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第八章 一阶、二阶电路动态分析 2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应 求解； l 重点 4. 一阶电路的阶跃响应和冲激响应； 3. 稳态分量、暂态分量求解； 1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定； 下 页 6. 二阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应 的概念； 7. 二阶电路的阶跃响应和冲激响应。 5. 用经典法分析二阶电路的过渡过程； K未动作前 i = 0 , uC = 0 i = 0 , uC = Us K + uCUs R C i (t = 0) K接通电源后很长时间 + uCUs R C i (t ) 前一个稳定状态 过渡状态 新的稳定状态t1 US uc t 0 ? i 有一过渡期 下 页上 页 含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 特征： 1. 动态电路 第一节 动态电路的方程及其初始条件 动态电路的一个特征是当电路的结构或元件 的参数发生变化时(例如电路中电源或无源元件 的断开或接入,信号的突然注入等),可能使电路 改变原来的工作状态,转变到另一个工作状态,这 种状态的改变往往需要经历一个变化过程。这个 变化过程称为电路的过渡过程。 下 页上 页 动态电路换路后产生过渡过程 ，描述电路的方程 为微分方程。 电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述电路的方 程为代数方程。 动态电路与电阻电路的比较 电路结构或参数变化引起的电路变化。 换路： 下 页上 页 电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能 量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间 来完成。 下 页上 页 过渡过程产生的原因 分析动态电路过渡过程的方法之一是：根据KCL、KVL、 和支路的 VCR 建立描述电路的方程，这类方程是以时间 为自变量的线性常微分方程。 2. 动态电路的分析方法 下 页上 页 K + uCUs R C i (t = 0) 复频域分析法时域分析法 求解微分方程 经典法 状态变量法 数值法 卷积积分 拉普拉斯变换法 状态变量法 付氏变换 本章 采用 工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。 下 页上 页 稳态分析和动态分析的区别 稳态动态 换路发生很长时间后的状态 微分方程的特解 恒定或周期性激励 换路发生后的整个过程 微分方程的一般解 任意激励 下 页上 页 (1) t = 0与t = 0的概念 认为换路在 t = 0 时刻进行 0 换路前一瞬间 0 换路后一瞬间 3. 电路的初始条件 初始条件为 t = 0时 u ，i 及其各阶导数的值 000 t f(t) 下 页上 页 t = 0+时刻 当i()为有限值时 i uc C + - q (0+) = q (0) uC (0+) = uC (0) 换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。 (2) 电容的初始条件 0 q =C uC 电荷 守恒 结 论 下 页上 页 当u为有限值时 L (0)= L (0) iL(0)= iL(0) i u L + - L (3) 电感的初始条件 t = 0+时刻 0 磁链 守恒 换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。 结 论 下 页上 页 L (0+)= L (0) iL(0+)= iL(0) qc (0+) = qc (0) uC (0+) = uC (0) （4）换路定则 （1）电容电流和电感电压为有限值是换路定则成立的条件。 注意: 换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。 换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。 （2）换路定则反映了能量不能跃变。 下 页上 页 （3）只有uC 、 iL受换路定则的约束而保持不变，电路中其 它电压、电流都可能发生跃变。 。 5.电路初始值的确定 换路后瞬间电容电压、电感电流的初始值，用 uC(0+)和 iL(0+)来表示，它是利用换路前瞬间 t=0-电路确定uC(0-)和 iL(0- )，再由换路定则得到 uC(0+)和 iL(0+)的值。 电路中其他变量如 iR、uR、uL、iC 的初始值不遵循换路定 则的规律，它们的初始值需由t=0+电路来求得。具体求法 是： 画出t=0+电路，在该电路中若uC (0+)= uC (0-)=US，电容用 一个电压源US代替，若uC (0+)= 0则电容用短路线代替。若 iL(0+)= iL(0-)=IS，电感一个电流源IS 代替，若iL(0+)= 0则电 感作开路处理。下面举例说明初始值的求法。 下 页上 页 下 页上 页 例1：在下图 (a)电路中，开关S在t=0时闭合，开关闭合前 电路已处于稳定状态。试求初始值 uC(0+)、iL(0+)、i1(0+)、 i2(0+)、ic(0+) 和uL(0+)。 解：(1) 电路在 t=0时发生换路，欲求各电压、电流的初 始值，应先求uC(0+)和iL(0+)。通过换路前稳定状态下t=0- 电路可求得uC(0-)和iL(0-)。在直流稳态电路中，uC不再变 化，duC/dt=0，故iC=0，即电容C相当于开路。同理 iL也 不再变化，diL/dt=0，故uL=0，即电感L相当于短路。所 以t=0- 时刻的等效电路如图 (b)）所示，由该图可知： （2）由换路定则得 下 页上 页 因此，在t=0+ 瞬间，电容元件相当于一个4V的电压源， 电感元件相当于一个2A的电流源。据此画出t=0+ 时刻的 等效电路，如图 (C) 所示。 iC(0+)=2-2-1=-1A uL(0+)=10-32-4=0 V 下 页上 页 （3）在t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析 方法，可求出 电路中其他电流、电压的初始值，即 例2: 电路如图 (a)所示，开关S闭合前电路无储能，开 关S在 t=0时闭合，试求 i1 、i2 、i3、 uc、uL的初始值。 解：（1）由题意知： （2）由换路定则得 下 页上 页 因此，在t=0+ 电路中，电容应该用短路线代替，电感以开 路代之。得到 t=0+ 电路，如图 (b)所示。 i3(0+)=0 uL(0+)=20i2(0+)=200.3=6V 下 页上 页 （3）在t=0+ 电 路中，应用直流 电阻电路的分析 方法求得 求初始值的步骤: 1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0)和iL(0)； 2. 由换路定则得 uC(0+) 和 iL(0+)。 3. 画0+等效电路。 4. 由0+电路求所需各变量的0+值。 b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 a. 换路后的电路 （取0+时刻值，方向与原假定的电容 电压、电感电流方向相同）。 下 页上 页 第二节 一阶电路的零输入响应 1. RC电路的零输入响应 下 页上 页 当外加激励为零,仅有动态元件初始储能所产 生的电流和电压，称为动态电路的零输入响应。 1i + - UC IS R0 R 2 C (a) 左图 (a) 所示的电 路中，在t0后 ，电路中无电源作用，电路的响应 均是由电容的初始储能而产生，故 属于零输入响应。 + - + - uC C i (b) 代入初始值 uC (0+)=uC(0)=R0IS 下 页上 页 t U0 uC 0 I0 t i 0 令 =RC , 称为一阶电路的时间常数 （1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； 从以上各式可以得出： 连续 函数 跃变 （2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关； 下 页上 页 时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = R C 大 过渡过程时间长 小 过渡过程时间短 电压初值一定： R 大（ C一定） i=u/R 放电电流小 放电时间长 U0 t uc 0 小 大 C 大（R一定） W=Cu2/2 储能大 物理含义 下 页上 页 工程上认为, 经过 35, 过渡过程结束。 ：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。 U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 t 0 2 3 5 U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 下 页上 页 t2t1 U0 t uc 0 t1t2 次切距的长度 下 页上 页 曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固定变化 率衰减，经过 时间为零值 时间常数的几何确定方法 （3）能量关系 电容不断释放能量被电阻吸收，直到全部消耗完毕 . 设 uC(0+)=U0 电容放出能量： 电阻吸收（消耗）能量： uCR + C 下 页上 页 例 已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K 闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。 解 这是一个求一阶RC零输 入响应问题，有： i3 K 3 + uC 2 6 5F i2 i1 + uC 4 5F i1 t 0 等效电路 分流得： 下 页上 页 2. RL电路的零输入响应 特征方程 Lp+R=0 特征根 代入初始值 i(0+)= I0 A= i(0+)= I0 下 页上 页 i K(t=0) US L + uL R R1 i L + uL R -RI0 uL t t I0 iL 0 从以上式子可以得出： 连续 函数 跃变 （1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； （2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关； 下 页上 页 令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数 L大 W=Li2/2 起始能量大 R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小 放电慢 大 大 过渡过程时间长 小 过渡过程时间短 物理含义 时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = L/R 电流初值i(0)一定： 下 页上 页 （3）能量关系 电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕 . 设iL(0+)=I0 电感放出能量： 电阻吸收（消耗）能量： 下 页上 页 i L + uL R iL (0+) = iL(0) = 1 A uV (0+)= 10000V 造成 V损坏。 例t=0时 , 打开开关K，求uv。 现象 ：电压表坏了 电压表量程：50V 解 iL K(t=0) + uV L=4H R=10 V RV 10k 10V 下 页上 页 例2t=0时 , 开关K由12，求电感电压和电流及开关两 端电压u12。 解 iL K(t=0) + 24V 6H 3 4 4 6 + uL 2 12 t 0 i L + uL R 下 页上 页 小结 1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的 响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。 2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。 3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 iL(0+)= iL(0) uC (0+) = uC (0) RC电路 RL电路 下 页上 页 动态元件初始能量为零，由t 0电路 中外加输入激励作用所产生的响应。 列方程： i K(t=0) US + uR C + uC R uC (0)=0 第三节 一阶电路的零状态响应 非齐次线性常微分方程 解答形式为： 1. RC电路的零状态响应 零状态响应 齐次方程通解 非齐 次方 程特 解 下 页上 页 与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解 变化规律由电路参数和结构决定 全解 uC (0+)=A+US= 0 A= US 由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A 的通解 通解（自由分量，暂态分量） 特解（强制分量，稳态分量） 的特解 下 页上 页 -US uC uC“ US t i 0 t uc 0 （1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数； 电容电压由两部分构成： 从以上式子可以得出： 连续 函数 跃变 稳态分量（强制分量）暫态分量（自由分量） + 下 页上 页 （2）响应变化的快慢，由时间常数RC决定；大，充电 慢，小充电就快。 （3）响应与外加激励成线性关系； （4）能量关系 电容储存： 电源提供能量： 电阻消耗 R C + - US 电源提供的能量一半消耗在电阻上， 一半转换成电场能量储存在电容中。 下 页上 页 例 t=0时 , 开关K闭合，已知 uC（0）=0，求（1）电 容电压和电流，（2）uC80V时的充电时间t 。 解 500 10F + - 100V K + uC i(1) 这是一个RC电路零状 态响应问题，有： （2）设经过t1秒，uC80V 下 页上 页 2. RL电路的零状态响应 iLK(t=0) US + uR L + uL R 已知iL(0)=0，电路方程为： t uL US t iL 0 0 下 页上 页 例1t=0时 ,开关K打开，求t0后iL、uL的变化规律 。 解 这是一个RL电路零状态响 应问题，先化简电路，有 ： iL K + uL 2H R80 10A 200 300 iL + uL 2H 10A Req t0 下 页上 页 例2t=0时 ,开关K打开，求t0后iL、uL及电流源的端电 压。 解 这是一个RL电路零状态响 应问题，先化简电路，有： iL K + uL 2H 10 2A 10 5 + u t0 iL + uL 2H US Req + 下 页上 页 以RL电路为例 iL(0-)=0 i K(t=0) L + uL R uS + - i (0-)=0 u t uS 求：i (t) 接入相位角 3. 正弦电源激励下的零状态响应 下 页上 页 强制分量(稳态分量) 自由分量(暂态分量) R j L + - iL(0-)=0 i K(t=0) L + uL R uS + - 用相量法计算稳态解 下 页上 页 定积分常数A由 下 页上 页 第四节 一阶电路的全响应 电路的初始状态不为零，同时又有外加 激励源作用时电路中产生的响应。 i K(t=0) US + uR C + uC R 解答为 uC(t) = uC + uC“uC (0)=U0 以RC电路为例，电路微分方程： =RC 1. 全响应 全响应 稳态解 uC = US 暂态解 uC (0+)=A+US=U0 A=U0 - US 由初始值定A 下 页上 页 2. 全响应的两种分解方式 强制分量(稳态解) 自由分量(暂态解) uC“ -USU0 暂态解 uCUS 稳态解 U0 uc 全解 t uc 0 全响应 = 强制分量(稳态解) + 自由分量(暂态解) （1） 着眼于电路的两种工作状态 下 页上 页 便于叠加计算 i K(t=0) US + uR C + uC R uC (0)=U0 i K(t=0) US + uR C + uC R = uC (0)=0 + uC (0)=U0 C + uC i K(t=0) + uR R 全响应= 零状态响应 + 零输入响应 零状态响应零输入响应 (2). 着眼于因果关系 下 页上 页 物理概念清晰 零状态响应 零输入响应 t uc 0 US 零状态响应 全响应 零输入响应 U0 下 页上 页 例1t=0时 ,开关K打开，求t0后的iL、uL 解这是一个RL电路全响应问 题，有： iL K(t=0) + 24V 0.6H 4 + uL 8 零输入响应： 零状态响应： 全响应： 下 页上 页 或求出稳态分量： 全响应： 代入初值有：62A A=4 下 页上 页 3. 三要素法分析一阶电路 一阶电路的数学模型是一阶微分方程： 令 t = 0+ 其解答一般形式为： 分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题 用0+等效电路求解 用t的稳态电路求解 直流激励时： 下 页上 页 1A 2 例1 1 3F + - uC 已知：t=0时合开关，求换路后的uC(t) 。 解 t uc 2 (V) 0.667 0 下 页上 页 例5 i 10V 1H k1(t=0) k2(t=0.2s) 3 2 已知：电感无初始储能 t = 0 时合k1 , t =0.2s时合k2 求两次换路后的电感电流i(t)。 0 0.2s 解 下 页上 页 (0 0+ 零输入响应 （RC放电） ic R C + uc - uC t 0 iC t (1) 下 页上 页 iL不可能是冲激 (1). t 在 0- 0+间 L + - iL R 例2 + - uL 下 页上 页 (2). t 0+ RL放电 R uL iL + - t iL 0 t uL 下 页上 页 零状态 R(t) 2. 由单位阶跃响应求单位冲激响应 单位阶跃响应 单位冲激响应 h(t) s(t) 单位冲激 (t) 单位阶跃 (t) 下 页上 页 先求单位阶跃响应 令 is (t)= iC R is C 例1 + - uC uC(0+)=0 uC()=R = RC 已知： 求： is (t)为单位冲激时电路响应 uC(t)和 iC (t) iC(0+)=1 iC()=0 再求单位冲激响应 令 i s (t)= 0 下 页上 页 uC R t 0 iC 1 t 0 uC t 0 iC t (1)冲激响应 阶跃响应 下 页上 页 一. 在冲激激励下，电容电压或电感电流初值的跃变 iC C 例1 + - uC t uc uC(0-) uC(0+) 0 t ic 0 补： 电容电压或电感电流初值的跃变 下 页上 页 二. 换路后电路有纯电容 (或纯电容和电压源）构成的回路， 电容电压初值可能发生跃变。 跃变规律：电荷守恒原理。 电荷守恒原理：对于闭合电路的任一节点，在任何时刻，与 这一节点相联的所有支路注入节点的电荷总量恒等于零。 t uL uL + - iL 例2 + - t iL iL(0-) iL(0+) 0 下 页上 页 合闸后由KVL uc(0+)=E ic不是冲激函数, uc不会跳变 E iC C k(t=0) 例3 E iC C k(t=0) R t ic 0 uc t E 0 ic t (CE) 0 下 页上 页 解 电容电压初值一定会发生跃变。 合k前 合k后 例4 E R C1 C2 + - uc1 + - uc2 k (t=0) i iC1 iC2已知 ：E=1V , R=1 , C1=0.25F , C2=0.5F , t = 0时合k。 求： uC1 ， uC2 。 下 页上 页 节点电荷守恒q(0+)= q(0-) uC() = 1V = R(C1+C2)