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控制科学与工程学院 误差理论 主要内容： 1.系统误差 2.误差的合成 3.最小二乘原理 4.曲线的拟合 5.补充：不确定度 控制科学与工程学院 误差理论 一、随机误差的合成 按方和根法得到它们的标准误差: 二、系统误差的合成 1、恒定系差的合成 可按代数和法合成： 当误差项数较多时，一般情况下按方和根法合成较好。 第九节 误差的合成 控制科学与工程学院 误差理论 2.变值系差的合成 第j 个系差的误差区间为aj,bj 系统不确定度为：ej=1/2*(bj-aj) 标准误差为： j=ej/kj （系统不确定度或极限 误差与置信系数之比） 合成方法： （1）线性相加法： e =e1+ e2+e3+ + en 控制科学与工程学院 误差理论 （2）方和根法： e = e12+ e22+e32+ + en2 （3）广义方和根法：将各变值系差的系统不确定度转换成 相应的标准误差，用方和根法合成后，得到总的标准 误差，再转化为总的系统不确定度。 控制科学与工程学院 误差理论 三 、随机误差与系统误差的合成 1.线性相加法:g=e+ 线性相加的结果，综合不确定度g偏大。 2.方和根法：g= e2+2 3.广义方和根法 控制科学与工程学院 误差理论 四、最后结果的表示 （1）随机不确定度（又称A类不确定度）与系统不确定度 （又称B类不确定度）在结果中分别标明。最后结果可 表示为： M=（,e） Where: M为被测量的测量值或计算结果；e及分别 是相应的系统、随机不确定度。 （2）用随机不确定度与系统不确定度合成后的综合不确定 度表示之。最后结果可写为：M g 。 控制科学与工程学院 误差理论 例：标准活塞式压力计实验测得各种误差因数引起的压力 的极限误差值如下。求总的不确定度（压力P=ma/S，单 位均略）。 （1）恒定系差：=+0.2，由系统安装误差引起。 （2）系统不确定度：e1=10.3，是由活塞有效面积S引起 的：e2=3.2，来自砝码及活塞质量（m）；e3=0.5，是 由重力加速度a的误差引起的。 （3）随机不确定度：1=11.6，是由活塞有效面积引起 的； 2=4.8，是由砝码及活塞质量（m）引起的。 控制科学与工程学院 误差理论 解：设引起误差的各个因数是相互独立的，按照方和根法 合成之。总的系统不确定度为：= e = e12+ e22+e32 = 10.32+3.22+0.52=10.8 总的随机不确定度为： = 12+22= 11.62+4.82=12.6 故活塞压力计总的不确定度g及修正量c为： g= e2+ 2= 10.82+12.6216.617 C= - = - 0.2 控制科学与工程学院 误差理论 例1：某弹簧管压力表的测量范围为 01.6MPa，准确度等级为2.5级，校验时 出现的最大绝对误差为0.05MPa，问这块 仪表是否合格？为什么？ 控制科学与工程学院 误差理论 例2 ：用标准压力表来校验工业压力表时，应 如何选用标准压力表精度等级？可否用一 台精度等级为0.2，量程为025MPa的标准 表来校验精度等级为1.5级，量程为 02.5MPa的压力表，为什么？ 控制科学与工程学院 误差理论 第十节 最小二乘原理 最小二乘原理：欲得真值的最佳估计值，应使 各测量值xi的残差vi的平方之 和为最小。 真值x0的最佳估计值即算术平均值x ，具有残差 平方和最小值的特性。 由于残差均是实数，各个残差的平方必为正数， 故残差的平方和为最小值就保证了相应的标准 偏差及方差为最小值，同时也说明了测量数据 的离散度也是最小的，精度较高。 控制科学与工程学院 误差理论 第十一节第十一节 曲线拟和的概念曲线拟和的概念 实际工作中由于各随机因素的干扰，所得到的数 据往往不同程度存在着误差。因此，插值方法只能 适用那些误差可以忽略不记的情况，当误差较大而 不能忽略时，又如何通过这些观测数据确定其内在 的变化规律呢？本节所介绍的曲线拟合就是解决这 一问题的主要方法之一。 控制科学与工程学院 误差理论 如图所示，常常需要 从一组获得的数据点 中，寻找变量与变量 之间的变化规律用 几何方法来解释，就 是用已知平面内的一 组点，来确定一条曲 线，使该曲线能在整 体上刻画这组点的变 化趋势而不需通过每 个点，我们称这种方 法为曲线拟合，所求 出的曲线称为拟合曲 线。 控制科学与工程学院 误差理论 控制科学与工程学院 误差理论 测量不确定度测量不确定度 重要性与政策： 1、测量的质量以不确定度表示 2、国家标准及ISO都强调不确定度的重要性 3、中国实验室国家认可委员会的测量不确定政策指出： 实验室应有能力进行不确定度的评定 控制科学与工程学院 误差理论 误差 （Error） 准确度 （Accuracy） 不确定度 （Uncertainty） 测量结果测得值减真值 测量结果与真 值的 一致程度 有定义 批量生产仪器没有定义 示值最大允许 误差 没有定义 计量标准装置 有定义（示值 误差） 没有定义 没有定义但 需要给出 控制科学与工程学院 误差理论 定义定义 不确定度定义：与测量结果相联系的参数 ，表征合理地赋予被测量之值的分散性。 此参数可以是用标准差或其倍数，也可以 是给定概率下置信区间的半宽。不确定度 恒为正值，由方差得出时取其正平方根。 控制科学与工程学院 误差理论 标准不确定度： 用标准偏差表示的测量结果的不 确定度。 （不确定度的）A类评定： 对观测列进行统计分析 以评定不确定度的方法。 （不确定度的）B类评定： 评定标准不确定度的非 统计分析方法。 影响量： 不是被测量但对测量有影响的量。 控制科学与工程学院 误差理论 合成标准不确定度： 当结果由若干其它量得来 时，该测量结果的标准不确定度等于这些量的方 差和协方差加权的正平方根，权的大小取决于这 些量的变化及测量结果影响的程度。 扩展不确定度： 确定测量结果区间的量，期望 测量结果以合理地赋予的较高置信水平包含在此 区间内。 包含因子：为获得扩展不确定度，作为合成不确 定度乘数的数字因子。 控制科学与工程学院 误差理论 测量不确定度的结构测量不确定度的结构: : 控制科学与工程学院 误差理论 A A类标准不确定度：类标准不确定度： （由于随机效应导致的不确定度（由于随机效应导致的不确定度） 实验标准（偏）差 s是单次观测值Xi的实验标准（偏）差， 是 m次测量所得算术平均值 的实验标准（偏）差，它是分 布的标准（偏）差的估计值。为易于区别前者用 表示，后者用 表示，故： 控制科学与工程学院 误差理论 B B类标准不确定度：类标准不确定度： （由于系统效应导致的不确定度）（由于系统效应导致的不确定度） 不同于A类对观测列进行统计分析的方法来评定标 准不确定度，称为不确定度B类的评定，有时也称B类不 确定度评定。B类不确定度评定是根据经验和资料及假设 的概率分布估计的标准（偏）差表征，也就是说其原始 数据并非来自观测列的数据处理，而是基于实验或其他 信息来估计，含有主观鉴别的成分。B类不确定度的信息 来源一般有： 控制科学与工程学院 误差理论 1.以前的观测数据； 2.对有关技术资料的测量仪器特性的了解和经验； 3.生产企业提供的技术说明文件； 4.校准证书（检定证书）或其他文件提供的数据、准确度 的等别或级别，包括目前仍在使用的极限误差、最大允 许误差等； 5.手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度； 6.规定试验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复 性限 或复现性。 控制科学与工程学院 误差理论 7.测量仪器的示值不够准确； 8.标准物质的标准值不够准确； 9.引用的数据或其它参量的不够准确； 10.取样的代表性不够，即被测样本不能完全代表所定义 的被测量； 11.化学分析中的基体效应，分析空白，干扰影响，回收 率及反映效率等系统影响； 12.测量方法和测量程序的近似和假设； 13.其他因素 控制科学与工程学院 误差理论 B类不确定度的评定方法: B类评定的标准不确定度可以用下述四种方法得到： （）若有关资料（如：计量校准/检定证书，仪器说明 书等）给出估计值 的扩展不确定度 为其估计值 标准不确定度 的 倍，则标准不确定度： B类标准不确定度： （由于系统效应导致的不确定度） 控制科学与工程学院 误差理论 （）如估计值 的扩展不确定度 不是按标准不 确定度 的倍给出，而是给出了置信概率P为90%、 95%、99%的置信区间的半宽 、 、 ，除 非另有说明，一般按照正态分布考虑评定其标准不确定度 。对应于上述三种置信概率的包含因子 分别为1.64、1.96 或2.58，即：标准不确定度为 控制科学与工程学院 误差理论 表-1: 正态分布情况下置信概率与包含因子之间的关系 p(%) 5068.27909595.459999.73 0.6711.645 1.96022.5763 控制科学与工程学院 误差理论 （）如已知信息表明 之值接近正态分布，并以 0.68的概率落于 的对称范围之内，按表 -1， ，则 。 （）若已知 估计值 分散区间的半宽为 ， 且 落在 至 范围内的概率p为100%，通过对分 布的估计，可以得出 标准不确定度为： 控制科学与工程学院 误差理论 式中： 为测量值概 率分布区间 半宽度,因 为 与 分布状态有 关，见右表 ： 控制科学与工程学院 误差理论 合成标准不确定度合成标准不确定度 式中： 为： 二个输入量的相关系数 为：灵敏系数（当被测量Y为相互独立的输入量 的线性函数时，灵敏系数为 +1 或 -1） 控制科学与工程学院 误差理论 在下列情况下可以不考虑各输入量之间的相关性： (1)可以确认各输入量之间相互独立无关； (2)虽然某些输入量相互之间可能存在相关性，但相关性 较弱； （3）虽然某些输入量之间存在强相关性，但这些输入量所 对应的不确定度分量对合成不确定度的贡献不大。 控制科学与工程学院 误差理论 合成标准不确定度合成标准不确定度 当: ;且 或 -1时, 控制科学与工程学院 误差理论 结 束 选定包含因子 一般为23 控制科学与工程学院 误差理论 合成标准不确定度合成标准不确定度 用Up 表示扩展不确定度, 即 合成标准不确定度 的自由度称为有效自由度 ， 如果 是两个以上多个估计方差分量的合成，即 ，则即使当每个 均服从正态 分布的输入量 的估计值，变量 可以近似 为t分布，其有效自由度 可以由韦尔奇 - 萨特思韦 特（Welch - Satterthwaite）公式计算： 控制科学与工程学院 误差理论 合成标准不确定度合成标准不确定度 上式也可用与相对标准不确定度的合成： 控制科学与工程学院 误差理论 评定不确定度的基本程序评定不确定度的基本程序 可用下述框图表示可用下述框图表示 分析引起不确定度的各种因素 评定各个不确定度分量 A类标准不确定度B类标准不确定度 评定合成标准不确定度 扩展不确定度 报告测量不确定度 建立数学模型 控制科学与工程学院 误差理论 建立数学模型建立数学模型 控制科学与工程学院 误差理论 测量不确定度的评定程序测量不确定度的评定程序 第一步，按A类评定方法评出A类标准不确定度； 第二步，按B类评定方法评出各B类标准不确定度； 第三步，按照合成不确定度的合成方法合成标准不确定度 ； 控制科学与工程学院 误差理论 测量不确定度的评定程序测量不确定度的评定程序 第四步，扩展不确定度的评定方法： （1）按照包含因子 k=23给出扩展不确定度 （2）按照标准不确定度 乘以给定概率p的 包含因子 ，从而得到扩展不确定度 。 与 的分布有关。当估计接近正态分布时， 采用 t分布临界值， ，一般采用 p值为 99%和95%。在多数情况下，采用p =95%。 控制科学与工程学院 误差理论 测量不确定度的评定程序测量不确定度的评定程序 对某项计量标准的检定或校准，根据规定可采 用 p=99%。当 充分大时，可以近似认为 、 ，从而分别得出 、 。 （3）当只给出扩展不确定度 U时，不必评定 各分量及合成标准不确定度的自由度 及有 效自由度 。除另有说明,对Y可能值的分布 作正态分布的估计，虽未计算 ，但可估计 控制科学与工程学院 误差理论 测量不确定度的评定程序测量不确定度的评定程序 值并不太小时，则 大约置信概率近 似为95%的区间的半宽，而 大约置信概 率近似为99%的区间的半宽。 （4）如果可以确定Y可能值的分布不是正态 分布，而是接近于其他某种分布，则决不能按 或 计算U或 。 （5）当Y可能值近似为矩形分布，则包含因 子 与 之间的关系应为： 控制科学与工程学院 误差理论 概率分布情况的估计（参考件）概率分布情况的估计（参考件） 正态分布： 1)重复条件或复现条件下多次测量的算术平均 值的分布； 2)被测量量Y用扩展不确定度Up给出，而对其 分布又没有特殊指明时，估计值Y的分布； 3)被测量Y的合成标准不确定度 中，相互 独立的分量 较多，它们之间的大小也比 较接近时，Y的分布； 控制科学与工程学院 误差理论 4)被测量Y的合成标准不确定度 中，相互 独立的分量 中，存在两个界限值接近的三 角分布，或4个界限值接近的均匀分布时； 5)被测量Y的合成标准不确定度 的相互独 立的 分量中，量值较大的分量（起着决 定作用的分布）接近正态分布时。 控制科学与工程学院 误差理论 矩型（均匀）分布： 1)数据修约导致的不确定度； 2)数字式测量仪器对示值量化（分辨率）导致的不确 定度； 3)测量仪器由于滞后、摩擦效应导致的不确定度； 4)按级使用的数字式仪表、测量仪器最大允许误差导 致的不确定度； 5)用上、下界给出的线膨胀