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空间曲线及其在坐标面上的投影 1.空间曲线的一般式方程 前面我们曾经把空间直线看作是两平面的交 线，类似地，也可以把空间曲线看作是两张曲面 的交线。 设曲面 的方程是 ，曲面 的方 程是 ，则其交线 C 上的点必定同 时满足 ， 的方程。不在 C 上的点一定不能 同时满足这两个方程。 因此，联立方程组 即为空间曲线C 的方 程，它称为空间曲线的一般式方程。 2.投影柱面及投影曲线 设空间曲线C 的方程为 ,过曲线C 上的每一点作 坐标面的垂线，这些垂线形成了一个母线平行于 轴且过 曲线C的柱面，称此柱面为曲线C 关于 面的投影柱面。这个 柱面与 面的交线称为曲线C 在 面上的投影曲线，简 称投影。 3.投影曲线方程 在方程组 中消去变量 Z，得方程 。 上述方程缺变量Z，所以它是一个母线平行于 Z轴的柱面。又 因为C上的点的坐标满足方程组 ,当然也满足方 程 ，所以C上的点都在此柱面上。方程 就是曲线C 关于 面的投影柱面方程。它与 面的交线 就是C 在 面上的投影方程。 同理，若分别从方程组 中消去变量x或y，分别得 方程 或 ，则曲线C 在 面与 面的 投影方程分别为 与 。 例1 求曲线 在 面上的投影方程， 并问它 在 面上是怎样一条曲线？ 解 消去z变量得 ，这是曲线C 关于 坐标面的投影柱面方程，所以曲线C 在 坐标面上的投影方程为 , 它是 坐标面上的一个圆（见图8-29）。 例2 求空间曲线C 在 坐标面上的投影曲线 方程。 解 由所给方程组消去 Z 即得曲线 C 关于 坐标面的投影 柱面方程为 ，此柱面与 坐标面的交线： 即为曲线C在坐标面的投影曲线（见图8-30）。 如图:投影曲线的研究过程. 空间曲线投影曲线投影柱面 例3 求曲线 在坐标面上的投影. 解 （1）消去变量z后得 在 面上的投影为 所以在 面上的投影为线段. （
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