空间直角坐标系.ppt

空间解析几何与向量代数 第七章 三、空间直角坐标系 今后, 我们将介绍三维空间以及三维空间中直线 、曲线、平面、曲面的解析关系. 对于二维向量空间, 我们已很熟悉, 本书着重介绍三维向量空间中的一些 基本概念. 一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 对于二维空间, 我们引入相应直角坐标系 的途径是通过平面一定点 作两条互相垂直的 数轴而成. 对于三维空间, 我们可类似地建立 相应的空间直角坐标系, 即过空间中一定点O, 作三条互相垂直的数轴, 它们以O为公共原点 且具有相同的单位长度, 这三条数轴分别称为 x 轴, y 轴, z 轴, 都统称为数轴. 数轴正向不同, 可建立不同的直角坐标系. 如 0x y z 0 x y z 0x z y 0 x y z 为统一起见, 我们用右手法则确定其正向. O xy z 主要名称与记号: 1. 坐标平面:三个坐标轴中任意两条坐标轴 所确定的平面. xy 平面,yz 平面,zx 平面. 2. 卦限: 三个坐标平面将空间分为八个部分, 每一部分叫做一个卦限. IV VI V VII 0 x y VIII II III I z 点在各卦限 中坐标的符号 ： I II(, +, +) (+, +, +) III(, , +) IV(+, , +) V(+, +, ) VI(, +, ) VII(, , ) VIII (+, , ) 3. 空间点在空间直角坐标系中的表示法. R Q P O x y z M x y z 如此, 记P, Q, R在x 轴, y 轴, z 轴上的坐标 依次为x, y, z. 因此, 点M 一一对应于有序数组 (x, y, z). 4. 点M 的坐标 点M(x, y, z) 记为M (x, y, z) x,y,z 称为M 的坐标. 横 坐 标 纵 坐 标 竖 坐 标 5. 三维向量与空间点的一一对应关系. 点M 一一对应 (x, y, z) 始点终点 OM 6. 三维向量加法的几何意义 z x y o z x y o 平行四边形法则三角形法则 7. 数乘的几何意义 ( 1) ( 0, 1 0 0 0 ( , )=0 ( , )= 因此， / 时, (, ) 仍表示 , 正向之间的夹角. 可定义： 若=0, 仍可视(, )为 , 正向之间的夹角. 其中，0(, ) 表示, 正向之间的夹角. 例2. 解: 所做功 W = f1 s S F s F1 = |F| |S|cos (F, S) = F S. 例3. 求空间任意点 = (x, y, z)与三个坐标轴之间的夹角. 解: 在坐标轴上分别取三个单位向量 i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) 则 如果 是单位的, 即| |=1, 则 cos(, i) = x,cos(, j) = y, cos(, k) = z, 如果 不是单位的, 可进行单位化. = = (cos(, i), cos(, j ), cos(, k) ). 易知 cos2(, i) cos2(, j) cos2(, k) = 1. 的方向余弦及方向角, 与坐标轴夹角的余弦 例4. 设两点M1(2, 2, ), M2(1, 3, 0). 求向量M1M2 的方向 余弦及与M1M2 反方向的单位向量. 解: = M1M2 与 M1M2 反方向的向量为 将其单位化, 得单位化向量 向量在轴上的投影 M P u 点 P 为点 M 在轴上的投影. M1 M2 u1u2 u u2 u1为M1M2在轴上的投影 , 记为Proju = u2 u1 . M1 o u1 u2 u o u1 u2 u M2 M2 M1 性质： 2) 设 =(x, y, z), 则 Proji = i=x， Projj = j=y, Projk = k=z; 3) Proju(+ )=Proju + Proju . 1) Proju = u0 其中 u0 为与u轴同向的单位向量; 例5. 设 M(2, 1, 0), =(1, 1, 0)求 OM 在 上的投影 解： M y x z o 在前面介绍的向量加法与减法时我们知道，两向 量之和或差仍然是一个向量，但在介绍向量的数量积 时却发现， 不再是一个向量而是一个数了，因 此，我们仍希望引入向量的某种“积”运算，使之结果 仍为一个向量，构造的准则之一: 有实际应用. M B l | |=, 称为角速度向量. = | r |sin =| | | r| sin 考察一个刚体绕一轴l作旋转，刚体上任意一点 就产生线速度 v ，它的大小等于点 M 到旋转轴的距 离乘旋转角速度 . 方向垂直于过 l 及 M 的平面. v r v 的方向与 , r 都垂直. =| | | r |sin(, r ). / l 轴，满足 A | v |= | MB | 则 定义：设 , R3，定义 = R3 满足 ii) 的指向按右手法则从 转到 确定且与 , 所在平面垂直. 由此知上例中 称 为向量 和 的向量积. v = r . i) | | = | | | | sin(, )， 性质i) ij=k , j k=i, k i=j, ii) =0, 特别有ii=j j=k k=0, iii) , R3 为非零向量，则 / =0. 运算规律，设 , , R3 , 则 i) = = ( ) ; ii) ( + ) = + ; iii) ( ) = ( ) = ( ). 向量积的坐标表示： 设 =(x1, y1, z1), =(x2, y2, z2) =(x1i+y1j+z1k)(x2i + y2 j +z2 k) = x1y2 ij + x1z2 ik+y1x2 j i + y1z2 j k+ z1x2 ki+ z1y2 kj = x1y2 k + x1z2 (j)+y1x2 (k)+ y1z2 i+ z1x2 j+ z1y2 (i) =( y1z2 z1y2 )i+(z1x2 x1z2) j+ (x1y2 y1x2)k 例6 求以 = (2, 1, 1), =(1, 1, 2)为两边的平等四边 形的面积. 解： S =| |. S=| | | sin( , ) 而 S=| | = i5j 3k = (1, 5, 3), 加法 零元素 负元素 减法运算 运算法则 交换律 分配律 数乘 向量之伸长与缩小 封闭性 向量空间 特例向量子空间 向量组线性相关 与线性无关 向量空间的基、维数 向量空 间的基 表示 向量张成 子空间 内积 , 基本定义 运算法则 齐次性 对称性 线性 本身内积非负性 (由定义而定) 向量模| | 向量内积空间 正交性正交规范基 任意一个基 Schmidt 正交化 向量 三维向量