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第十五章第十五章 正交曲面坐标系正交曲面坐标系 数学物理方法 定解问题 分离变量法 直角坐标系：一维线性 矩形 长方体 圆柱 球形 正交曲面坐标系 15.1 正交曲面坐标系 直角坐标系下任意一点 (x, y, z) 球坐标柱坐标 定义 曲面坐标系 q1, q2, q3 与直角坐标系的关系为 雅可比行列式不为零 其坐标面为三组曲面：q1 = 常数， q2 =常数， q3 =常数。 正交曲面坐标系 由通过该点的三个坐标面决定， q1 ，q2 ，q3 相互独立 若q1 ，q2 ，q3总是互相垂直，它就是正交曲面坐标系。 点 a0 与其邻点的弧长： 其中， 是坐标轴的度规因子， 若 gij=giidij ，则 (q1, q2, q3) 为正交曲面坐标系。 令 其中 判定 即 或 判断柱坐标系 为正交曲面坐标系。 例题 解 可知，柱坐标系是正交曲面坐标系。 判断球坐标系 为正交曲面坐标系。 例题 解 可知，球坐标系是正交曲面坐标系。 直角坐标系： 正交曲面坐标系中的拉普拉斯算符： 柱坐标系： 球坐标系： 极坐标系： 补充原点处的有界条件： 有界 15.2 圆形区域 可采用分离变量法 采用平面极坐标系 圆形区域中的稳定问题 补充周期性条件： 直角坐标下无法分离变量 令 ，分离变量 定解问题为： 两边同乘以 得 若 l = 0 可知： 周期性条件 由周期性条件知： 本征函数 若 l 0 可知： 由周期性条件知： 本征函数 对方程（1）作变换：令 ，则 因此，当 时，本征函数为 本征值 l0 = 0 ，本征函数： 方程（1）化为： 定解问题的全部特解为： 一般解： 本征值 lm = m2 ，本征函数： 在 r = 0 处， 有界， lnr 和 项的系数为零，即 将一般解代入周期性条件 ： 利用本征函数的正交性及 可知： 再代入边界条件 ： 三维空间的稳恒振动问题： 15.3 亥姆霍兹方程在柱坐标系下的分离变量 通常要求解的形式为： 这样方程就化为了： 亥姆霍兹方程 T(t) 为随时间衰减的因子 柱坐标系下，亥姆霍兹方程 的具体形式为： 逐次分离变量，令代入方程 两边同除以 wZ 得： 再次分离变量，令代入方程 得 两边同乘以 得 17章 柱函数 两边同乘以 得 15.4 亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量 球坐标系下，亥姆霍兹方程 的具体形式为： 逐次分离变量，令代入方程 再次分离变量，令代入方程（2） 得 即 两边同乘以 得 16章 球函数 连带勒让德方程 当整个定解问题再绕极轴转动任意角不变时，即 u = u (r,
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