用数学的思维方式教数学_丘维声.pdf

中国大学教学 2015 年第 1 期 9 丘维声，北京大学教授，第一届高等学校教学名师奖获得者。 用数学的思维方式教数学 丘维声丘维声 如何使数学比较好学？如何在数学教学的过 程中培养学生的创新能力？ 数学的概念和定理比较多，而且比较抽象， 数学的证明要进行逻辑推理，做数学题需要掌握 概念、定理和方法，这些使得不少学生感到数学 比较难学。通常的数学教学一开始给出数学概念 的定义，接着写出有关的定理，然后对定理进行 证明。这种教学方式可以让学生学到数学的概念 和定理，可以训练学生的逻辑推理能力。但是学 生不知道概念是怎么提出来的，不知道定理是怎 么发现的，因此培养不出学生的创新能力。本人 根据四十多年的教学和科研工作的经验，用数学 的思维方式教数学就可以既使数学比较好学，又 可以在教学的过程中培养学生的创新能力。 数学的思维方式是一个全过程：观察客观现 象，抓住主要特征，抽象出概念；提出要研究的 问题，运用“解剖麻雀” 、直觉、归纳、类比、联 想和逻辑推理等进行探索，猜测可能有的规律； 经过深入分析，只使用公理、定义和已经证明了 的定理进行逻辑推理来严密论证，揭示出事物的 内在规律， 从而使纷繁复杂的现象变得井然有序。 用数学的思维方式教数学， 我们的主要做法有 以下几点。 1. 观察客观现象自然而然地引出概念， 讲清 楚为什么要引进这些概念 线性空间的概念是高等代数中最重要的概念 之一。我们让学生观察几何空间（以定点 o 为起 点的所有向量组成的集合）中有加法和数量乘法 运算，并且满足 8 条运算法则；向量的坐标是 3 元有序实数组，为了用坐标来做向量的加法和数 量乘法运算，很自然地在所有 3 元有序实数组组 成的集合中引进加法和数量乘法运算，并且也 满足 8 条运算法则。几何空间是 3 维空间，时 空空间是 4 维空间。有没有维数大于 4 的空间? 为了对数域 k上的 n元线性方程组直接从系数和 常数项判断它有没有解和有多少解，从矩阵的初 等行变换把线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩 阵可以判断线性方程组的解的情况受到启发，很 自然地在所有n元有序数组组成的集合kn中引进 加法和数量乘法运算， 并且也满足 8 条运算法则。 kn就是一个 n 维空间。我们抓住几何空间， kn的共同的主要特征： “有加法和数量乘法运算， 并且满足 8 条运算法则” ， 便自然而然地引出了线 性空间的概念。为了使线性空间为数学、自然科 学和社会科学的研究提供广阔天地，需要把线性 空间的结构搞清楚。 几何空间的结构是，任意取定 3 个不共面 的向量， 空间中任一向量都可以由它们线性表出， 并且表示方式唯一。由此受到启发，对于线性空 间 v， 如果有一族向量 s 使得 v 中每一个向量都 可以由 s 中有限多个向量线性表出，并且 s 是线 性无关的（这保证了表法唯一） ，那么称 s 是 v 的一个基。基是研究线性空间的结构的第一条途 径。 几何空间中给了过定 o 的一个平面和过 定点 o 与相交的一条直线 l。在上取两个不 共线的向量d1，d2，在 l 上取一个非零向量d3， 则d1,d2,d3是几何空间的一个基。 于是几何空间的 每一个向量可以唯一地表示成上的一个向量与 l 上的一个向量的和。由此引出了线性空间 v 的 子空间的直和的概念；猜测并且证明了线性空间 v 等于它的若干个子空间v1, ,vm的直和当且 仅当v1的一个基, vm的一个基合起来是 v 的一 10 个基。直和分解是研究线性空间的结构的第二条 途径。 几何空间的每一个向量对应于它在给定的 一个基下的坐标是几何空间到的一个双射，并 且它保持加法和数量乘法运算。由此受到启发， 引出了线性空间的同构的概念；猜测并且证明了 数域 k 上的 n 维线性空间都与kn同构。 线性空间 的同构是研究线性空间的结构的第三条途径。 几何空间j中给了过定点o的一个平面0， 则与0平行或重合的所有平面给出了几何空间j 的一个划分。由此受到启发，数域k上的线性空 间v中，给了一个子空间w，在v上建立一个二元 关系：当且仅当-w。容易证明这是 v上的一个等价关系。于是所有等价类组成的集 合就给出了v的一个划分， 这个集合也称为v对于 w的商集，记作v/w。在v/w中可以规定加法和 数量乘法运算， 并且满足 8 条运算法则， 从而v/w 成为数域k上的一个线性空间， 称它为v对于w的 商空间。几何空间j中与过定点o的平面0平行或 重合的所有平面组成的集合是j对于0的商空间。 过点o作与0相交的一条直线l，则把与0平行或 重合的每一个平面对应于这个平面与l的交点是 商空间j/0到直线l的一个双射，并且它保持加法 和数量乘法运算，从而商空间j/0 dim(j/ 与直线l同构。 于是 0) = dim l = 1 = 3-2 = dim j - dim0 由此受到启发，我们猜测并且证明了对于数域 k 上的 n 维线性空间 v 有 . dim(v/w) = dim v dim w. 这使得我们可以利用数学归纳法证明线性空间中 有关被商空间继承的性质的结论。 在商空间j/0op 中取一个基+0 op ，令l是过 点o且方向为的直线， 则j=0l。 由此受到启 发，我们猜测并且证明了对于数域k上的线性空 间v和它的一个子空间w，如果商空间v/w有一 个基1+w，t+w，令u是由v中的向量组 1，t生成的子空间，那么v= wu，并且 1，t 上述两方面表明商空间是研究线性空间的 结构的第四条途径。 是u的一个基。这表明只要商空间v/w 是有限维的，并且知道了商空间v/w的一个基， 那么线性空间v就有一个直和分解式。 2. 提出要研究的问题， 探索并且论证可能有 的规律 高等代数研究的一个重要问题是对于域 f 上 n 维线性空间 v 上的线性变换 ，能不能找到 v 的一个基，使得 在此基下的矩阵具有最简单 的形式？ 如果能找到 v 的一个基使得线性变换 在 此基下的矩阵是对角矩阵，那么称 可对角化。 直接计算可得， 可对角化的充分必要条件是 有 n 个线性无关的特征向量。由此可得， 可对 角化的充分必要条件是v能分解成 的特征子空 间的直和：v=v1 vs，其中v1, , vs是 的全部不同的特征值。 对于不可对角化的线性变换 ， 它的最简单 形式的矩阵表示是什么样子？从 的特征子空间 的定义受到启发，引出 的不变子空间的概念。 类比 可对角化的充分必要条件是 v 能分解成 的特征子空间的直和，我们去探索：如果 v 能分 解成 的不变子空间的直和，那么在每个不变子 空间中取一个基，它们合起来是 v 的一个基， 在此基下的矩阵是一个分块对角矩阵。于是解决 的最简单形式的矩阵表示的问题分为两步。 第一步去寻找 的非平凡不变子空间，使 得它们的和是直和，并且等于 v。利用“如果 v 上的线性变换与 可交换，那么的核 ker 是 的不变子空间”这个结论，对于域 f 上的任 意一个一元多项式 f(x)，不定元 x 用 代入，得 到的 f( )与 可交换，从而 ker f( )是 的不变 子空间。f1(x)与f2(x)满足什么条件才能使 ker f1( ) + kerf2( )是直和呢？这只要 ker f1( ) ker f2( )= 0。直觉猜测若f1(x)与f2(x)互素，是否 有可能满足这个要求？此时存在 u(x),v(x)fx 使得 u(x) f1(x)+v(x) f2(x)= 1。于是不定元 x 用 代入便得到 u( ) f1( ) +v( ) f2( ) =. 从而若ker f1( )ker f2( )，则= u( ) f1( ) + v( ) f2( )= 0。因此 11 ker f1( )ker f2( )= 0，从而 ker f1( ) + kerf2( )是直和。这个和等于什么呢？从上面的 恒等变换的分解式受到启发， 令 f(x)= f1(x)f2(x)， 任取ker f( )，有 = u( ) f1( ) + v( ) f2( ). 令1= v( ) f2( )，2= u( )f1( )，则 =1+2,且f1( ) 1=0，f2( ) 2= 0。因此 ker f( ) = ker f1( ) ker f2( )。由此受到启 发， 设f1(x), , fs(x) fx， 且它们两两互素， 令 f(x) =f1(x) fs(x)， 则用数学归纳法可以证明 ker f( ) = ker f1( ) ker fs(). 由于 ker 0= v，因此若 f(x)使得 f() =0，则 v = ker f1( ) ker fs(). 这就把v分解成了 的若干个非平凡不变子空间 的直和。 域 f上的一个一元多项式 f(x)如果使得 f( ) =0， 那么称 f(x)是 的一个零化多项式。 容易证 明域 f 上的 n 维线性空间 v 上的任一线性变换 都有零化多项式。还可以证明线性变换 的 特征多项式就是 的一个零化多项式。 事物的临 界状态往往决定事物的本质。于是我们考虑 的所有非零的零化多项式中次数最低且首项系 数为 1 的多项式 m()， 称它为 的最小多项式。 如果 m()在 f中的标准分解式为m( )= s1 ll 1s ()()，那么 v = ker( - - 1)l1 ker ( s)ls. 记wj = ker ( ( j )lj， 则 v = w1 ws。 于是在wj中取一个基，j =1,2, ,s,它们合起来 是 v 的一个基， 在此基下的矩阵 是一个分 块对角矩阵 a= diaga1, ,as ，其中aj是 在 wj上的限制 |wj在wj的上述基下的矩阵。 第二步工作是在wj中找一个合适的基，使 得 |wj在此基下的矩阵aj具有最简单的形式。由 于 v = w1 ws，因此可以证明 的最小 多项式 m()是 |wj的最小多项式mj()，j = 1,2, ,s，的最小公倍式。利用这个结论和唯一 因式分解定理可以得出， |wj的最小多项式 mj()=( j )lj。从而 |wj=j + j，其中j是 wj上的幂零变换， 其幂零指数为lj。 于是只要在wj 中找到一个合适的基使得j在此基下的矩阵bj具 有最简单的形式，则 |wj在此基下的矩阵aj=ji + bj也就最简单了。这样问题归结为去研究幂零 变换的最简单形式的矩阵表示。 设是域f上的r维线性空间w上的一个幂 零变换，其幂零指数为l，用w0表示的属于特 征值 0 的特征子空间。对于任意w且0， 一定存在正整数t使得t=0，而t10。于 是t1, , , 线性无关， 从而它是子空 间的一个基。我们把 称为-强循环子空间， 其中t1w0。在 上的限制在基t1, , , 下的矩阵是 一个jordan块，其主对角元全为 0。我们探索w是 否能分解成若干个-强循环子空间的直和？若 能够这样分解， 则由每个-强循环子空间的第一 个基向量组成的向量组线性无关； 又w0的一个基 中每个向量都属于某个-强循环子空间， 因此我 们猜测w能分解成dimw0个-强循环子空间的 直和。我们利用商空间对于研究线性空间的结构 的两个方面，用数学归纳法证明了这个猜测是真 的。 从而在每个-强循环子空间中取上述这样的 基，它们合起来是w的一个基，在此基下的矩 阵为由若干个jordan块组成的分块对角矩阵，称 它为的jordan标准形。进而得到：域f上的n维 线性空间v上的线性变换 如果它的最小多项式 m()在f中能分解成一次因式的乘积，那么 存在v的一个基， 使得 在此基下的矩阵为由若干 个jordan块组成的分块对角矩阵，称它为 的 jordan标准形。 由于主对角元为j的t级jordan块的 最小多项式为( j)t，因此根据“分块对角矩 阵a = diaga1, ,as 的最小多项式m()是aj 的最小多项式mj()， j = 1,2, ,s， 的最小公倍 式”便得到，如果 有jordan标准形j，那么j的最 小多项式m()是一次因式的乘积，m()也是 的最小多项式。从而如果 的最小多项式m()在 f中的标准分解式有次数大于1的不可约因式， 那么 没有jordan标准形。 我们用类比的方法证明 了此时 有有理标准形。这样我们就彻底解决了 域f上n维线性空间v上的线性变换 的最简单形 式的矩阵表示的问题。 12 3. 通过“解剖麻雀” ，讲清楚数学的深刻理 论是怎么想出来的 伽罗瓦在 1829 1831 年间彻底解决了一 元 n 次方程是否可用根式求解的问题。他给出了 方程可用根式求解的充分必要条件，创立了深刻 的理论 （后人称之为伽罗瓦理论） ， 由此引发了代 数学的革命性变化。古典代数学以研究方程的根 为中心。伽罗瓦理论创立以后，代数学转变为以 研究各种代数系统的结构及其态射（即保持运算 的映射）为中心，由此创立了近世代数学（也称 为抽象代数学） 。 我们在近世代数课的教学中，通过“解剖 麻雀” ， 讲清楚伽罗瓦理论是怎么想出来的。 考虑 4 次一般方程 x4 其中 p,q 是两个无关不定元。方程(1)的系数所属 的域为 qp,q的分式域 q(p,q)，简记作 k，把 k 称为方程(1)的系数域。方程(1)有 4 个根： + px2 + q = 0, (1) x1 = p+p 24q 2 , x2 = p+p 24q 2 , x3 = pp 24q 2 , x4 = pp 24q 2 . 这表明方程(1)可用根式求解。我们来仔细分析方 程(1)可用根式求解的过程。先要开平方p2 4q， 把它记作 d， 则d2k， 但是 d 不属于 k. 令 k(d) = a+bd | a,bk，则 k(d)是一个域，称它为 k 添加 d 得到的域， 记作k1 。 接着要开平方p+d 2 ， 把它记作d1，则d12 k1，令k2=k1 (d1) 。还要 开平方 pd 2 ， 把它记作d2， 则d22 k2， 令k3=k2 (d2) 。于是 x1 从而x1,x2,x3,x4 k3 。因此在k3x中多项式x4 + px2 + q 可以分解成一次因式的乘积， 从而k3是 x4 + p x2 + q 的 分 裂 域 ， 并 且 有 k = d1, x2 = -d1, x3 = d2, x4 = d2. k1 k2 k3。由此抽象出下述概念： 设 f(x)是域 f 上次数大于 0 且首项系数为 1 的多项式，并且 f(x)的分裂域为 e，如果存在一 个域 le，且有 f =f1f2 fr+1 = l， 其中fi+1 =fi(di)，且dinifi i=1, ,r，那么方 程 f(x)=0 称为在域 f 上是根式可解的。 于是按照上述定义方程(1)是根式可解的。现 在来探索为什么方程(1)是根式可解的。观察方程 (1)的 4 个根， 发现它们之间有系数属于 k 的下述 关系： x1 把x1,x2,x3,x4组成的集合记作=1,2,3,4。在 4 元对称群s4中，有且只有下述 8 个置换保持(2)式 成立： + x2= 0， x3+ x4= 0. （2） (1), (12), (34), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1423) , (1324), 它们组成的集合 g 是s4的一个子群，称它为方程 (1)关于域 k 的群。 方程(1)的 4 个根其系数属于k1的关系除了 (2)式外还有： x12 - x32 = d, x12 - x42 = d, x22 - x42 = d, x22 - x32 = d, (3) g 中保持(3)式成立的所有置换组成的集合 h1=(1),(12), (34),(12)(34)是 g 的一个子群，称 它为方程(1)关于域k1的群。 方程(1)的 4 个根其系数属于k2的关系除了 (2)、(3)式外还有： x1 h1中保持(4)式成立的所有置换组成的集合h2 = (1), (34)是h1的一个子群，称它为方程(1)关于 域k2的群。 x2= 2 d1, (4) 方程(1)的 4 个根其系数属于k3的关系除了 (2)、(3)、(4)式外还有： x3 x4 = 2d2, (5) h2中保持(5)式成立的所有置换组成的集合 h3=(1)是h2的一个子群，称它为方程(1)关于域 k3的群。 由于指数为 2的子群是正规子群， 因此h1是 g 的正规子群， h2是h1的正规子群， h3是h2的正 规子群。又有 g/h1, h1/h2, h2/h3都是交换群， 因此 g 是可解群。由此猜测有下述结论： 方程根式可解的判别准则：在特征为 0 的 域 f 上的方程 f(x)=0 根式可解的充分必要条件是 13 这个方程关于域 f 的群是可解群。 为了论证这个猜测， 我们继续 “解剖麻雀” 。 方程(1)关于域k的群g中每个元素保持方程(1) 的根之间其系数属于 k 的全部代数关系不变， 从 而保持 k 的任一元素不变， 即在 k 上的限制 是 k 上的恒等变换。由于k3是多项式x4 + px2 + q 的分裂域，即k3是包含方程(1)的全部根 x1,x2,x3,x4的最小的域，且 d = x12 - x32, d1=x1, d2=x3，以及s4，因此引起了k3到 自身的一个双射。还可以证明引起的这个映射 （仍记作）保持k3的加法和乘法运算，因此 是k3的一个自同构。于是引出一个概念： 设域 e 包含域 f，域 e 的一个自同构如果 在 f 上的限制是 f 上的恒等变换，那么把它称为 域 e 的一个 f-自同构。容易看出，域 e 的所有 f-自同构组成的集合对于映射的乘法成为一个群， 称它为 e 在 f 上的伽罗瓦群，记作 gal (e/f)。 于是gal(k3/k)， 从而 g gal(k3/k)。 反之，任给gal(k3/k)，由于x1,x2,x3,x4两两 不等， 因此可以看成是=1,2,3,4上的一个置 换， 并且保持方程(1)的根之间其系数属于 k 的 全部代数关系不变，从而g。因此 g = gal(k3/k)。同理，h1 = gal(k3/k1)， h2= gal(k3/k2)，h3 = gal(k3/k3)。这样我们看到了 一个有趣的事情： k k1 k2 k3 , gal(k3/k) gal(k3/k1) gal(k3/k2) gal(k3/k3). 设 g 是域 e 的一个自同构群，e 中被 g 的 每个元素保持不动的元素组成的集合是 e的一个 子域，称它为 g 的不动域，记作 inv(g)。 设域 e 包含域 f， 则称 e 是 f 上的域扩张， 记作 e/f； e 的包含 f 的任一子域称为 e/f 的中 间域。在上述例子中，gal(k3/k)的不动域恰好是 k，gal(k3/k1)的不动域恰好是k1，gal(k3/k2)的 不动域恰好是k2， gal(k3/k3)的不动域恰好是k3， 由此引出一个概念： 如果域扩张 e/f 的伽罗瓦群 gal(e/f)的不动 域恰好是 f，那么称 e/f 为一个伽罗瓦扩张。从 上述有趣的事情我们猜测有下述结论： 设 e/f 为一个有限伽罗瓦扩张，记 g = gal(e/f)， 则在 e/f 的所有中间域组成的集合与 g 的所有子群组成的集合之间存在一个一一对应： 中间域 k 对应于 gal(e/k)，子群 h 对应于 它的不动域 inv(h)， inv(gal(e/k) = k；这个一 一对应是反包含的，即 k1 k2 gal(e/k1) gal(e/k2). 伽罗瓦发现并且证明了这个结论，现在称 它为伽罗瓦基本定理（这里没有写出伽罗瓦基本 定理的其它 3 个结论） 。 伽罗瓦运用这个基本定理 证明了方程根式可解的判别准则。 4. 抓住主线，全局在胸，科学地安排讲授 体系 高等代数课程的主线是研究线性空间及其 态射 （即线性映射） 。 为了自然而然地引出线性空 间的概念，高等代数（丘维声著， 科学出版社） 的第一章讲线性方程组的解法和解的情况的判定； 第二章讲行列式，给出了 n 个方程的 n 元线性方 程组有唯一解的充分必要条件；第三章为了对数 域 k上的 n元线性方程组直接从系数和常数项判 断它有没有解和有多少解，在所有 n 元有序数组 组成的集合kn中引进加法和数量乘法运算，它们 满足 8 条运算法则，我们抓住几何空间， kn的共 同的主要特征自然而然地引出了线性空间的概念， 然后去研究线性空间的结构。 讲完线性空间之后， 一种讲法是立即讲线性映射。但是研究线性映射 一方面是从映射的角度讲线性映射的运算，线性 映射组成的集合的结构， 以及线性映射的核与像； 另一方面是研究线性映射的矩阵表示，特别是研 究线性变换的最简单形式的矩阵表示。因此我们 在第四章讲矩阵的运算，既为研究线性映射打下 基础，又为信息时代迅速崛起的离散数学中应用 越来越广泛的矩阵加强了矩阵的分块、矩阵的打 洞的训练。为了研究线性变换的最简单形式的矩 阵表示，需要用到一元多项式环的通用性质，因 此我们在第五章讲一元多项式环的结构及其通用 性质，并且水到渠成地引出了环和域的概念。第 六章讲线性映射 （包括线性变换和线性函数） 。 为 了在线性空间中引进度量概念，第七章讲双线性 14 函数，并且用到研究二次型上。第八章讲具有度 量的线性空间，以及与度量有关的变换。第九章 讲 n 元多项式环。 解析几何课程的主线是研