《两因素方差分析》PPT课件.ppt

第三节 两因素试验的 方差分析 考查两个因素对试验指标的影响情况考查两个因素对试验指标的影响情况 3.1 交叉分组资料（crossover classification） 的方差分析 设试验考察A、B两个因素，A因素分a个水平，B因 素分b个水平 。 所谓交叉分组是指A因素每个水平与B因 素的每个水平都要搭配 ，两者交叉搭配形成ab个水平组 合即处理，试验因素A 、B在试验中处于平等地位 。如果 将试验单元分成 ab 个组，每组随机接受一种处理 ，因而 试验数据也按两因素两方向分组，这种试验数据资料称为 两向分组资料，也叫交叉分组资料。 分无重复观测值和重复观测值两种类型。 对于A、B两个试验因素的全部ab个水平组合 ，每个水平组合只有一个观测值（无重复）， 全试验共有ab个观测值，其数据模式如下表 所示。 3.1.1 3.1.1 两因素无重复试验资料的方差分析两因素无重复试验资料的方差分析 表 两因素无重复观测值的试验数据模式 注：注：AA因素有因素有a a个水平，个水平，BB因素有因素有b b个水平，共计有个水平，共计有abab个水平个水平 组合，每一组合观测一次，有组合，每一组合观测一次，有abab个观测值（表个观测值（表5 5），），x x ij ij 为为AA 的第的第i i水平与水平与BB的第的第j j水平组合观测值。水平组合观测值。 AA的第的第i i水平水平b b个观测值之和个观测值之和 AA的第的第i i水平水平b b个观测值的平均数个观测值的平均数 BB的第的第j j水平水平a a个观测值之和个观测值之和 BB的第的第j j水平水平a a个观测值的平均数个观测值的平均数 abab个观测值的总和个观测值的总和 abab个观测值的总平均数个观测值的总平均数 两因素无重复观测值试验资料的数学模型为： 式中， 为总平均数； (5-26)(5-26) i i ， j j 分别为分别为AA i i 、BB j j 的效应；的效应； i i = i i -， j j = j j -， i i 、 j j 分别为分别为AA i i 、BB j j 观测值总体平均数，观测值总体平均数， 且且 i i =0=0， j j =0=0； ij ij 为随机误差，相互独立，且服从为随机误差，相互独立，且服从NN(0(0， 2 2 ) ) A因素的每个水平有b次重复，B因素的每个水平 有a次重复，每个观测值同时受到A、B 两因素及 随机误差的作用。因此全部 ab 个观测值的总变异 可以分解为 A 因素水平间变异、B因素水平间变异 及试验误差三部分；自由度也相应分解。 离差平方和与自由度的分解如下：离差平方和与自由度的分解如下： 矫正数 总平方和 A因素离差平方和 B因素离差平方和 各项离差平方和与自由度的计算公式为各项离差平方和与自由度的计算公式为 : : 误差平方和误差平方和 SSSS e e =SSSS T T - -SSSSA A- -SS SSB B 总自由度总自由度 dfdf T T =ab-=ab-1 1 A A因素自由度因素自由度 dfdfA A=a- =a-1 1 B B因素自由度因素自由度 dfdfB B=b- =b-1 1 误差自由度误差自由度 dfdf e e = = dfdf T T - - dfdfA A dfdfB B =(=(a-a-1)(b-1) 1)(b-1) 相应均方为相应均方为 【例例1 1】某厂现有化验员某厂现有化验员3 3人，担任该厂牛奶酸度（人，担任该厂牛奶酸度（ T T）的检验。每天从牛奶中抽样一次进行检验，连）的检验。每天从牛奶中抽样一次进行检验，连 续续1010天的检验分析结果见表天的检验分析结果见表6 6。试分析。试分析3 3名化验员的名化验员的 化验技术有无差异，以及每天的原料牛奶酸度有无化验技术有无差异，以及每天的原料牛奶酸度有无 差异（新鲜牛奶的酸度不超过差异（新鲜牛奶的酸度不超过20 T20 T ） 。 化验验 员员 B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10xi.xi. A111.7110.8112.3912.5610.6413.2613.3412.6711.2712.68121.3312.13 A211.7810.712.512.3510.3212.9313.8112.4811.612.65121.1212.11 A311.6110.7512.412.4110.7213.113.5812.8811.4612.94121.8512.19 x.j35.1032.2637.2937.3231.6839.2940.7338.0334.3338.27364.3 x.j11.7010.7512.4312.4410.5613.1013.5812.6811.4412.76 表表1 1 牛奶酸度测定结果牛奶酸度测定结果 A因素（化验员）有3个水平，即a=3；B因素（ 天数） 有10个水平 ，即 b =10 ， 共有 ab=310=30个观测值。 1 1 计算各项离差平方和与自由度计算各项离差平方和与自由度 2 列出方差分析表，进行F检验 表表2 2 资料的方差分析表资料的方差分析表 变变异来源SSdfMSF值值显显著 性 化验员间验员间0.028320.01420.550 日期间间26.759192.9732115.240* 误误差0.4635180.0258 合计计27.250929 结果表明，结果表明，3 3个化验员的化验技术没有显著个化验员的化验技术没有显著 差异，不同日期牛奶的酸度有极显著差异。差异，不同日期牛奶的酸度有极显著差异。 注：注： F F 0.01(9,180.01(9,18）=3.60 =3.60 3 多重比较 在两因素无重复观测值试验中，A因素每一 水平的重复数恰为B因素的水平数b，故A因素 的标准误为 ；同理，B 因 素 的 标准误 对例对例1 1分析，分析，a=3a=3，MSMSe e=0.0258=0.0258。故。故 根据根据 dfdfe e=18=18，秩次距，秩次距 k k=2=2，3 3 ，1010，查临，查临 界界 q q 值值 ，计算最小显著极差，计算最小显著极差LSRLSR，见表，见表3 3。 表表3 3 q q值与值与LSRLSR值值 dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.01 18 22.974.070.28 0.38 33.614.70.34 0.44 44.00 5.090.37 0.47 54.285.380.40 0.50 64.495.60.42 0.52 74.675.790.43 0.54 84.825.940.45 0.55 94.966.080.46 0.57 105.076.20.47 0.58 BB因素各水平均值多重比较结果见表因素各水平均值多重比较结果见表4 4 测测定 日期 x.j x.j- 10.56 x.j- 10.7 5 11.44 11.70 12.43 12.44 12.68 12.76 13.10 B713.58 3.02* 2.83 2.14 1.88 1.15 1.14 0.90 0.82 0.48 B613.10 2.54 2.35 1.66 1.40 0.67 0.66 0.42 0.34 B1012.76 2.20 2.01 1.32 1.06 0.33 0.32 0.08 B812.68 2.12 1.93 1.24 0.98 0.25 0.24 B412.44 1.88 1.69 1.00 0.74 0.01 B312.43 1.87 1.68 0.99 0.73 B111.70 1.14 0.95 0.26 B911.44 0.88 0.69 B210.75 0.19 B510.56 表表4 4不同测定日牛奶酸度多重比较结果（不同测定日牛奶酸度多重比较结果（q q法）法） 处处理 均值值 5%显显著水平 1%极显显著水平 B7 13.58 a A B6 13.10 b AB B10 12.76 bc BC B8 12.68 bc BC B4 12.44 c C B3 12.43 c C B1 11.70 d D B9 11.44 d D B2 10.75 e E B5 10.56 e E 附表：多重比较结果字母表示附表：多重比较结果字母表示 结果表明，除结果表明，除BB 2 2 与与BB 5 5 ，BB 1 1 与与BB 9 9 ，BB 4 4 与与BB 3 3 ，BB 8 8 与与BB 3 3 、BB 4 4 ，BB10 10与 与BB 3 3 、BB 4 4 、BB 8 8 差异不显著外，其余不同测定日间牛奶酸差异不显著外，其余不同测定日间牛奶酸 度均差异极显著或显著。酸度最高的是度均差异极显著或显著。酸度最高的是BB 7 7 ，最低的是，最低的是BB 5 5 和和BB 2 2 。从牛奶质量要求看，。从牛奶质量要求看， 连续连续10d10d的牛奶酸度均在鲜奶范围内。的牛奶酸度均在鲜奶范围内。 在进行两个因素或多个因素的试验时，除 了要研究每一个因素对试验指标的影响外，往 往更希望知道因素之间的交互作用对试验指标 的影响情况。 通过研究环境温度、湿度、光照、气体成分 等环境条件对导致食品腐烂变质的酶和微生物 的活动的影响有无交互作用，对有效控制酶和 微生物活动，保持食品质量有着重要意义。 两个因素无重复观测值试验只适用于两个因素间无交互作用 的情况； 若两因素间有交互作用， 则每个水平组合中只设 一个试验单 位(观察单位)的试验设计是不正确的或不完善的。这是因为： (1)(1)在这种情况下，在这种情况下，SSSS e e , ,dfdf e e 实际上是实际上是AA、B B 两因两因 素交互作用平方和与自由度，所算得的素交互作用平方和与自由度，所算得的MSMS e e 是交互作用是交互作用 均方均方 ，主要反映由交互作用引起的变异。，主要反映由交互作用引起的变异。 (2)(2)这时若仍按前述方法进行方差分析，由于误差这时若仍按前述方法进行方差分析，由于误差 均方值大（包含交互作用在内），有可能掩盖试验因素均方值大（包含交互作用在内），有可能掩盖试验因素 的显著性，的显著性， 从而增大犯从而增大犯型错误的概率。型错误的概率。 (3) (3) 每个水平组合只有一个观测值，无法估计真正每个水平组合只有一个观测值，无法估计真正 的试验误差，因而不可能对因素的交互作用进行研究。的试验误差，因而不可能对因素的交互作用进行研究。 交互作用交互作用 交互作用：在多因素试验中一个因素对试验结果的影响依赖于另一因素交互作用：在多因素试验中一个因素对试验结果的影响依赖于另一因素 所取的水平时，称两因素有交互作用。所取的水平时，称两因素有交互作用。 在多因素对比试验中，某些因素对指标的影响往往是互相制约在多因素对比试验中，某些因素对指标的影响往往是互相制约 、互相联系的。即在试验中不仅因素起作用，而且因素间有时联合起来、互相联系的。即在试验中不仅因素起作用，而且因素间有时联合起来 起作用，这种联合作用并不等于各因素单独作用所产生的影响之和，称起作用，这种联合作用并不等于各因素单独作用所产生的影响之和，称 这种联合作用为交互作用。这种联合作用为交互作用。 例：某农场对四块大豆试验田作施肥试验。每块田以不同的方式施以磷例：某农场对四块大豆试验田作施肥试验。每块田以不同的方式施以磷 肥和氮肥，其产量如下：肥和氮肥，其产量如下： 可以看出可以看出 当施氮肥和不施氮肥时，施以当施氮肥和不施氮肥时，施以4 4公斤磷肥后的增产数量是不同的公斤磷肥后的增产数量是不同的 当施磷肥和不施磷肥时，施以当施磷肥和不施磷肥时，施以6 6公斤氮肥后的增产数量是不同的公斤氮肥后的增产数量是不同的 若若N, PN, P分别起作用时增产为分别起作用时增产为50, 30kg50, 30kg。但同时施时其效果并不是。但同时施时其效果并不是 50+30=80kg50+30=80kg，而是增产，而是增产560-400=160kg560-400=160kg，增加的，增加的8080公斤则为交互作公斤则为交互作 用的效果。用的效果。 P1=0P2=4P2-P1 N1=040045050 N1=6430560130 N2-N130110 对两因素和多因素等重复试验结果进行 分析， 可以研究因素的简单效应、主效应 和因素间的交互作用（互作效应）。 3.1.2 3.1.2 交叉分组两因素等重复试验的方差分析交叉分组两因素等重复试验的方差分析 三种效应 1简单效应（simple effect） 是指在某一因素同一 个水平上，比较另一因素不同水平对试验指标的影响。 三种效应 2主效应（main effect） 是指某一因素各水平间的平均 差别。它与简单效应的区别是，主效应指的是某一因素各水平 间的平均差别是综合了另一因素各水平与该因素每一水平所有 组合的情况。 三种效应 3. 互作效应（interaction effect） 如果某一因素的 各简单效应随另一因素的水平变化而变化，而且变化的幅度 超出随机波动的程度，则称两个因素间存在互作效应。 设A、B两因素，A因素有a个水平，B因素 有b个水平，共有ab个水平组合，每个水平组 合有n次重复试验，则全试验共有abn个观测值 。试验结果的数据模式如表5所示。 两因素等重复试验的方差分析 表5 两因素等重复观测值试验数据模式 A因素 B因素Ai合计计xi B1B2Bb A1x1jl x111x121x1b1 x112x122x1b2x1 x113x123x1b3 x11nx12nx1bn x1j.x11.x12.x1b. x1j.x11.x12.x1b. A2 两因素等重复试验数据模式（部分）两因素等重复试验数据模式（部分） 表5中 每个组合处理每个组合处理n n 次重复之和次重复之和 BB因素第因素第j j水平水平 anan个数据之和个数据之和 abnabn个数据总和个数据总和 AA因素第因素第i i水平水平 bnbn个数据之和个数据之和 其中，其中， 为总平均数；为总平均数； i i 为为AA i i 的效应；的效应； j j 为为BB j j 的效应；的效应； ( () ) ij ij 为为AA i i 与与BB j j 的互作效应。的互作效应。 (5-32)(5-32) 两因素等重复试验资料的数学模型为两因素等重复试验资料的数学模型为: : 分别为分别为AA i i 、BB j j 、AA i i BB j j 观测值总体平均数；且观测值总体平均数；且 3.1.2.1 离差平方和与自由度分解 其中，其中，SSSSAB AB，df dfAB AB为 为AA因素与因素与B B因素交互因素交互 作用平方和与自由度。作用平方和与自由度。 为随机误差，相互独立，且服从为随机误差，相互独立，且服从NN（0 0， 2 2 ）。）。 若用SSAB，dfAB表示A、B水平组合间的平 方和与自由度，即处理间平方和与自由度，则 处理引起的变异可进一步剖分为A因素、B因素 及A、B交互作用三部分，于是SSAB、dfAB可分 解为： 矫正数矫正数 总平方和与自由度总平方和与自由度 因素水平组合平方和与自由度因素水平组合平方和与自由度 AA因素平方和与自由度因素平方和与自由度 各项平方和、自由度及均方的计算公式如下：各项平方和、自由度及均方的计算公式如下： BB因素平方和与自由度因素平方和与自由度 交互作用平方和与自由度交互作用平方和与自由度 误差平方和与自由度误差平方和与自由度 所以，相应均方为所以，相应均方为 因素因素AA的方差的方差 因素因素BB的方差的方差 AA、BB互作的方差互作的方差 误差方差误差方差 3.1.2.2 3.1.2.2 列方差分析表，进行列方差分析表，进行F F检验检验 FA显著，应对A因素各水平的平均数作多重比较，其平均数标准 误为： FB显著，应对B因素各水平的平均数作多重比较，其平均数标准 误为： FAB显著，应对各组合的平均数作多重比较，其平均数标准误为： 3.1.2.3 3.1.2.3 多重比较多重比较 温度（A）pH值值（B） B1B2B3 A1876 875 866 A2978 997 866 A37810 779 689 表表6 6 3 3种温度对种温度对3 3种种pHpH值对酶活性的影响值对酶活性的影响 【例例2 2】现有现有3 3种温度种温度3 3种种pHpH值对酶活性的影值对酶活性的影 响试验结果，试作方差分析响试验结果，试作方差分析 A因素（温度）有3个水平，即a=3；B因素（pH值 ）有3个水平，即b=3；共有ab=33=9个水平组合； 每个水平组合重复数n=3；全试验共有=333=27个 观测值。 （1 1） 计算各项平方和与自由度计算各项平方和与自由度 变变异来源 平方和 自由度 均 方 F 值值 显显著性 A因素间间 6.23 23.12 5.29* B因素间间 1.56 20.78 1.32 AxB 22.21 45.55 9.41* 误误 差 10.67 180.59 总变总变 异 40.67 26 表表7 7 方差分析表方差分析表 （2 2）列出方差分析表，进行）列出方差分析表，进行F F检验检验 查临界查临界F F值：值： F F0.05 0.05（2,182,18）=3.55 =3.55，F F0.01 0.01（2,182,18）=6.01 =6.01； F F0.01 0.01（4,184,18）=4.58 =4.58。 因为，因为， F FA A F F0.05(2,18 0.05(2,18）； ； F F BB F F0.05(2,18 0.05(2,18）； ；F FAB AB F F0.01 0.01（4,184,18），表明不同温度、 ，表明不同温度、pHpH值与温值与温 度之间的互作对酶活性有显著或极显著影响，而度之间的互作对酶活性有显著或极显著影响，而pHpH间的差异不显著间的差异不显著 。因此，应进一步进行不同温度处理均数间、各水平均数间。因此，应进一步进行不同温度处理均数间、各水平均数间 的多重的多重 比较。比较。 温度 因为A因素各水平的重复数为bn，故A因素各水平 的标准误为： 对本例而言， （3 3）多重比较）多重比较 由由dfdfe e=18=18，秩次距，秩次距k k=2,3=2,3，从附表，从附表5 5中查出中查出 SSRSSR0.05 0.05与 与SSRSSR0.01 0.01的 的 临临 界值界值 ，计算，计算LSR LSR值值 ，结果列于表，结果列于表8 8。 表表8 8 配方各水平均数比较配方各水平均数比较SSRSSR值与值与LSRLSR值值 dfe秩次距SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.01 1822.974.070.76 1.04 33.124.270.80 1.09 处处理 均值值 5%显显著水平 1%极显显著水平 A3 7.9 a A A2 7.7 a AB A1 6.8 b B 表表9 9 配方间平均数多重比较结果（配方间平均数多重比较结果（SSRSSR法）法） 因素A主效应分析，结果表明温度A3与A1之间差异极显著， A2与A1差异显著，A2与A3差异不显著。 因B因素各水平的重复数为an，故B因素各水平的标 准误为： 在本例，在本例，BB因素的影响不显著，不必进行多重比较。因素的影响不显著，不必进行多重比较。 以上所进行的多重比较，实际上是A、B两因素 主效应的检验。若A、B因素交互作用不显著，则可 从主效应检验中分别选出A、B因素的最优水平，得 到最优水平组合；若A、B因素交互作用显著，则应 进行水平组合平均数间的多重比较，以 选出最优水 平组合，同时可进行简单效应的检验。 因为水平组合数通常较大(本例ab=33=9)，采用最 小显著极差法进行各水平组合平均数的比较，计算较麻 烦。为了简便起见，常采用LSD法。 因为水平组合的重复数为n，故水平组合的标准误 为： 本例 各水平组合平均数间的比较各水平组合平均数间的比较 水平组组合 均值值 5%显显著水平 1%极显显著水平 A3B39.3 a A A2B18.7 ab AB A1B18.0 abc AB A3B27.7 bc ABC A2B27.3 bc BC A2B37.0 cd BC A1B26.7 cd BC A3B16.7 cd BC A1B35.7 d C 表表1515个水平组合平均数多重比较结果（个水平组合平均数多重比较结果（SSRSSR法）法） 分析结果表明，A3B3，A2B1，A1B1为优组合，按此组 合选用温度和pH值可望得到较好的酶活性。 以上的比较结果可以看出，当A、B因 素的交互作用显著时，一般不必进行两个 因素主效应的显著性检验（因为这时主效 应的显著性在实用意义上并不重要），而 直接进行各水平组合平均数的多重比较， 选出最优水平组合。 简单效应的检验 简单效应实际上是特定水平组合平均数间的差数。检 验尺度仍为互作效应检验中的LSD 有人设计3个罗非鱼品种A1、A2、A3和A4不 同蛋白质水平饵料B1、B2、B3，每个处理 配置两个鱼池进行试验。试验期内每池的产 鱼量（kg）如下表。试作方差分析。 试验期内的产鱼量（kg） 品种蛋白质水平 B1B2B3B4 A1134.0130.1129.8129.0 132.7132.8126.7128.9 A2132.0130.2128.7127.6 133.2129.8128.1127.8 A3128.4127.3129.7128.8 129.3128.9127.3129.1 v解:1、提出假设, v2、平方和、自由度的分解 (2)、 方差分析表 v因为互作不显著，则将互作合并到误差项中 (2)、 方差分析表 （3）对B因素进行比较多重比较（SSR法） 多重比较表（字母标记法） 3.2 系统分组资料的方差分析 系统分组（hierarchical classification）设计，又 称为巢式设计、树状设计、多因子嵌套设计 假设有 A、B 两个因子，这两个因子的搭配组成不 再是上一节的交叉构成，而是 B 因子嵌套在 A 因 子内，即 B 因子为次级因子： A 因子的某一个水平包含了 B 因子部分水平 A 因子的另一个水平包含了 B 因子的另一部分水平 即：B 因子的水平仅从属于 A 因子的一个水平 而 A 因子的水平并不包含 B 因子的所有水平 如果有第三个因子 C，则 C 因子嵌套在 B 因子内 如果有第四个因子 D，则 D 因子嵌套在 C 因子内 以此类推 其数据结构呈现树状结构 如行政区划，就是典型的系统结构： 国家包含若干个省（A）、一个省（A）包含若干个市（B） 、一个市（B）包含若干个县（C）、一个县（C）包含若 干个镇（D）、一个镇（D）包含若干个村（E） 再如：植物生理学实验中：不同植株（A）、同一植株不同 枝条（B）、同一枝条不同部位（C） 在这种数据结构中，各 因子的重要性是不完全相等 的，下一级因子的重要性往往低于上一级因子 A1 Ai Aa B11 B12 B1b Bi1 Bi2 Bib Ba1 Ba2 Bab C111 C112 C11c Ca11 Ca12 Ca1c A 因子称为一级因子，B 因子称为二级因子， 因子之间是一种从属关系，而非上一节 A、B 因子 的交叉构成中所讨论的那种平行关系 下面我们写出两因子系统分组资料的数据结构： A因子 B因子 观测值 B因子和 A因子和 T A1 B11 x111 x112 x11. B12 x121 x122 x12. x1 A2 B21 x211 x212 x21. B22 x221 x222 x22. x2 Ai Bi1 xi11 xi12 xi1. Bi2 xi21 xi22 xi2. xi Ap Bp1 xp11 xp12 xp1. Bp2 xp21 xp22 xp2. xp x 根据这一数据结构我们可以写出其数学模型： 式中，为总体平均 i为 A 因子第 i 个水平的效应 ij为 A 因子第 i 个水平下的 B 因子第 j 个水平 的效应 ijk为随机误差，且 p为 A 因子的水平数；qi为第 i 个 A 因子水平下 B 因子的水平数；nij为第 i 个 A 水平中第 j 个 B 水平中的观测值 平方和及自由度的分解 总离均差 因素A离均差平方和 因素B离均差平方和 试验误差 平方和分解 上式中，右手第二项称为 A因子内 B因子水平间 SS 自由度分解 满足不等式; 双因素系统实验方差分析程序 1. 提出原假设和备择假设 2. 计算统计量 H01: H11: 一级因素A无显著差异 一级因素A有显著差异 H02: H12: 二级因素B无显著差异 二级因素B有显著差异 首先:确定二级因素的显著性 对于给定的显著水平a,查F分布分位数表,若 判定二级因素影响显著,否则判定其不显著 3. 构造统计量F,并进行F检验 其中: 若B显著 若B不显著 对于给定的显著水平a,查F分布分位数表,若 或 判定A显著,否则不显著 其次:确定一级因素的显著性 4. 列方差分析表 方差来源平方和S自由度 均方 MS F值值 Fa 显显著性 一级级因素A 二级级因素B 误误差e SSA SSB(A) SSe a-1 ab-a Ab(r-1) 显显著 总总和 SST abr-1 4. 列方差分析表 方差来源平方和S自由度 均方 MS F值值 Fa 显显著性 一级级因素A 二级级因素B 误误差e SSA SSB(A) SSe a-1 ab-a Ab(r-1) 不显显著 总总和 SST abr-1 例1：随机选取4株植物，在每一植株内随机选取两 片叶子，用取样器从每一片叶子上选取同样面积 的三个样品，称取湿重xijk （g），得数据如下表 （数据已经过了简化） S D xijk r br xij. 平均 xi 平均 1 1 2.2 2.3 2.0 3 6.5 2.17 2 2.0 2.1 2.3 3 6 6.4 2.13 12.9 2.15 2 3 1.6 1.5 1.7 3 4.8 1.60 4 1.8 2.0 1.7 3 6 5.5 1.83 10.3 1.72 3 5 2.6 2.5 2.2 3 7.3 2.43 6 2.4 2.4 2.2 3 6 7.0 2.33 14.3 2.38 4 7 1.8 1.5 1.7 3 5.0 1.67 8 1.5 1.6 1.4 3 6 4.5 1.50 9.5 1.58 24 24 47.0 47 上表中，a= 4，b = 2，r = 3 N = 24 校正值 C = 92.0417 SST = (2.22+2.32+.1.42) - C = 95.02 - C = 2.9783 SSS = (12.92+9.52)/6 - C = 94.54 - C = 2.4983 （一级样本间） SSD(S) = (6.52+4.52)/3 - (12.92+9.52)/6 = 94.68 - 94.54 = 0.14 （二级样本间） SSe = SST SSS - SSD(S) = 2.9783 - 2.4983 -0.14 = 0.34 自由度： dfT = 423 1 = 23 dfS = 4 1 = 3 dfD(S) = 4 (2 - 1) = 4 dfe = 42(3 - 1) = 16 将平方和及自由度填入方差分析表中，并计算各均 方和 F 值： 方差分析表： 变异来源 SS df MS F F0.05 F0.01 植株间S 2.4983 3 0.8328 23.79* 6.59 16.69 叶片间D 0.14 4 0.035 1.64 3.01 误 差e 0.34 16 0.02125 T 2.9783 23 上述计算中， 即：两个不同级别的 F 值均由下一级的 MS 作为比 较标准，而不再是统一由误差项均方作为比较标 准 而查 F所用的自由度也应作相应的变动，即：FS的 自由度分别为 df1=3，df2=4 FD的自由度分别为 df1=4，df2=16 由于不同植株间的湿重差异极显著，而叶片间差异 不显著，因此，应对植株间（一级样本）作多重 比较： R 2 3 4 植株 0.05 0.01 q0.05 3.93 5.00 5.76 3 2.38 a A q0.01 6.51 8.12 9.17 1 2.15 a AB LSR0.05 0.30 0.38 0.44 2 1.72 b B LSR0.01 0.50 0.62 0.70 4 1.58 b B 如果叶片间差异亦显著，由于不是我们研究的重点 ，故可不进行多重比比较。 3.3 方差分析处理效应分类 固定因子： 如果一个因子的各个水平是我们有目的地挑选出来的，而我 们的研究目的是要比较这些因子之间有无差异或估计这些水 平的效应，则称之为固定因子，该因子各个水平的效应称为 固定效应。 随机因子： 如果一个因子的各个水平是从该因子的所有可能水平中随机 抽取的，我们的研究目的不仅仅是要比较这些水平之间有无 差异，而是了解该因子不同水平的总体变异情况，即对该总 体的方差进行检验或估计，则称之为随机因子，该因子各个 水平的效应称