毕业论文--自适应均衡器算法研究.doc

III 西南科技大学本科生毕业论文 自适应均衡器算法研究摘要：当今时代，信息的快速发展是基本需求，而怎么样将信息快速有效的传递成为我们研究的重点问题。经过研究发现，码间干扰是影响通信质量一个最重要的因素之一。在系统传递信息的过程中，信息发射出来经过信道传输再到接收的过程中，信道不会是一条开阔的通路，信息可能通过几条信道传输，并且传输的过程中可能遇到障碍物，会发生反射，绕射或者散射。为了使其接收到的信息更加可靠有效，所以必须克服这种多径效应，来避免多径效应与信号衰落引起的码间干扰，系统性能恶化。采用均衡技术是克服多径效应的最有效的办法之一。 采用均衡技术就是在接收端的的前面串联一个均衡器，对信道的码间干扰进行校正的电路，这个均衡器的能有效的减少码间干扰，降低误码率，克服数据传输在频带利用率和传输速率上的缺点，使我们能够得到我们需要的、准确的信息。目前，自适应均衡器已经在声纳、通信、雷达和地震学等方面有很重大的应用。 本文主要是基于MATLA来模拟信道，研究自适应均衡器技术。主要是从两种算法来分析自适应均衡器怎样才能最大的减小码间干扰。一种是最小均方算法（LMS），另一种是归最小二乘算法（RLS）。通过对两种算法中各种参数的讨论来研究哪种情况能够是均衡器达到最平稳的状态。关键词：均衡器；自适应均衡器；码间干扰Adaptive equalizer algorithm researchAbstract：In this day and age, the rapid development of information is the basic demand, and how to transfer information quickly and efficiently become the focus of our research problem.Through the study found that intersymbol interference is one of the most important factors that affect the communication quality of a.In our process of passing information, information is emitted through the channel transmission to the reception, in the process of channel is not going to be an open access, information may through several channels, and likely to encounter obstacles in the process of transmission, can produce a reflection, diffraction and scattering.In order for us to receive the information more reliable and efficient, we must overcome the multipath effect, to avoid the multipath effect and signal fading caused by intersymbol interference, the system performance deterioration.The balancing technology is one of the most effective way to overcome the multipath effect. Adopt a balanced technology is in front of the receiver series an equalizer, intersymbol interference of channel correction circuit, the equalizer can reduce intersymbol interference effectively, reduce the bit error rate, overcame the utilization rate of data transmission in band and faults on transmission rate, enables us to get what we need, accurate information.At present, the adaptive equalizer has been in such aspects as, communication, radar and sonar seismology has very important application. This paper is mainly based on MATLAB to analog channel, the adaptive equalizer technology.Mainly from two algorithms to analyze how adaptive equalizer can reduce intersymbol interference.One is the least mean square algorithm (LMS), the other is a least squares (RLS) algorithm.Through the discussion of the various parameters in two algorithm to study what kind of situation can achieve equalizer is the most stable state.Key words: equalizer，The adaptive equalizer，Intersymbol interference目 录第1章 绪 论11.1 均衡器的概述11.2 均衡器的结构和分类21.2.1 线性均衡器（LTE）31.2.2 非线性均衡器41.3 均衡器的应用51.4 论文的主要工作安排7第2章 基于LMS的自适应均衡器82.1 LMS算法的基本原理82.2 基于LMS算法的自适应均衡器112.3 LMS算法收敛性分析132.4 本章小结15第3章 基于RLS的自适应均衡器163.1 RLS算法的基本原理163.2 基于RLS算法的自适应均衡器193.3 RLS算法收敛分析233.4 本章小结25第4章 自适应均衡器实验及分析264.1 基于LMS自适应均衡器实验及分析264.2 基于RLS自适应均衡器实验及分析304.3 本章小结33总结34致谢36参考文献37 西南科技大学本科生毕业论文 第1章 绪 论1.1 均衡器的概述 当今时代，信息的快速发展是基本需求，而怎么样将信息快速有效的传递成为我们研究的重点问题。经过研究发现，码间干扰是影响通信质量一个最重要的因素之一。在系统传递信息的过程中，信息发射出来经过信道传输再到接收的过程中，信道不会是一条开阔的通路，信息可能通过几条信道传输，并且传输的过程中可能遇到障碍物，会发生反射，绕射或者散射，这是移动通信系统中影响传播的三种最基本的机制。以上通过几种路径传播的方式就是一种多径传播。信息经过这样传播，接收到的信息会存在很大的偏差，根本得不到我们想要的信息。为了使接收到的信息更加可靠有效，我们必须克服这种多径效应，来避免多径效应与信号衰落引起的码间干扰，系统性能恶化。采用均衡技术是克服多径效应的最有效的办法之一。均衡技术通常分为时域均衡器和频域均衡器，如果是从频域的角度去考虑，其方法可以使信道和均衡器总的频谱特性符合理想低通特性，这样来减小码间干扰在传输中的作用。如果是从时域的角度，则需要的是根奈奎斯特第一准则来判断，调整抽头系数，改变信道畸变时造成的码间干扰。一般对于比较简单的冲击响应或者频率响应通常是通过手动的调整改变参数。但是在实际应用中并不能满足我们的实际需求，很多时候信道的传输情况比较复杂，具有很强的时变和随机性。为了适应这种需求，我们需要能够随时根据信道响应的改变而实时的改变参数。所以在研究中引入了自适应滤波器，即是能够根据信道响应自身对抽头系数做调整的均衡器。自适应均衡器的工作模式有两个阶段。第一个是训练模式，首先，在发送端发送一个已知的定长序列信号，然后接受端通过已知的信号来根据信道的变化来调整自身的参数使接收端得到已知的信号。第二是跟踪模式，经过训练模式后，均衡器的处于最佳的接收状态，但这时的接收信号是未知的，均衡器通过传输的数据来矫正均衡器的参数，这时均衡器参数的变化与信道的变化相匹配。均衡器的算法、结构以及传输信道都是影响接收机的训练时间的重要因素，均衡器需要通过周期性的反复训练来达到最佳的工作状态。自适应均衡器中，带噪声的信号通过横向滤波器输出后与作为参考信号的延时输入信号进行比较，输出的误差信号用某种自适应算法进行控制，从而实现对自适应均衡器的抽头系数的调整。自适应均衡技术就是滤波器能够通过未知信道的变化自行调整参数，那么调整这个参数就需要一些复杂的算法来实现，最基本的就是自适应最小均方算法（LMS）和递归最小二乘算法（RLS）。随着科学技术的不断进步，在对信号处理的学术领域上自适应均衡器成为一个研究的热点问题，讨论实际应用中如何才能提高信号的接收质量，保证信息的准确度具有十分重要的意义。不同的算法实现均衡器对在不同的环境因素下的信号有不同的效果，考虑到这些问题，在研究时应该综合考虑到其收敛速度的快慢，优良的跟踪时变信道能力和尽量保证运算的复杂度低。 1.2 均衡器的结构和分类均衡的方式有两种，一种是频域的均衡，另一种是时域的均衡。频域的均衡必需使传递函数满足无失真的条件，即是。时域均衡主要从时间响应出发来满足系统无码间干扰。频域均衡满足码间干扰的条件比较严格，同时要满足奈奎斯特脉冲的要求，也就是说只在判决上满足码间干扰条件较为宽松。所以，在通信系统中一般采用时域均衡更容易实现。 LMS 梯度RLS LMS 梯度RLS LMS RLS RLS RLS 快速RLS 快速RLS 快速RLS 平方根RLS 平方根RLS 平方根RLS图1-1均衡器的结构分类和算法 均衡器总的来说有两大类：一种是线性均衡器，另一种是非线性的均衡器。非线性均衡器的定义是：在接收机中判决的结果通过反馈来使均衡器的参数来调整。那么，线性均衡器的定义则相反。如上图1-1是关于均衡器的分类及其使用的算法。1.2.1线性均衡器（LTE） 线性均衡器是由几个抽头延迟的单元构成，其中将抽头间隔D等效于码元的周期T，或是取码元的周期。如图1-2是表示抽头信号加权和构造均衡器的输出信号。LTE在判决前的输出是： （1-1）其中，是输入的矢量，是权系数矢量，k是时间序列，N是均衡器阶数。从上面可以得知把Y(k)和W(k)卷积就能得到。从式（1-1）中可以得出输出的矩阵Y和抽头矩阵W与输出的结果密切相关。输出矩阵是由信号畸变的，也就是说是由信道的变化来决定。抽头系数W矩阵是由信道的特性来设计改变的，以保证输出序列无码间干扰。通过分析可以得出线性横向的滤波器抽头系数也是根据信道的传递函数去确定，根据相应的系数的改变而改变。 图1-2 线性横向滤波器的结构线性横向滤波器的最大优势就是结构相对简单且容易实现，所以在各个领域中广泛被应用。但其中有两点劣势：首先是在噪声的强度方面，会使线性横向均衡器不能对深度零点的信道进行补偿均衡，其原因是在对深度零点补偿的同时必定会有高增益的频率响应，但与此同时无法使噪声降低，也就是说噪声也会同时被放大；其次是接收信号幅度会由于多径效应而衰减，因此使横向均衡器不能对抽头系数实现独立的调整。这两种情况会使线性均衡器在严重畸变的信道或信噪比低的环境中不能够实现均衡器，性能非常差，调整抽头系数也会互相影响，需求的抽头的数目也会更多。1.2.2 非线性均衡器 非线性均衡器一般应用于当信道的失真非常严重时线性均衡器不易处理。非线性的均衡器有以下几种：判决反馈均衡器，最大似然序列估值。 （1）判决反馈均衡器（DFE） 当一个信息符号被监测到并且被判定，就能够监测出后面的符号之前的预测，并且同时能够消除其带来的码间干扰，这就是判决反馈均衡器的原理。横向滤波器可以实现判决反馈均衡器，如图1-3。 图1-3判决反馈均衡器结构图 另外也可以由通过调整监测器输出驱动系数来实现。设均衡器的前馈滤波器的阶数为,后馈滤波器的阶数是,那么均衡器的输出是： （1-2）式（1-2）中，是前馈滤波器的各级的增益，是对应的输入，是后馈滤波器的各级增益，则是前面的判决器判定的输出信号。只要得到前面的反馈输出值，同时与前面的结果一起反馈回均衡器，就可以进而得到下一步的反馈值。这样就可以得到最小的均方差： （1-3） 其中，是常量当频谱衰落比较平坦的时候，线性均衡器工作情况稳定，当频谱衰落非常严重时候，线性均衡器不能够解决当前问题，采用非线性均衡器明显有优势，因此其更适用与严重失真的信道。 （2）最大似然序列估值（MLSE）最大似然序列估值通过在算法中使用冲击响应模拟器，能够监测到数据序列的多种情况，不仅仅只针对符号来解码，最后均衡器会选择相似性最高的序列作为输出序列。所以，一般采用这种方法计算量比较大，所耗费的时间也相对较多，特别在信道的延迟扩展很大的情况。最先提出最大似然序列估值的是Forney，之后他也建立了MLSE估测机构。如图1-4所示，是判决反馈均衡的MLSE接收结构图。 图1-4 判决均衡的MLSE接收机结构图这种均衡器的优点在于性能好，判决更加准确，但也有不足的地方就是运算量比较大，在通信系统中的应用也会因此收到限制。在实际的应用中，大部分还是使用的判决反馈均衡器（DFE）。1.3 均衡器的应用在很早的时候，在电话信道的领域中就应用了均衡技术，其中使用加载线圈的方式来调整传送音的双纹线电缆，从而控制由电话信道中引起的非线性相位和不平坦的频率特性。在上个世纪，通过固定的均衡器和人为的改变参数的均衡器来改善符号间干扰造成的数据传输的问题。在本课题中采用均衡技术就是在接收端的的前面串联一个均衡器，其实质就是一个信道的逆滤波器，对信道的码间干扰进行校正的电路，这个均衡器的能有效的减少码间干扰，降低误码率，克服数据传输在频带利用率和传输速率上的缺点，使我们能够得到我们需要的、准确的信息。然而在使用均衡器的时候，需要根据不同的信道来设置不同的均衡器的参数。在移动通信环境下，信道传输快速多变，这就需要均衡器能够快速的根据信号的变化而变化参数，所以提出了均衡器的自适应性，均衡器能够通过信号和信道的变化相匹配，也称为自适应均衡器。自适应均衡器能够在未知的环境下正常运行并跟踪输入统计量随时间变化，使得自适应均衡器能够在信号处理和自动控制应用领域上发挥重大的作用。在数据传输系统中，理想情况下的信道的幅度和相位特性是线性的，而实际上信道的幅度特性不可能恒定，相频特性是非线性的，数据传输速率越高，信道畸变的影响越大。所以在高速传输系统中完成对信道畸变的补偿，自适应均衡器具有非常重要的作用。目前，自适应均衡器已经在通信、雷达、声纳，地震学和生物医学等方面有很重大的应用。 通过上面的介绍，了解到影响通信质量的重要因素是码间干扰和噪声的因素。为了更好的对均衡器进行分析，首先定义一个信道模型，如图1-5，这是一个离散的时间信道，其中用L个延时器和抽头为L+1个的线性滤波器来等效成这个信道。假设各个单元的延时间都是相同的，码元宽度为，与延迟时间相等，是抽头权值序列。用表示噪声序列，在通信系统中，抽头权值的系数和延时器个数都是根据时间的改变而改变。 图1-5 码间干扰加噪声的信道模型 在信号传输的过程中，通常会有码间干扰的产生，多径效应是造成码间干扰的重要原因，这样是信号得不到有效的传输。均衡器正好就能够克服多径效应造成码间干扰，在信号的接收时对信号进行补偿，这就是均衡器。图1-6就是一个带均衡器的通信系统的模型。原始信号x(n) 输出重置信号 等效噪声n(n) 判决器 均衡器 调制 发射 信道 接收端 中频级 滤波器 图1-6 带均衡器的系统框图1.4 论文的主要工作安排 在对论文的研究和撰写的过程中，我参考许多的中外文资料，在老师的指导下做了深入的研究，并且针对几个自适应算法做了实验仿真。现在对本文的内容安排做一个介绍： 第一章是绪论，主要是介绍自适应均衡器的研究现状以及其发展和均衡器的结构分类。 第二章是提出了最小均方（LMS）算法，对LMS算法过程进行了推导并且分析了其收敛性。第三章是提出递归最小二乘（RLS）算法，对RLS算法的过程进行推导并且对其收敛性进行简单的分析。第四章是针对两种算法，在基于MATLAB基础上做几种实验仿真，改变不同的参数，对比两种算法的性能的优劣。第2章 基于LMS的自适应均衡器目前，在通信领域中被广泛应用的一种是自适应算法是最小均方（LMS，Least Mean Square）自适应算法。这种算法最早是由Windrow和Hoff在十九世纪发现的。为了区分LMS算法与最速下降算法，把LMS算法归属于随机梯度算法的一种，其在递归计算中使用了确定性梯度。LMS算法之所以被广泛应用，其优势就在于LMS算法简单易操作，LMS不需要对有关的相关函数进行计算，更不需要求逆矩阵。实际上大部分其他的线性自适应滤波器也是以LMS算法为标准的。2.1 LMS算法的基本原理 LMS算法首先是在维纳滤波的基础上，借助最速下降算法，用递归的方式来逼近最优解，这样虽然免去了求逆矩阵，但是需要对信号进行先验证。所以，把均方误差用瞬时误差来代替了，这就是LMS算法。LMS算法是属于线性自适应滤波算法的一种，其一般包含两个过程，即滤波的过程和自适应的过程。滤波的过程是指计算线性滤波器的输出对输入的响应信号和比较输出的结果与期望的响应的结果造成的误差这两个部分。自适应过程是指均衡器根据估计的误差自主的改变合适的滤波器参数。这两个过程同时工作时就构成了一个反馈环电路，如下图2-1所示。图2-1 自适应滤波器框图的反馈环路由图2-1可知有一个横向滤波器和一个自适应控制算法组成。横向滤波器是用来构造的LMS算法，最后用来完成滤波。自适应算法控制则是对横向滤波器抽头权值进行自适应的控制过程算法。其中横向滤波器的各个详细部分如下图2-2所示。由图中可以看出抽头的输入为，构成的M1抽头向量。延迟单元的个数为M-1，同样的抽头权值由，构成的M1抽头权向量。我们用LMS算法来对所得的值来计算估计，当迭代次数接近无穷大时，那么期望值有可能趋近于维纳解。在整个滤波的过程，期望响应和抽头输入时同时处理的，所以在给定的一个输入下，横向滤波器过滤后的输出值当做期望响应的的估计。期望响应和实际的横向滤波器的输出误差定义为估计误差。在图2-2中，可以得出估计误差与抽头输出向量都是属于自适应控制的部分，所以整个抽头权值反馈环路是属于闭环的。 另外，自适应权值控制的结构图下图2-3所示。首先是对k=0，1，.,M-2，M-1时，计算估计误差e(n)与抽头输入u(n-k)的内积，然后会在n+1次迭代中用于。其中表示标度因子，也称为步长参数。在图2-3中可以看出每个期望算子都是被路径移走，LMS算法会因为抽头权值的迭代计算在不同程度上受到梯度噪声的影响。 图2-2 横向滤波器结构框图 图2-3 权值自适应控制算法模型在LMS算法中，抽头的输入和期望响应之间是线性关系，并且通过回归模型构建起来，其中的参数是未知的，因此需要自适应的方法来滤波。根据前面的了解，因为梯度噪声一直都有，LMS算法的表现也会有所变化，不仅仅只在于维纳解。当LMS滤波器在工作时有反馈作用，会造成稳定性的问题。那么，如何来解决这个问题成为关键。需要定义J(n)为在n时刻，LMS算法的滤波器产生的均方误差，只要保证这个值在任何时候都趋近于一个常数就可以满足稳定性的要求，即： 当 （2-1）这样就确保了无论n为何值，J(n)都在稳定的范围内，这种情况下LMS算法稳定性较好。而要满足这种情况，步长参数u和输入信号必须满足适当的条件。另外，定义一个为额外均方误差，均方误差数是与维纳解之差。其值代表的是自适应LMS算法中抽头权值取代最速算法的方法的代价。把两者之比定义为失调，用来衡量LMS算法的稳态解与维纳解的相差度，其值是可以通过设计来控制。通过调整步长参数u的大小，可以减少梯度噪声对抽头权值的影响。所以在应用LMS算法的滤波器时，选择适当的步长参数值是影响滤波器的重要因素。2.2 基于LMS算法的自适应均衡器在最速下降算法中，假设有合适的步长参数u而且可以确切的测量到每一次迭代的梯度向量，那么最后得到的抽头向量将会趋于维纳解。但是，以上条件都是不能满足的，所以在不确定的环境中必须由目前可以用到的数据来估计梯度向量。这就是自适应LMS算法所要做的。首先定义出梯度向量的表示： （2-2）其中R是相关矩阵，p代表抽头输入与期望响应之间的互相关向量。然后，分别用式（2-3），式（2-4）来表示R和p的瞬态估计： （2-3） （2-4）所以梯度向量的瞬态估计则表示为： （2-5）通常情况下，由于抽头向量是随机的而且依赖于输入向量，这样得到的瞬态估值是有偏的。所以，根据最速下降方法来得出的最小均方几个基本的关系式：滤波输出： （2-6）估计误差或误差信号： （2-7） 抽头权向量自适应： （2-8）由上式中可以看出在随机输入时，利用LMS算法一次来完成迭代循环的方向是不定的，所以在应用时不能把纯梯度方向当做是允许的方向。下图（2-4）将给出基于LMS算法的信号流图，由图中可以看出自适应LMS算法并不复杂。其中，令M值为自适应横向滤波器的抽头权值，可以发现LMS算法完成一次迭代时需要复数乘法和复数加法分别为2M+1和2M,相当于其计算复杂度为O(M)。可以看出LMS算法使用瞬时估计，性能的收敛和稳定性不是很好。但LMS算法能够在自适应的过程中针对其中的值进行平均估值，这就是LMS算法的优势所在。 图2-4 LMS算信号流图下面将把LMS算法的过程做一个概括：1、 首先需要要做一个初始化，有两种情况。一是知道抽头的权向量，那么就能够根据抽头的权向量来选择合适的。而是相反的情况，不知道抽头权值向量，那么直接让=0.2、 然后根据当前时刻的滤波器各个参数计算误差信号，误差信号与滤波器系数矢量估值，输入信号矢量x(n)以及期望信号d(n)有关： （2-9） 3、利用递归计算使滤波器的系数矢量更新估值： （2-10） 4、把n取1,2.，一直重复以上步骤计算，是滤波器达到稳态为止。上面总结了LMS算法的整个过程，接下来就要研究如何基于LMS算法实现信道均衡。如下图2-5所示，这是基于LMS算法的自适应均衡器信道模型。图2-5 基于LMS算法的自适应均衡器实验模型 在图2-5中，用随机噪声发生器1是用来产生测试信号，随机数发生器2是用来表示干扰信道输出的白噪声声源，这两个随机参数都是相互独立的。基于LMS算法的自适应均衡器用来改变加性白噪声造成的信道畸变，这就需要利用前面总结的LMS算法的过程。经过合理的延迟，随机发声器1也会提供用做训练序列的自适应滤波器响应。随机数发声器2产生的序列v(n)具有零均值，方差的值为0.001。 首先把加入到信道的随机序列设为，由伯努利序列组成，且具有零均值和单位方差，令信道的脉冲响应可以用升余弦表示然后用参数W是控制均衡器抽头输入的相关矩阵的特征值分布。其中把均衡器的抽头系数M设为11，利用信道脉冲响应的对称与均衡器的最优抽头权值的对称实现两者求卷积后得到均衡器的期望响应，通过选择横向滤波器中均衡器中点的合适延时LMS算法可以提供信道响应最小相位分量和其值之逆。另外根据步长，特征值扩散度等参数来研究和分析其性能的优劣。整个信道模型大概就是这样通过LMS算法来实现的，实验中所用到的详细参数会在第四章中具体介绍。2.3 LMS算法收敛性分析 影响滤波器的主要性能指标有很多，主要有以下几点：a、收敛性：就是说当迭代次数n无线趋近于无穷大时，滤波器的全矢量一直能够趋近于最优解；b、收敛速度：是指当输入恒定时且最后通过迭代算法得出的解趋近于最优解，也就是收敛于最优解的时候，所需要的算法的迭代次数；c、稳态误差：简单的说就是指当滤波器进入稳态时的系数和最优解的距离远近；d、计算复杂度：就是说滤波器在更新自身的权系数时所需要的计算量。这些性能每个都具有一定的相关性，相互影响。这些都是分析滤波器是否能够对信号进行良好的处理的重要指标。而在LMS算法中收敛性是最重要的因素。所以，接下来将针对LMS算法的收敛性能进行分析。收敛性是指当迭代次数n无论取何值时，滤波器的的权矢量w(n)都能够趋近于最优值。下面将做一个独立性的假设来方便分析LMS算法。首先，需要独立统计各种参数在n+1时刻的值：滤波器的权矢量w(n+1),滤波器输入信号x(n+1),期望响应d(n+1).其次，我们要将LMS算法中n时刻的输入信号与去过去所有时刻的值进行独立统计，换句话说就是: k=0,1,.n-1 （2-11）最后，将n时刻的输入信号与过去所有时刻的期望响应d(k)也做一个独立统计，也就是说满足式（2-12） k=0,1.n-1 （2-12）在满足上述条件下，可以得到滤波器的权值误差是矢量为： （2-13）经过综合几个公式，简化后得： （2-14）现在做一个假设，令t(n)为在输入端的观察噪声且与输入信号相互独立，即不相关，则可以得到： （2-15）继而可以推出期望响应d(n)和估计误差e(n)为： （2-16） (2-17)然后将式（2-17）化简可以得到： （2-18）最后将上式的两端分别期望，可以得出： （2-19）其中，R表示输入信号自相关矩阵，如式（2-20）所示，然后采用特征值分解可以表示为式（2-21） （2-20） （2-21）最后则得到式（2-22） （2-22）其中用表示的最初值，由上式可以分析出，要使n取值不断增加的同时使的值保持收敛，则步长必须满足一定的条件。那么可以用来表示R的取最大时的特征值，来表示最大对角线元素，式（2-23）来表示权值向量收敛时步长所满足的条件： （2-23）但是，通常在现实中所应用到的LMS自适应滤波器通常情况下是不知道最大特征值的值。所以在实际操作中很难实现，那么如何去解决这个问题呢？那么可以利用自相关矩阵的正定性假设来尝试解决，首先定义trR是关于R的轨迹，那么有,所以可以得出LMS算法的收敛条件为： （2-24）考虑到横向滤波器的为空域的情况下，空域时的输入信号和相关矩阵有所不同，输入信号是：，相关矩阵则是：，相关矩阵的第i个对角元素是输入信号的均方值。那么，在这样的条件下，相关矩阵R的轨迹与滤波器的M个输入端上所测得的输入能量是相等的，也可以用下面的式（2-25）来表示，总的能量用P来表示： (2-25)那么，显而易见在这种情况下的LMS算法的收敛条件将转化成： (2-26) 2.4 本章小结 本章主要针对基于LMS算法的自适应滤波器作了介绍。首先对最小均方算法是结构和运算做了简单的了解，总结了LMS算法的基本原理。然后在此基础上引申出最小均方的自适应算法，概括了LMS算法的步骤。最后对针对LMS算法的各个性能指标进行了简要的介绍，重点针对其收敛性做了分析。可以得出影响LMS算法的重要几个因素就是滤波器的阶数，步长参数 以及滤波器的权矢量初值。在第四章的时候，将针对这些因素做实验仿真，研究步长和特征扩散度在什么情况下才能保证算法稳定性，收敛性最好。第3章 基于RLS的自适应均衡器 上一个章节中所介绍的LMS算法是来源于最速下降法的。其两者有一个共同的特征，就是估计梯度的值是通过估计误差的值来计算的。同时也利用估计梯度的值来替代了实际梯度，然后依据估计梯度来对滤波器进行滤波并且进行不断的更新迭代参数，直到估计误差的值不断减小到收敛于某一个值。这种方法有优点也有缺点，虽然它能对参数简单的更新，但是它的缺点却明显的暴露，可以看出它的收敛速度非常慢，在实际应用中根本不能够控制短帧数据传输和快变信道的情况。那么，有什么办法能够使这种情况得到改善或者解决呢？下面将介绍递归最小二乘（RLS，recursive least-squares）算法，这种算法能够弥补LMS算法中的劣势，使滤波器的各个性能更好。3.1 RLS算法的基本原理最小递归二乘法就是指在给定的N-1次迭代滤波器抽头权向量最小二乘估计，这是根据最新到达的数据计算的n次迭代权向量的最新估计。在最小二乘算法的递归实现中，首先依据开始的初始条件，然后根据新的数据值中的信息更新估值。在这个过程中，可以看出可测数据的长度是可变的。所以在研究RLS算法时，通常会用表示最小化的代价函数，可测量数据的可变长度用n表示。在另一方面，通常也会用加权因子来表示，加权因子用表示，其表示为： （3-1）在式（3-1）中，的值满足在0到1之间，即是，（i=1，2，3.,n），e(i)代表期望响应d(i)与当前i时刻的抽头输入u(i)的横线滤波器输入之差，也就是可以表示为： (3-2)其中,用来代表当前时刻的抽头输入的值，另外,用来表示n时刻时代表的抽头权向量，在上面所描述中，所定义的i值的范围是，且横向滤波器中的抽头权值是保持不变的，如图3-1所示可以表示横向滤波器的e(n)。 图3-1 具有时变抽头权值的横向滤波器加权因子的作用是为了保证遗忘之前的数据，也就是说滤波器在工作的时候需要避免过去的数据的干扰，只根据当前环境提供的数据跟踪变化，然后统计出在不平稳环境下的变化。那么加权因子又是怎么来定义的呢？通常在自适应滤波器中所指的加权因子是指数加权因子,在某些地方也称为遗忘因子，那么可以用一个来表示： i=1,2,3.,n (3-3) 在（3-3）中是一个趋近于1的值，但绝不会大于1。若当=1时，是一种特殊的情况，一般来说是对应最小二乘法的且无限记忆的情况，也就是说1-的倒数是一种可以用来衡量算法的记忆能力 。最小二乘算法是一个病态求逆的问题，在研究这个问题的过程中通常将抽头的输入向量u(n)输入数据与对应的期望响应d(n)给定，那么要想得到多重回归模型中的未知参数向量的估计值，就必须找到向量与d(n)和u(n)的关系。经过了解，我么得