工程力学梁的变形教学PPT.ppt

1 第十章 弯曲变形 10-1 梁的转角和挠度 10-2 用积分法求梁的位移 10-3 用叠加法求梁的位移 10-5 梁的刚度校核及提高弯曲刚度的措施 10-4 简单超静定梁 2 10-1 梁的转角和挠度 直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线ab将弯曲成 平面曲线ac1b。梁的横截面形心(即轴线ab上的点)在垂直 于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原 来位置的角位移 称为横截面的转角(angle of rotation)。 3 弯曲后梁的轴线挠曲线(deflection curve)为一平 坦而光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线 方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故 横截面的转角 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之 间的夹角，从而有转角方程： 4 在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负； 顺时针转向的转角为正，逆时针转向的转角为负。 5 10-2 用积分法求梁的位移 . 梁的挠曲线近似微分方程 在前面学习中曾得到梁在线弹性范围内纯弯曲情况 下中性层的曲率为 这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。 6 在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩m=m(x)外，还 有剪力，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生影响。 但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h的10倍， 此时剪力对梁的变形的影响可略去不计，而有 7 从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作 式中，等号右边有正负号是因为曲率1/r为度量平面曲线( 挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w“是 = w 沿x方 向的变化率，是有正负的。 8 再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w“ ，正弯矩对 应于负值的w“ ，故从上列两式应有 由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略 去，于是得挠曲线近似微分方程 9 . 用积分法求梁的位移 求梁的挠曲线方程时可将上式改写为 后进行积分，再利用边界条件(boundary condition)确定积分 常数。 10 当全梁各横截面上的弯矩 可用一个弯矩方程表示时(例如 图中所示情况)有 以上两式中的积分常数c1， c2由边界条件确定后即可得出梁 的转角方程和挠曲线方程。 11 边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如 下图所示。 12 若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程 需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同 。而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积 分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条 件(constraint condition)外，还需利用相邻两段梁在交界 处的连续条件(continuity condition)。这两类条件统称为 边界条件。 13 连续条件 a b x y l p b a b x y l p a 14 例题1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程， 并求自由端截面的挠度和转角。 。 15 解：该梁的弯矩方程为 挠曲线近似微分方程为 以x为自变量进行积分得 于是得 该梁的边界条件为：在 x=0 处 ，w =0 16 从而有转角方程 挠曲线方程 当x=l时： 17 例题2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程， 并确定其最大挠度wmax和最大转角max。 18 解：约束力为 两段梁的弯矩方程分别为 为了后面确定积分常数的方便，右边那段梁的弯矩方程 m2(x)仍取x截面左边的梁为分离体，使方程m2(x)中的第一项 与方程m1(x)中的项相同。 19 两段梁的挠曲线近似微分方程亦需分段列出，并分别进行积分： 挠曲线近似微分方程 积分得 左段梁右段梁 20 该梁的两类边界条件为 支座约束条件：在x=0处 w1=0，在 x=l 处 w2=0 连续条件： 在x=a处 ，w1=w2 由两个连续条件得： 由支座约束条件 w1|x=0=0 得 从而也有 21 由另一支座约束条件 w2|x=l=0 有 即 从而也有 22 从而得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下： 左段梁右段梁 23 左、右两支座处截面的转角分别为 当ab时有 24 将上列x1的表达式代入左段梁 的挠曲线方程得： 求得 的位置值 。 由 25 由上式还可知，当集中荷载f 作用在右支座附近因而b值甚小， 以致 b2 和 l2 相比可略去不计时有 它发生在 处。而此时 处(跨 中点c)的挠度wc为 简支梁最大挠度的近似计算： 26 当集中荷载f作用于简支梁的跨中时(b=l/2)，最大转角 max和最大挠度wmax为 可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下，跨中 挠度与最大挠度也只相差不到3%。因此在工程计算中，只要 简支梁的挠曲线上没有拐点都可以跨中挠度代替最大挠度。 27 10-3 用叠加法求梁的位移 当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时 ，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况 下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截 面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下 该截面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的 叠加原理(principle of superposition)。 28 悬臂梁和简支梁在简单荷载(集中荷载，集中力偶，分 布荷载)作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及 简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在表10-1中列 出。根据这些资料灵活运用叠加原理，往往可较方便地计 算复杂荷载情况下梁的指定截面的挠度和转角。 29 已知：q、l 、 ei 求：wc , b 例题 30 31 32 例题 怎样用怎样用叠加法确定叠加法确定 c c 和和 w wc c ? ? 33 34 35 36 超静梁未知力的数目多于能列出的独立平衡方程的数目， 仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则称为超静定问题（或 静不定问题）。 超静次数=未知力的数目- 独立平衡方程数 b q l 4个约束反力， 3个平衡方程， 静不定次数=1 1、超静定的概念 10-4 简单超静定梁 37 2 、解简单超静定梁的基本思想： (1) 确定超静定次数。 (2) 选择基本静定梁。 静定梁(基本静定基) 将超静定梁的多余约束解除，得到 相应的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力 以及内力。 多余约束 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约 束或多余杆件。 多余约束的数目=超静定次数 b q l 多余约束的数目=1 38 静定梁(基本静定基)选取 (2)解除a端阻止转动的支座反力 矩 作为多余约束,即选择两端 简支的梁作为基本静定梁。 b q l a (1)解除b支座的约束,以 代替 ，即选择a端固定b端自由的悬臂 梁作为基本静定梁。 b q l a 39 (2) 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协 调条件。一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单 ，其次是简支梁，最后为外伸梁。 基本静定基选取可遵循的原则： (1) 基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变 系统； 40 a b q l b q l a b q l a 3、列出变形协调条件。 比较原静不定梁和静定基在解除约 束处的变形，根据基本静定梁的一 切情况要与原超静定梁完全相同的 要求，得到变形协调条件。 41 本例： (1) 4、用积分法或叠加法求变形，并求出多余未知力。 仅有q作用，b点挠度为： 仅有 作用，b点挠度为： 因此 解得: b q l a 42 5、根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力。 本例： (1) b q l a （ ） 43 b q l a (+) (-) 因此 6、在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。 44 例题 图示静不定梁，等截面梁ac的抗弯刚度ei，拉杆bd的 抗拉 刚度ea，在f力作用下，试求bd杆的拉力。 f l/2l/2 a b c d l 1、选择基本静定梁。 解： f l/2l/2 a b c 2、列出变形协调条件。 而 （1） 45 解得： 代入（1）： f l/2l/2 a b c 46 10-5 梁的刚度校核及提高弯曲刚度的措施 . 梁的刚度校核 对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时， 为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满 足刚度条件(stiffness condition)： 式中，l为跨长， 为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠 跨比)，为许可转角。上列刚度条件常称之为梁的刚度 条件。 47 土建工程中通常只限制梁的挠跨比， 。在 机械工程中，对于主要的轴， ；对于传动轴还 要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角， 。 48 . 提高梁刚度的措施 (1) 增大梁的弯曲刚度ei 由于不同牌号的钢材它们的弹性模量e大致相同 (e210 gpa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢 并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均 采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增 大截面对于中性轴的惯性矩iz，例如工字形截面和箱形截 面。 49 跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大 弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为 (2) 调整跨长和改变结构的体系 50 如果将两个铰支