几种需要考虑左右极限的函数.pdf

2013 年8 月 总第 288 期 摘要:左右极限的概念和计算是高等数学教学的重点和 难点,可并不是所有函数都是左右极限相等， 求有些函数的极 限需要考虑其左右极限。本文总结了求极限需考察左、 右极限 的几种函数。 关键词： 极限； 左右极限； 函数 求函数极限的方法很多， 有些函数可直接计算极限。 另外， 还有些函数需要分别考查两个单侧极限， 即左、 右极限， 然后利 用函数极限存在的充分必要条件判断。 若左、 右极限相等， 则函 数在该处的极限存在； 否则不存在。 需考察左、 右极限的函数求 极限问题是教学的难点， 为了便于掌握， 将常见题型分析如下: 一、 求分段函数在分段点的极限 一般地， 若某点的两侧是同一表达式， 则可直接计算双侧 极限， 如果是分段函数的区间分段点， 由于分段点的两侧具有 不同的表达式， 因而左右极限有可能不同， 必须考察左、 右极 限。求分段函数在分段点的极限时， 不必考虑函数在分段点的 取值情况， 只需分析在分段点左右两侧的取值情况即可。 例 1： 函数 f(x)= x+1x1 x-1x1 嗓 ， 问 lim x1+f(x)在 x=1 处的极限是 否存在。 解： f(x)在 x=1 处的右极限 f(x)= lim x寅1+ x+1=2， f(x)在 x=1 处的左极 lim x1-f(x)= lim x1-x-1=0， 因为 lim x1-f(x) lim x1+f(x)， 所以 f(x)在 x=1 处的极限不存在。 二、 求含绝对值的函数的极限 含绝对值的函数在求极限时， 一般可先去掉绝对值， 改写 为分段函数， 然后再考察函数在分段点的左、 右极限。 例 2： 考察函数 f(x)=|x| x 在 x=0 处的极限。 解： 将 |x| 改写为分段函数 |x|= -x， x1 时， 有 00 且 a1)的函数极限， 或 求当 x 趋于零时含 a 1 x 的函数的极限 因为当 a1 时， lim x-a x=0 或lim x0-a 1 x =0， lim x+a x=+肄 或 lim x0+a 1 x =+， 当 0a1 时 lim x+a x=0 或lim x0+a 1 x =0， lim x-a x=+肄 或lim x0-a 1 x =+， 所以 lim x+a x或lim x0a 1 x 不存在。故需要讨论左右极限。 例 4： 讨论 f(x)= 2 1 x -1 2 1 x +1 )在 x=0 处的极限是否存在。 解：当 x寅0-时 lim x0-2 1 x = lim x-2 u=0，当 x寅0+时lim x0+2 1 x = lim x+2 u=+肄，所以lim x0-f (x)= lim x0- 2 1 x -1 2 1 x +1 = 0-1 0+1 =-1， lim x0+f(x)= lim x0+ 1-2 -1 x 1+2 -1 x =1-0 1+0 =1， 因此该函数在 x=0 处的极限不存在。 五、 求含 arctanx(arccotx)的函数 x 趋向无穷的极限， 或含 arctan1 x (arccot 1 x )的函数 x 趋于零的极限 这是因为当 lim x+arctanx=/2，当 lim x-arctanx=-/2， 故 lim xarctanx 不存在。同样 lim x-arccotx=， lim x-arccotx=0， 故 lim xarccotx 不存在。 同理当 x0+和 x0-时 arctan 1 x (arccot 1 x )的极限值不相 等， 故需讨论左、 右极限。 例 5： 求极限 lim x ln(1+1/x) arctanx 的值。 解：因为 lim x+ ln(1+1/x) arctanx = 0 /2 =0， lim x- ln(1+1/x) arctanx = 0 -/2 =0， 该函数的左右极限存在且相等， 故所求极限存在且 lim x ln(1+1/x) arctanx =0。 六、 求含偶次方根的函数的极限 由于开偶次方根的结果为非负数， 求 xx0或x时的 几种需要考虑左右极限的函数 贺文杰 （新乡职业技术学院， 河南新乡453006） 高职教育 55 pdf 文件使用 “pdffactory pro“ 试用版本创建 新校园 xinxiaoyuan 极限，应分 xx0+或x和 xx0-或x-两种情况讨 论。 例 6： 求 lim xx( x2+1 姨 -x) 解： 因为 lim x+x( x2+1 姨 -x)= lim x+ x x2+1 姨 +x = lim x+ 1 1+1/x2 姨 +1 = 1 2 ，lim x-x( x2+1 姨 -x) = lim x- x x2+1 姨 +x = lim x- 1 -1+1/x2 姨 +1 =，故所求极限不 存在。 左、右极限的概念和计算是高等数学教学的重点和难点， 这部分内容概念抽象， 题型灵活多样， 需要及时总结归纳。 只有 深刻理解基本概念， 掌握好各种题型的解题技巧， 才能找到解 决问题的切入点和突破口。 参考文献: 1同济大学数学教研室.高等数学m.北京:高等教育出版社， 1997. 2吴良森.数学分析习题精解m.北京:科学出版社， 2003. 随着高职数学内容的逐步深化， 许多学生的数学能力开始 下降， 他们越学越吃力， 出现了严重偏科的现象。因此， 对高职 学生数学能力的培养应引起广大教师的重视。 一、 弃重求轻， 培养兴趣 学生数学能力下降， 环境因素及心理因素不容忽视。 目前， 社会、 家庭、 学校对学生的期望值普遍过高， 再加上学生的心理 承受能力较差， 数学学科难度增加， 导致他们的数学学习兴趣 淡化， 能力下降。因此， 教师要多关心学学生的思想和学习， 经 常同他们平等交谈， 了解其思想上、 学习上存在的问题， 帮助其 分析原因， 制订学习计划， 清除紧张心理， 鼓励他们 “敢问”“会 问” ， 激发其学习兴趣。同时， 要求家长能以积极的态度对待学 生的数学学习， 要多鼓励少指责， 帮助他们放下沉重的思想包 袱， 轻松愉快地投入到数学学习中； 还可以结合名人成才的事 例和现实生活中的实例， 帮助他们树立学好数学的信心。事实 上， 学生只要感兴趣， 就会克服困难， 努力提高数学能力。 二、“开门” 造车， 注重方法 在学习方法方面， 学生比较注重基础， 学习较扎实， 喜欢做 基础题， 但解综合题的能力较差， 更不愿解难题； 学生上课记笔 记， 复习时喜欢看课本和笔记， 但忽视上课听讲和能力训练； 学 生注重条理化和规范化， 按部就班， 但适应性和创新意识较差。 因此， 教师要指导学生 “开门” 造车， 让他们暴露学习中的问题， 有针对地指导听课， 强化双基训练， 对综合性强的问题， 指导他 们学会利用等价转换、 类比、 化归等数学思想， 将问题转化为若 干基础问题， 还可以组织他们学习他人成功的经验， 改进学习 方法， 逐步提高能力。 三、 笨鸟先飞， 强化预习 学生受生理、 心理等因素影响， 对知识的理解、 应用能力相 对要差一些， 对问题的反应速度也慢一些。因此， 要提高课堂学 习过程中的数学能力， 课前的预习至关重要。教学中， 要有针对 性地指导学生课前预习， 可以编制预习提纲， 对抽象的概念、 逻 辑性较强的推理、空间想象能力及数形结合能力要求较高的内 容， 要求学生通过预习有一定的了解， 便于听课时有的放矢， 易 于突破难点。认真预习， 还可以改变学生的心理状态， 使之变被 动学习为主动参与。因此， 要求学生强化课前预习， 笨鸟先飞。 四、 固本扶元， 落实 “双基” 学生数学能力差， 主要表现在对基本技能的理解、 掌握和 应用上。只有在巩固基础知识和掌握基本技能的前提下， 学生 才能提高综合能力。因此， 教师要加强对旧知识的复习和基本 技能的训练， 结合讲授新课组织复习； 也可以通过基础知识的 训练， 使学学生对已学的知识进行巩固和提高， 使他们具备学 习新知识所必需的基本能力， 从而对新知识的学习和掌握起到 促进作用。 五、 扬长补短， 增加自信 在数学学习过程中， 学生在运算方面规范性强、 准确率高， 但运算速度偏慢、 技巧性不强； 在逻辑思维能力方面， 善于直接 推理， 条理性强， 但间接推理欠缺、 思维方式单一； 在空间想象 能力方面， 直觉思维敏捷、 表达准确， 但线面关系含混、 作图能 力差； 在应用能力方面，“解模” 能力较强， 但 “建模” 能力偏差。 因此， 教学中要注意发挥学生的长处， 增加其自信心， 使其有正 视挫折的勇气和战胜困难的决心。 特别要针对学生的弱点进行 教学， 多讲常用技巧， 注意速度训练， 分析问题既要 “由因导 果” ， 也要 “执果索因” ， 呈现过程， 激活思维； 注重数形结合， 适 当增加直观教学， 训练作图能力， 培养想象力； 揭示实际问题的 空间形式和数量关系， 培养 “建模” 能力。 六、 举一反三， 提升能力 “上课能听懂， 作业能完成， 就是成绩没提高” ， 这是学生共 同的问题。由于课堂信息容量小， 知识单一， 在教师的指导下， 学生一般能听懂；课后的练习多是直接应用概念套用算法， 过 程简单且技能技巧要求较低， 他们能完成。但因速度和时间等 方面的影响， 他们不大注重课后的理解掌握和能力提高。 因此， 教学中要编制 “套题”（知识