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应用随机过程 第四章 鞅与Brown运动 教师: 陈 萍 1 鞅论是现代概率论中的一个重要内容.也 是随机过程和数理统计研究的重要工具. “鞅 ”原意有“赌输后加倍赔偿”的含义. 但是鞅 论本身在近年来的迅猛的发展却有着理论和实 际两方面的需要。 一方面, 鞅是独立随机变量部分和的自然 推广，人们致力于把概率论中的极限理论推广 到鞅上去。另一方面，在随机过程和数理统计 的研究中，人们遇到了形形色色具体的鞅，形 成了鞅论研究的强大推动力。 第四章 鞅与Brown运动 2 定义 4.1.1 设(, F ,P)为概率空间, , Ft ,tT 为 F的单调递增子 代数族，若Mt ,tT 为(, F ,P) 上的随机过程，满足 1） Mt ,tT适应于Ft ,tT, 即Mt 关于 Ft可测; 2） t,E| Mt |0,以 概率q=1/2向左移动x,且每次移动相互独立,记 若Bt表示t时刻质点的位置,则有 显然, 16 以上简单随机游动可以作为微小粒子在直线上作不 规则运动的近似. 实际粒子的不规则运动是连续进行 的,为此,考虑 的情形.由物理实验得知,当 越小时,每次移动的 也越小,且在许多情况下,有 -以下均作如此假定. 对任意s0及每个t0 ,令 ,记 当 时， 依概率收敛到一个随机变量 ，记作 ，则称随机过程 为 的p阶变差过程. 特别, 如果p=1 称为全变差过程，如果 p=2称为二阶 变差过程. 23 注 对连续时间过程 ，如果 则 定理4.2.1 设 是一维标准Brown运动，其二 阶变差过程为 即 24 其中 求证 设 是一维标准Brown运动，令 注 此结论表明，当 充分小时，在均方意义下有 或写作 ： (习题4.14) 25 定理4.2.2 n维Brown运动 Bt关于由 生成 的代数Ft 是鞅. 定理4.2.3 设 Bt 为1-维标准Brown运动 ,则 i) Bt2-t 是鞅. ii) 对任意实数, 是鞅. 4.2.4 Brown运动
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