对总体分布函数F(x)的假设检验.ppt

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 一、对总体分布函数F(x)的假设检验 二、对随机变量的独立性、相关性的假设检验 例如，1 . 考察某一产品的质量指标打算用正态分布模型 2. 考察一种元件的寿命打算用指数分布模型 3. 一个骰子是否是均匀的？ 假设 H0：XN(, 2) 假设 H0 ：X服从参数为的指数分布 假设 H0 ：这个骰子是均匀的 这里主要介绍拟合优度检验（卡方检验法）。 H0: F(x)= F0(x)， H1: F(x) F0(x) 8.3 非参数假设检验 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 卡方检验（K. Pearson，拟合优度检验） 设 X为未知总体，(x1，x2，xn)为大样本(n50)，欲检验 H0: F(x)= F0(x)， H1: F(x) F0(x) 把实数轴(-，+)分成k个互不相交的区间： (-, a1, (a1, a2, , (ak-2, ak-1, (ak-1, +) 记a0=-, ak=+, Ii=(ak-2, ak-1 (i=1,2,k-1) , Ik=(ak-1, +)， ni为样本观测值（X的取值）落在第i个小区间Ii 的个数, pi 为X取值落入第i个小区间Ii的概率，0pi1, i=1,2, ,k, 则 pi= P ai-1X ai = F0(ai)F0(ai-1)，i=1,2,k. 构造统计量： 8.3 非参数假设检验 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 K. Pearson和R.A.Fisher联合证明了： 定理 不论F0(x)是何分布函数，只要n充分大(n50)，当假设 H0成立时，上述2统计量都近似地服从自由度为k-r-1的2 分布 。其中r是F0(x)中未知参数的个数。 称ni为实测频数，vi=npi为理论频数。称这类检验为拟合优度 检验。 对于给定的，查2分布表得临界值2(k-r-1)，使 由样本值计算出2 统计量的值，当 2 2(k-r-1) 时拒绝H0 2 2(k-r-1) 时接受H0 可见，皮尔逊定理（准则）适用于实测频数与理论频数相比 较的问题。 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 几点注释 若分布函数F0(x)的类型未知，可由实际问题分析或由样本 观察数据的直方图来推测。 若已知F0(x) 分布类型，还有r个参数未知时，须先用极大 似然估计法求出未知参数的估计值，然后再作假设。 此检验要求一定是大样本，一般n50。至于k的大小，对于 正态总体，样本容量n与区间个数k要满足渐近最优关系 k=1.87(n-1)0.4 若理论频数vi=npi5时，则将相临的小区间合并，直至全 部npi 5（合并区间的同时，也将实测频数合并），合并后的小 区间数设为k*，则此时2统计量的由度变为 df = k*-r-1 手工计算时常采用公式 N50100200 500 1000200010000 k9121622305674 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 =(-1.22)-(-1.68)=0.0647. 类似地算得: p3=0.1124, p4=0.1547, p5=0.1813, p6=0.1695, p7=0.1286, p8=0.0793, p9=0.0630. 例1 设从总体X中抽取120个样本观察值，经计算整理得下表， 试检验X服从正态分布。（=0.05） 组组号小区间间ni 1（-，1986 2（198，2017 3（201，20414 4（204，20720 5（207，21023 6（210，21322 7（213，21614 8（216，2198 9（219，+）6 120 解 这里只给出了分布类型，有两 个待估参数与2。 用极大似然法对 与2作出估计，得到 故提出假设 H0: X N( 209 , 42.77) H1: X不服从 N(209, 42.77) 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 由 n =120，算得统计量的值 由于 所以接受H0，认为X N(209 ,42.77). =0.05, k=9, r=2. 查表得临界值 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 解 首先，用样本观察值对未知参数 作极大似然估计。以xi表示区间(ti-1, ti)的中点（也称为组中值），则 故提出假设 H0：X服从 =0.2的指数分布. 当H0为真时，有 例2 对200个电池做寿命试验，(ti-1,ti)表示以小时计的时间区间 (i=1,2,6)，在=0.05下，试检验电池寿命X服从指数分布。 组组序（ti-1, ti）ni 1（0, 5）133 2（5, 10）45 3（10, 15）15 4（15, 20）4 5（20, 25）2 6（25, 30）1 200 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 由=0.05 得 类似地算出：p3 =0.0855, p4 =0.03147, p5 =0.0016, p6 =0.0043. 各vi=npi分别为：126.42, 46.52, 17.10, 6.30, 2.32, 0.84. 由于v5和v6都小于5，且合并后仍小于5，故与v4合并. 组组序nivi=npini-npi(ni-npi)2/npi 1133126.426.580.3425 24546.521.520.0497 31517.102.100.2579 479.462.460.6397 2002001.29 由于22(k-r-1)，故接受H0，即认为X服从参数= 0.2的指 数分布。 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 解 先用极大似然估计法求估计值 （i =1,2,3,4,5） 例3 从同类产品中，任取n = 200 批，质检结果如下表，其中xi 表示各批产品中次品数，ni表示有xi件次品的批数，试在显显著性 水平 =0.05下，检验次品件数X 服从泊松分布。 于是认为F0(x)是参数为=0.6的泊松分布的分布函数，分布律为 检验假设为 H0: X服从=0.6的泊松分布 序号 12345 xi01234 ni116562242200 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 当 H0成立时，算得 2 =2.5509243， 由于2 2(kr1)，所以接受H0，即认为X服从=0.6的 泊松分布。 类似地算出 p3=0.098761， p4=0.0197572， p5=0.00296. 再算出理论频数npi分别为 109.7623，65.8574，19.7572，3.9514，0.5927. 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 统计量实质是 选讲内容： 1. 适合性检验 适合性检验是用样本提供的信息去推断总体分布是否适合某 种已知的规律。 例4 某地区1993年新生婴儿1284个，其中男婴692个，试问婴 儿的性别比是否正常？( =0.01) 解 检验假设为 H0：男:女=1:1 , H1：男:女1:1 当H0为真时，有 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 选讲内容： 1. 适合性检验 对于0.01，查表得临界值 由于 所以拒绝H0，即认为该地区1993年新生婴儿性别的比例失调。 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例5 按孟德尔遗传学说，将两种豌豆杂交后，可产出数量之 比为 9:3:3:1 的 A、B、C、D 四种不同的种子。今在一试验中 共收了189粒种子，A、B、C、D各类型的分别为102粒、30粒、 42粒和5粒。问在 =0.01下，该结果是否符合孟德尔遗传学说的 结果？ 选讲内容： 1. 适合性检验 解 检验假设为 H0：A:B:C:D=9:3:3:1，即试验结果适合孟德尔学说 实测频数为102，30，42和15，且当H0成立时理论频数为 同样可计算出B、C、D型种子的理论频数依次为 vB=35.4375，vC=35.4375，vD=11.8125. 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 由=0.01得临界值 由于 于是有 故接受H0，即认为试验结果与孟德尔学说的结果相符合。 选讲内容： 1. 适合性检验 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 独立性检验是对两个总体，或两组资料，或一总体的两种指 标（分类、特性、特征）等之间的独立性所进行的检验。因此 ，若设X和Y是两个总体（或一个总体的两个指标），则其假设 应为： H0：两总体X与Y相互独立 将X和Y的可能的取值范围分成互不相交的r个组和s个组：A1, A2, , Ar和B1, B2, , Bs. 在总体(X, Y)中随机抽取样本(x1, y1), (x2, y2), , (xn, yn). 记Ai与Bj的每一个搭配(A