a+1a.B VWh0此处的研究目的主要是利用互换波动率来推导LFM的波动率，于是(2.5)式 可化为Tasa)of= IhO+2 2() (o)F/o)6 p/+丨从+1 j=a+h=0(2.6)根据上述符号定义，得到Rebonato定理（证明过程见附录A): LFM类似 Black互换波动率可以近似写成+2乙0)巧A-wM+i+i+()2()2|；/1+丨2描/0)26(0)2h=0，a+lj-a*上式可以化作关于#+1的一元二次方程，令其系数分别为5，C,上面的 方程可以记作a,fi，+1，由于只要如果我们假设相关系数为正， 那么和都是严格为正。那么当且仅当0的时候，(2.7)至多有一个正解，其形式如下Ba,p +- 4Aa,fiCa,fi+124,(5) 如果，则令=夕+1,并重复第4歩，否则令a = a+l;(6) 如果acs,则回到第3歩，否则结束。对于CCA方法，研究者已经做出了一些改迸，大多为近似方法使得用同样 的利率互换波动率报价矩阵可以解出更多远期利率的波动率。因为这不是本文 主要研究内容，在此就不详细叙述，读者可以参看相关参考书目。本文的目的主要是证实LFM模型中的参数都是可以用市场数据拟合得到。2.3.2 LFM中的相关系数1. 一些简易的满秩矩阵Schoenmakers和Coffey (2000)提出下面的有关相关系数矩阵满秩参数 形式。他们考虑一系列有限正实数1 =.,么.*2y*/+i(2.8)这个参数表达式需要M个參数，模拟相关矩阵中M(A/-l)/2个元素。 Schoenmakers和Coffey (2000)还发现上述参数可以有如下表达形式其特殊的简化形式为出了最后两个外，其余都设定为零，下面部加证明地 给出几个现今常用的格式Aj=explAM-iy-lnp+7M-2(2.9)(1)稳定满秩两参数形式这里的稳定指的是，根据这个模型，对于参数c的微小变动引起的凡，;?的变 动也很微小，注意是所考虑的远期利率集合里最远距离的远期利率， 而;7 =、_1(M-1)(M - 2)/2;(2)三参数形式=exp-(-(/2+/ +ij-6i-6j-3M2+5M-7)+巴(i2 + j2 + ij - 3Mi - 3Mj + 3i+3j + 3M2 -6M + 2)6M18模型中参数应设定为非负:(3) 改进的稳定满秩两参数形式19第3章基于Shibor及Libor衍生产品的数学模型i-j( .i2+f+U 3M-3Mj + 3i + 3j + 2M2-M-4r,J L(M-2)(M3)和前面的假设一致而；7与图形的陡峭程度相关。(4) 经典两參数模型，呈指数降低的参数形式Pij =凡 + (1 -) exp -i-j,fl0(5) Rebonato三参数满秩形式Pij=P +(!-/,) exp -1/ - y I (fi - a(max(z, j) -1)(2,11)(2.12)(2.13)此模型是目前最流行的模拟相关系数的模型，主要由于其參数易子模拟， 井能得到相对较好的結果。2. 减秩公式：Rebonato三角阵以及特征值零化是一个正対称阵，即可以写成/o =其中户是一个实正交阵，PP = PP = 1U,是由/?的正特征值组成的对角阵，矩阵P的列向量是p的特 征向量。令A为对角阵，其元素为i/中相应元素的平方根。所以如果我们假设 A:=PA,则可以得到AA = p,AA = H通过选取一个秩为的Mx矩阵5,使得5为一个秩为n的相关矩阵，通 常/M。这样就实现了对相关系数矩阵p =的降維。这样做的优势在子，得到一个新的噪声序列标准Brownian motion ,进而可以使用取代原先的M维随机运动Z(0。另外一种说法就是从一个噪声相关结构dZ(t)dZ(t)= pdt变成下面的结构BdW(t)(BdW(t) = BdWdWB = BBdt这样新的相关系数矩阵可以写成55，令pB = BB，则余下的问题就变成选 择合适的参数形式构成矩阵B。Rebonato (1999d)对构造上述矩阵提出了下面的一种通用格式K=cos0ubijc = cos 0iJ( sin I - sin,kn(2.14)t =sin sin ，对f = l，2，.，A/。根据上面的格式可以分别得到两因子和三因子形式pfj=cosdi-eJ)pfj = cos j cosdj +sin j sin cos(Ot 2 -0Jt2)这样，我们发现若取满秩拟合= M,则三角参数形式的参数量为原来相关 系数矩阵未知量的两倍。这样，若没有进一步的简化，则相关系数矩阵不能简 单地通过降维的方法。这样不只要求/7远小于M ,而要满足远小于(M +1)/2才 算是真正简化了相关系数矩阵。2.3.3 LFM參数研究小结根据2.3.1和2.3.2的介绍可以知道，目前LFM模型中参数的研究，多采用 统计的方法，利用市场上的报价利率互換或利率上限，来反解模型中的参 数。由于本文主要从随机分析、偏微分模型以及蒙特卡罗数值模拟方面研究Libor 的模拟，则下一章对Shibor研究中，不再把参数即时波动率a(/)和相关系数/ 当作未知数，进行数据统计模拟。另一方面原因在于Shibor数据始于2007年1 月4日，历史数据较少。而其相关利率互換及其他衍生产品数据更是少之又少， 目前没法进行统计研究。当然前面两个小节只是我从大量的论文中精选出的一些常用的对模型参数 的研究方法，并不是所有的方法。根据不同的研究目的可以采用不同的方法来 对参数进行研究，其优缺点主要体现在对精度和计算量的平衡中，一般而言， 精度需求越高需要的计算量就越犬，在利率互換的研究中，通常把一部分参数 固定在零时刻以简化计算量，即在精度允许的情形下，有些复杂的计算可以进 行很大的简化。由于本文主要问题不是对Libor市场模型的参数进行实证研究。在下面的数 值模拟中，对Libor市场模型的参数，主要采用简单的参数模拟。第3章基于Shibor及Libor衍生产品的数学模型3.1 Shibor衍生产品的数学模型 3.1.1问题的提出2007年3月，兴业银行和农业银行进行了一笔以上海银行间同业拆放利率 (Shibor)为定价基准的银行承兑汇票贴现交易。这是将Shibor运用于票据贴现利 率定价的首次尝试，也是Shibor在货币市场上作为定价基准的又一次运用。这笔交易是由兴业银行向农业银行转贴现一笔银行承兑汇票，贴现利率以 同期限Shibor加上几个基点而成。对于票据转贴现利率的定价，市场上并没有 統一的方法。各家商业银行根据自己的需要来定价，定价方法都不一样，报价 也存在很大差异。这次兴业银行和农业银行同意以Shibor为定价基准，对于转 贴现定价是一次创新性尝试。至于今后是否还会采取这一定