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1、上（下）三角矩阵的乘积、逆仍为上（下）三角矩阵2、ab与ba迹相同tr(ab)=tr(ba)，如果a或者b可逆，则ab与ba特征值相同1)、2）、，两边取行列式并令其为令，即得到证明。3、有上条性质可知：不存在满足ab-ba=i条件的方阵a、b因为：tr(ab-ba)=tr(ab)-tr(ba)=0tr(i)=n4、a和b都严格对角占优，但是ab未必严格对角占优（例：b=-a或者b=a）5、a和b可逆时1） 1cond(a)，因为i=aa-1iaa-1i两边消去i即得2） 由1）得到：a1/a-1，a-11/a3） 与2）对比有(a)a，a-11/(a)4） 如果a1时收敛，则必发散，而a1时发散，则未必收敛6、 cond(ab)cond(a)cond(b)，利用范数相容性立即可得由此引出的不等式：a-1-b-1a-1b-1a-b因为a-1- b-1=b-1- a-1=b-1(i- ba-1)=b-1(a- b)a-1b-1a- ba-1对应地有a-baba-1- b-17、 a非奇异，b奇异，则对于算子范数有1/cond(a) a-b/a因为b奇异，则存在y0，使得by=0，从而有x=y/y0，x=1，并且bx=0，a-1bx=0，x-a-1bx=x，a-1(a-b)x=x，1=x=a-1(a-b)xa-1(a-b)x=a-1(a-b)a-1a-b，两边除a即可得证。由6）-7）组合，还可以得到更多的不等式。8、正规阵同时又是三角阵，则它一定是对角阵9、酉阵同时又是三角阵，则它一定是对角阵，并且对角元的模为110、对称矩阵的奇异值是特征值的绝对值n阶实对称矩阵如果有n个互异的奇异值，则它有n个互异的特征值11、相似变换、酉变换、正交变换不改变方阵的迹和行列式因为上述变换不改变特征值，从而不改变特征值的和和乘积，从而也不改变迹与行列式。12、酉变换、正交变换不改变向量的2-范数，从而不改变两点之间的欧几里得距离。13、酉阵特征值的模为1，正交阵特征值的绝对值为114、x和e-x在任何区间a,b上线性无关设cx+de-x=0，因为e-x永远不为零，如果c0，那么有x/e-x=-d/c，显然x/e-x在任何区间都不会是一个常数，从而必须c=0，这样一来d只有为零，因此只有当c=d=0等式才成立，线性无关。15、如果a1则(i-a)-11/(1-a)因为(a)a1，收敛到s=,两边乘(i-a)不影响收敛性，（i-a）s=(i-a)=i-lim(ak)=i，所以=(i-a)-1，(i-a)-1=1/（1-a），同理可证(i+a)-11/(1-a)16、如果(i+a)奇异，则对一切范数a117、acn*n,对任意范数有，首先存在某种范数 所以，取 得到 ，对不等式同时取极限即得到 再根据范数的等价性 对不等式同时取极限即得到对任意范数的结果 18、a非奇异，对算子范数有 因为19、20、21、22、x,y为向量，则有平行四边形关系23、acn*n，并且为hermite正定阵，则为范数正性和齐次性好证明，只证三角不等式所以24、 , ,25、26、a为hermite阵，则27、a为hermite阵，28、acn*n，则的充要条件为a=i 因为所以a=i同理如果，并且b可逆，则b=i29、证明：1）a为实斜对称阵，则ea为正交阵 （a=-at） 2）a为hermite阵，则eia为酉阵 (ah=a)证明：1） 2） 30、acn*n，a21，证明ln(i+a)2a2/(1-a2)因为： 收敛半径r=1, (a)a21，所以ln(i+a)收敛，31、32、xn+1=(xn)的迭代收敛条件，1）映内性xna,b，(xn) a,b 2）压缩性l1停机判据，收敛速度33、newton迭代法，单根为二阶收敛 34、newton迭代法，重根变线性收敛，如果知道重数m， 仍二阶收敛35、newton迭代法中， 下山因子，则无法下山，要另选初始点36、弦割法 的收敛阶为1.61837、分半法的收敛速度为（b-a）/2n-138、aitken 加速公式39、jacobi、gauss-seidel和超松弛(sor)法的分量形式和矩阵形式（j） (g-s) ，(sor) 40、迭代法 中， 时收敛， 更收敛41、矩阵a严格对角占优，jacobi法和 gauss-seidel法收敛42、 时可以得到超松弛法中，时也是如此43、legendre正交多项式，非标准正交 前几项 递推公式gauss-legendre 机械求积公式 有1阶代数精度，有3阶代数精度有5阶代数精度一般地它的一般求积系数和零点复杂，但是权函数为1，在积分中不出现，44、chebyshev正交多项式，零点为递推公式前几项：非标准正交 gauss-chebyshev机械求积公式 有1阶代数精度 有3阶代数精度有5阶代数精度一般地 因此它的求积系数和零点简单，缺点是权函数不整齐，45、利用两点chebyshev求积公式和利用legendre机械求积公式 两者都3次代数精度，对精确46、利用三点legendre机械求积公式47、如果 ，如何选择a,b使之有更高的代数精度？令f(x)=1、x，于是，因此该公式最多有1次代数精度47、如果 ，如何选择a,b,c使之有更高的代数精度？令f(x)=1、x，x2,，方程联立解出因此该公式最多有2次代数精度，不够理想。48、49、householder镜像变换 有h变换特征值为1，奇异值为1，因为50、利用h变换可将任意向量x，变为等长度的向量y，为镜面h的标准法向量51、利用复化梯形公式和simpson公式求，如果误差小于0.01区间应该分几份？至少要分5份，计算6个函数值只利用原区间即可，计算3个函数值。以上公式在估算面积近似值时，要理解为有向面积的代数和，并不代表实际面积误差，特别当或等零或者很小时，不能简单套用。52、复内积一般实内积 53、函数内积 54、正定矩阵： 如果a正定，55、gauss消去法：乘除次数，加减次数加减乘除总次数 存储量 ，gauss选主元增加比较次数，gauss选主元消去法计算量为56、cholesky分解法：a（对称）a=ldlt，（a又还正定），a=llt，如果指定a各对角元符号（例如都大于零），则a=llt唯一。乘除次数，加减次数加减乘除再加开方总次数 存储量 ，数值稳定不用选主元57、追赶法矩阵满足：，意味着1）对角占优，2）不可再降阶。则解存在且唯一存储量4n，加减乘除总次数 8n-758、解：59、