同济大学微积分第三版课件第二章第十节.ppt

第十节 函数的极值与最大最小值 本节要点 本节引入函数的极值, 并通过函数的一阶及二阶导函 一、函数的极值与求法 二、函数的最大值, 最小值及求法 三、应用 数的符号去讨论函数的极值情况. 一、函数的极值与求法 定义 设函数 在点 的某个邻域 内有定 或 则称 是函数 的一个极大值（极小值）, 点 义, 如果对任意的 有 是 的一个极大值点（极小值点）; 极大值和极 小值通称为极值; 极大值点和极小值点通称为极值点. 值得注意的是: 函数的极值是一个局部性的概念. 极小值 极大值 但是函数的驻点未必是它的极值点. 例如函数 在本章的第五节中, 费马定理指出: 如果函数 可导, 并且点 是它的极值点, 那么点 是它的驻点, 驻点 是函数的驻点, 但不是极值点. 定理1（第一充分条件） 在点 处的某个去心邻域 内可导; 若 时, 时 则 在点 处取极大值; 若 时, 若 时, 的符号不变, 则 不是 时 则 在点 处取极小值; 的极值点. 设函数 在点 处连续, 而 而 证 仅就进行证明, 其它情况可以相仿地证明. 由函 而在 单调减少. 又函数在点 处连续, 故函 极大值 数的单调性判别法, 知函数在 单调增加, 数在点 处取极大值. 根据上面的定理, 若函数 在定义域内连续, 除了 求出导函数 进而求出 的全部驻点和不 根据导数 在每个驻点和不可导点的左、右邻 在极值点求出相应的函数值, 就得到函数的极值. 某些点外处处可导, 则可以按照下面的步骤求出函数的 极值: 可导点; 近是否变号, 确定该点是否为极值点, 如果是极值点, 进一步确定是极大值还是极小值. 例1 求函数 解 当 知函数在 处取极大值; 又当 所以函数在 处取极小值. 注意到 的极值. 即函数的极大值为 极小值为 由判别法当 极大值 极小值 例2 求函数 解 在上节中, 我们知道函数 当 时, 的极值. 在 中连续, 在中可导, 且 是函数的一个极大值; 当 所以 时 , 当 所以 是函数的一个极小值. 极小值 极大值 定理2 （第二充分条件）设函数 在点 的 某个邻域 内有二阶导数, 且 则函数在点 处取极值, 更有: 若 则 证 设 为极小值, 反之为极大值. 由导数的定义: 由极限的保号性知: 存在 当 有 当 有 再由第一充分条件, 知 为极小值. 同理可证 的情况. 例3 求函数 解 令 又 所以: 为极大值, 而 为极小值. 的极值. 例4 做出函数 极小值 极大值 拐点 导函数 及导函数和二阶 的图形, 从 而判断单调区间, 凹凸区间, 极值点和拐点. 例5 求函数 解 注意到函数是偶函数, 的单调区间, 凹凸区间, 极值 和对应曲线的拐点. 所以 为极大值, 曲线的拐点为 渐进线 1.水平与垂直渐进线 设曲线 方程 若 则曲线有 若 则曲线有垂直渐进线: 水平渐进线: 例6 设曲线 方程为 故曲线有水平渐进线:又 故曲线又有垂直渐进线: 垂直 渐进线 水平 渐进线 例7 设曲线 方程为 所以曲线有两条水平渐进线 因为 水平 渐进线 注: 垂直渐进线很多时候出现在分母为零的时候, 但分 母为零时 不一定构成垂直渐进线. 2.斜渐进线 设曲线 方程 若 则曲线有斜渐进线: 例8 设曲线 方程为 故曲线有斜渐进线: 因为 例9 设曲线 方程为 解 因 所以曲线有水平渐进线 又: 所以曲线有垂直渐进线: 求渐进线. 例10 设曲线方程为则曲线的渐进线 有 根. 而曲线没有斜渐进线, 所以该曲线的渐进线根数为3. 函数作图 问题 设曲线 方程 作出函数的图形. 确定函数的定义域; 求出函数的一阶和二阶导数: ; 求出一阶和二阶导函数的零点及导数不存在的点; 划分区间, 确定在每个区间上函数的单调性和凹凸性; 求出渐进线; 求出极值和拐点; 描绘出函数的大致图形. 例11 作出函数 解 函数的定义域为 在定义域内, 有 相应的区间为 的大致图形. 斜渐进线: 垂直渐进线: 斜渐进线垂直渐进线 例 做出函数的大致图形. 二、最大值与最小值问题 在上一目中我们讨论了函数的极值及求法, 在这一目 中我们讨论函数在区间中的最大值和最小值及相应的求 法. 由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理, 我们 知道若函数在闭区间 上连续, 则函数一定可以取到 相应的最大值和最小值, 但并没有给出具体的方法. 这 里我们给出在一定的条件下求最大值和最小值的方法. 设函数 在区间 上连续, 除了有限个点之外, 点和驻点为 函数 在区间 上 的最大值和最小值分别为 则 函数可导, 并且只有有限个驻点. 进一步地设这些不可导 例12 求函数 在区间 上的最值. 解 显然函数 在所给区间上连续, 可导. 又 所以 即函数在区间有唯一的驻点. 因 由此得到 所以 例13 求函数 在区间 上的最大值 解 显然函数 在所给区间上连续. 又 即在 内， 是驻点， 是不可导点， 和最小值. 故 是最小值, 是最大值. 例14 将边长为 的正三角形剪去三个全等的四边形（如 解 盒子的高为 底面面积为 图所示）, 当图中的 取何值时, 该盒子的容积最大？ 然后将其折起, 做成一个无盖的正三棱柱盒子, 故相应的体积为 求导后并令其为零, 得 所以 再注意到, 即函数在该点取极大值, 又因驻点唯一, 故该点一定是 最大值点. 例15 求椭圆 中内接的最大矩形, 并求相应 的面积. 解 设内接矩形的顶点在第一象限的坐标为 则 相应的面积为 令 则 由 故最大矩形的最大面积为 例16 设足球门宽为4 在离右门柱6 处, 一球员沿 解 设问题如图所示, 张角为 则 又 则 垂直于底线的方向垂直向前, 问他在离底线多远时可获 得的张角最大. 令: 则 由 即当运动员离底线 时, 运动员所获得的张角为最大. 例17 设 是两个正数, 满足条件 的最大值, 其中 解 设 在开区间 中间的最大值. 求导后得 可知 是函数 在区间 内唯一的驻 是常数）, 求 （ 由题意, 需求 点. 显然当 内单调减少, 因而 是函数 在区间 所以函数在区间 内的最大值. 此时 而当 内单调增加, 在 通过这题的解题, 我们看到, 更一般的情况是: 设函数 在区间 （开或闭, 有限或无限）内连 续、可导（或至多在 处不可导）, 为 在 内 若 时, 而 时, 则 为 在区间 内的最小值. 若 时, 而 时, 则 为 在区间 内的最大值. 的一个驻点（或不可导点）. 具有上述性质的函数在区间 内只有一个“峰”或则一 极大值 极小值 个“谷”, 这类函数在极值问题的讨论中经常出现. 例18 建造一个容积为 的无盖圆柱形发酵池, 解 设圆柱体的底半径为 高为 则面积为 故总费用为 由已知条件: 已知池底每平方米造价为30元, 池壁每平方米造价为20 元, 问应该如何设计, 能使总费用为最低? 代入上式得: 所以 令其为零, 得 又 即函数在该点取极小值. 也就是当 相应的造价为最小. 例19 光的折射定律 设在 轴的上下两侧有两种不同 别为 又设点 在内, 点 在内, 要使光线从点 到点 传播的时间最短, 问光线应该通过怎样的路径 ? 解 如右图所示, 设点 到 轴的距离分别为 的长度为 轴的交点）, 由于在同一介质中, 的介质和, 光在介质和介质之间的传播速度分 的长度为 （ 为光径路线与 光径的最速路线为直线, 因此光线 从 到 的传播路径必为折线 其所需要的总时间 下面确定 满足什么条件时