空间向量在立体几何中的应用.doc

空间向量在立体几何中的应用【例1】已知三棱锥P-ABC中,PA面ABC,ABAC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN，M,S分别为PB,BC的中点.()证明:CMSN; ()求SN与平面CMN所成角的大小.证明：设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图.则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,0) (),因为,所以CMSN (),设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,则 因为所以SN与片面CMN所成角为45 【例2】、如图,四棱锥SABCD中,底面ABCD,AB/DC, ,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC.()证明:SE=2EB;()求二面角ADEC的大小.【解析】：以D为坐标原点 ,射线DA为轴正半轴, 建立如图所示的直角坐标系 设,则 () 设平面SBC的法向量为 由得 故 令 又设,则 设平面CDE的法向量 则,得 故 令 由平面DEC平面SBC得 故SE=2EB. ()由()知, 取DE中点E,则 故,由此得 又,故, 由此得, 向量与的夹角等于二面角ADEC的平面角. 于是 所以,二面角ADEC的大小为120. 【例3】如图,己知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,ABCD,BD垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点. ()证明:PEBC()若=60,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.【解析】以H为原点,HA,HB,HP分别为x,y,z轴,线段HA的长为单位长,建立空间直角坐标系如图,则A(1,0,0),B(0,1,0) (I)设 则 可得 因为, 所以 (II)由已知条件可得故, 设为平面PEH的法向量, 则 即 因此，取 由 可得 所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为 【例4】如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且（）求证：对任意的，都有（）设二面角CAED的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】（）（）证法2：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（，0，0），B（，0），C（0，0），E（0，0），w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 即。（I） 解法2：由（I）得.设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由得。易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0，.由于，解得，即为所求。【例6】OSABCDE如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点（）当为侧棱的中点时，求证：平面；（）求证：平面平面；（）当二面角的大小为时， 试判断点在上的位置，并说明理由解法一：证明：（）连接，由条件可得OSABCDE因为平面，平面，所以平面（）由已知可得，,是中点，所以又因为四边形是正方形，所以因为，所以又因为，所以平面平面（）解：连接，由（）知而, 所以又所以是二面角的平面角，即OyzxSABCDE设四棱锥的底面边长为2，在中，, , 所以又因为, ,所以是等腰直角三角形由可知，点是的中点解法二：（）同解法一（）证明：由（）知，建立如图所示的空间直角坐标系设四棱锥的底面边长为2，则，所以，设（），由已知可求得所以，设平面法向量为，则 即令，得易知是平面的法向量因为，所以，所以平面平面（）解：设（），由（）可知，平面法向量为因为，所以是平面的一个法向量由已知二面角的大小为所以，所以，解得所以点是的中点【例7】如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，为的中点 （）求直线与所成角的余弦值；（）在侧面内找一点，使面，并求出点到和的距离 【解析】：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为、，从而设的夹角为，则与所成角的余弦值为 （）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则，由面可得， 即点的坐标为，从而点到和的距离分别为 【例8】如图,四棱锥S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的倍,P为侧棱SD上的点 ()求证:ACSD;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()若SD平面PAC,求二面角P-AC-D的大小()在()的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,w使得BE平面PAC若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由解：()连接,设交与,由题意,平面,以为坐标原点,分别为轴,轴,轴正方向建立直角坐标系如图,设底面边长为,则于是,所以,从而() 由()知,平面的一个法向量平面的一个发向量,设所求二面角为,则,即二面角P-AC-D的大小是()在SC上存在一点E,使得BE平面PAC由()知,为平面的一个发向量,设,则,即当时,而不在平面内,所以BE平面PAC【例9】如图,在长方体中,、分别是棱,上的点,(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)证明平面(3)求二面角的正弦值解本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识, 考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,方法一:如图所示,建立空间直角坐标系, 点A为坐标原点,设,依题意得, , 解:易得, 于是 所以异面直线与所成角的余弦值为 证明:易知, 于是=0,=0.因此,又 所以平面 ()解:设平面的法向量,则,即 不妨令X=1,可得由(2)可知,为平面的一个法向量 于是,从而 所以二面角的正弦值为 【例10】如图5所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.(I)求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值;(II)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F/平面A1BE?证明你的结论.【解析】解法1 设正方体的棱长为1,如图所示,以为单位正交基底建立空间直角坐标系. (I)依题意,得B(1,0,0),E(), A(0,0,0),D(0,1,0),所以 在正方体ABCDA1B1C1D1中,因为AD平面 ABB1A1,所以是平面ABB1A1的一个法向量, 设直线BE和平面ABB1A1所成的角为,则 即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为 (II)依题意,得 设是平面A1BE的一个法向量,则由,得 所以取 设F是棱C1D上的点,则F(t,1,1) 又所以 D而平面A1BE,于是 B1F/平面A1BE 为C1D1的中点,这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点),使B1F/平面A1BE. 【例11】在直三棱柱中，A1A=AB=3，AC=3，、Q分别为棱BB1、CC1上的点，且.（1）求平面APQ与面ABC所成的锐二面角的大小.（2）在线段A1B（不包括两端点）上是否存在一点M，使AM+MC1最小？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.【解析】：（1）建立如图所示空间直角坐标系AA（0，0，0），P（3，0，），Q（0，3，2）.设平面APQ的一个法向量为令，则平面ABC的一个法向量平面APQ与面ABC所成的锐角大小为45. （1）问也用传统方法求解.（并参照计分）（2）沿A1B将面A1BC1与面A1BA展开，连结AC1与A1B交于点M，此时AM+MC1有最小值.又C1A1面ABB1A1，C1A1A1B.AA1C1中，AA1C1=135AC1=存在点M，使AM+AC1取最小值为【例12】在各棱长均为2的三棱柱ABC-ABC中，侧面AACC底面ABC， AAC=60.()求侧棱AA与平面ABC所成角的正弦值；()已知点D满足，在直线AA上是否存在点P，使DP平面ABC？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.解解：侧面A1ACC1底面ABC，作A1OAC于点O，A1O平面ABC.又ABC=A1AC=60，且各棱长都相等，AO=1，OA1=OB=，BOAC.故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(0，-1，0)，B(，0，0)，A1(0，0，)，C(0，1，0)，.设平面AB1C的法向量为n=(x,y,1)则解得n=(-1,0,1).由cos=而侧棱AA1与平面AB1C所成角，即是向量与平面AB1C的法向量所成锐角的余角，侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值为()而又B(，0，0)，点D的坐标为D(-，0，0).假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P(0，y，z).DP平面AB1C，n=(-1，0，1)为平面AB1C的法向量，由，得又DP平面AB1C，故存在点P，使DP平面AB1C，其从标为(0，0，)，即恰好为A1点.【例13】如图,在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中,E、F分别为AA1,和CC1的中点.(I)求证:EF平面ACD,;()求异面直线EF与AB所成的角;()在棱BB1上是否存在一点P,使得二面角P-AC-B的大小为30?若存在,求出BP的长;若不存在,请说明理由.【解析】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识;考查空间想象能力逻辑思维能力和探索问题、解决问题的能力.满分12分. 解法一:如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x 轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,由已知 得D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、 C(0,2,0)、B1(2,2,2)、D1(0,0,2)、 E(1,0,2 )、F(0,2,1). ()易知平面ACD1的一个法向量是 =(2,2,2). 又=(-1,2,-1), 由= -2+4-2=0, ,而EF平面ACD1, EF平面ACD1 () =(0,2,0),cos= 异面直线EF与AB所成的角为arccos. ()设点P(2,2,t)(0t2),平面ACP的一个法向量为=(x,y,z), 则 =(0,2,t), =(-2,2,0), 取. 易知平面ABC的一个法向量, 依题意知,=30或=150, |cos|= 即,解得 ,在棱BB1上存在一点P,当BP的长为时, 二面角P-AC-B的大小为30. 解法二:()同解法一知=(-1,2,-1) ,=(-2,0,2), = (-2,2,0),-=, 、共面. 又EF平面ACD1,EF平面ACD1. 【例14】如图,在直三棱柱中,.C1B1A1BADC()若为中点,求证:平面平面;()在上是否存在一点,使得二面角的大小为60. 解解法二: ()如图,以为原点,所在直线为 轴建立空间直角坐标系. 则. 即 由得 由得 又 平面 又平面 平面平面 ()当时二面角的大小为60 设,则点坐标为, 设平面的法向量为 则由 令 得 又为平面的法向量 则由 解得,故. 在上存在一点满足题意 ABC111ACB【例15】如图,斜三棱柱,已知侧面与底面垂直且,若二面角为,(1)证明平面; (2)求与平面所成角的正切值;(3)在平面内找一点,使三棱锥为正三棱锥,并求点到平面距离.解:(1) 面面,因为面面=,所以面. (2)取中点,连接,在中, 是正三角形,又面且面, ,即即为二面角的平面角为30, 面,在 中, 又面,即与面所成的线面角, 在中, (3)在上取点,使,则因为是的中线,是的重心,在中,过作ABC111ACB/交于, 面,/ 面,即点在平面上的射影是的中心,该点即为所求,且,. 【例16】如图，在长方体中，且（I）求证：对任意，总有；（II）若，求二面角的余弦值；（III）是否存在，使得在平面上的射影 平分？若存在, 求出的值, 若不存在，说明理由答案解：（I）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，从而，即（分）（II）由（）及得，设平面的法向量为，则，从而可取平面的法向量为，又取平面的法向量为，且设二面角为，所以（分）（III） 假设存在实数满足条件，由题结合图形，只需满足分别与所成的角相等，即 ，即，解得 所以存在满足题意得实数，使得在平面上的射影平分 （14分）ABCDEGF【例17】 如图，在六面体中，平面平面，平面，,且, （）求证： 平面； （）求二面角的余弦值； （） 求五面体的体积答案 (本题满分13分) 解法一 向量法由已知，AD、DE、DG两两垂直，建立如图的坐标系，则A（0，0，2），B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），G（0，2，0），F（2，1，0）（），所以BFCG又BF平面ACGD，故 BF/平面ACGD 4分（），设平面BCGF的法向量为，则，令，则，而平面ADGC的法向量故二面角D-CG-F的余弦值为9分（）设DG的中点为M，连接AM、FM，则13分【例18】如图，一简单几何体的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC平面ABC。（1）证明：平面ACD平面；（2）若，试求该几何体的体积V答案 5.解：（）证明： DC平面ABC ,平面ABC -2分AB是圆O的直径且 平面ADC -4分四边形DCBE为平行四边形 DE/BC 平面ADC -6分又平面ADE 平面ACD平面-7分（2）解法：所求简单组合体的体积：-9分， ,-11分-12分-13分该简单几何体的体积-14分解法5：将该简单组合体还原成一侧棱与底面垂直的三棱柱-8分如图， ,-10分=-12分 =-14分【例20】如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CEAC,EFAC,AB=,CE=EF=1.()求证:AF平面BDE;()求证:CF平面BDE;()求二面角A-BE-D的大小【解析】:(I)证明： 设AC与BD交与点G 因为EF/AG,且EF=1,AG=AC=1. 所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AF/平面EG, 因为平面BDE,AF平面BDE, 所以AF/平面BDE. (II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直,且CEAC, 所以CE平面ABCD. 如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-. 则C(0,0,0),A(,0),B(0,0). 所以,. 所以, 所以,. 所以BDE. (III) 由(II)知,是平面BDE的一个法向量. 设平面ABE的法向量,则,. 即 所以且 令则. 所以. 从而 因为二面角为锐角, 所以二面角的大小为. 【例21】如图,与都是边长为2的正三角形,平面平面,平面BCD,.(1)求点A到平面MBC的距离;(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.解法二:取CD中点O,连OB,OM, 则.又平面平面BCD, 则平面BCD. 取O为原点,直线OC、BO、OM为轴、轴、轴, 建立空间直角坐标系如图., 则各点坐标分别为 (1)设是平面MBC的法向量,则 由 由得 取,则 (2) 设平面ACM的法向量为, 由得 解得 又平面BCD的法向量为 又平面BCD的法向量为 所以 设所求二面角为,则 【例22】如图,五面体中,.底面是正三角形,.四边形是矩形,平面平面AABCDO(I)求这个几何体的体积;()在上运动,问:当在何处时,有平面,请说明理由; (III)求二面角的余弦值.【解析】: (I)显然这个五面体是四棱锥,因为侧面垂直于底面,所以正三角形的高就是这个四棱锥的高,又 , 所以. 于是 ()当为中点时,有平面. 证明:连结连结, 四边形是矩形 为中点, 平面, 且平面,平面 ,为的中点 (III)建立空间直角坐标系如图所示, 则, 所以, , 设为平面的法向量, 则有,令, 可得平面的一个法向量为, 设为平面的法向量, 则有 , 令, 可得平面的法向量, , 所以二面角的余弦值为 【例23】如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,且MD=NB=1,E为BC的中点(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值(2)在线段AN上是否存在点S,使得ES平面AMN?若存在,求线段AS的长;若不存在,请说明理由w.解解析:(1)在如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标 依题意,得. , 所以异面直线与所成角的余弦值为.A (2)假设在线段上存在点,使得平面. , 可设 又. 由平面,得即 故,此时. 经检验,当时,平面. 故线段上存在点,使得平面,此时. 【例24】如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF平面ACE.（）求证：AE平面BCE；（）求二面角BACE的余弦值；（）求点D到平面ACE的距离.（）求证：平面BDF平面ABCD【解析】（）平面ACE. 二面角DABE为直二面角，且， 平面ABE. （）以线段AB的中点为原点O，OE所在直 线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图.面BCE，BE面BCE， ，在的中点， 设平面AEC的一个法向量为，则解得令得是平面AEC的一个法向量.又平面BAC的一个法向量为，二面角BACE的大小为（III）AD/z轴，AD=2，点D到平面ACE的距离【例25】多面体ABCDEF的直观图及三视图分别如图所示，已知点M在AC上，点N在DE上，且AM：MC=DN：NE=a（1）求证：MN/平面BCEF；（2）当a=1时，求二面角DMNF的余弦值的绝对值【解析】：（1）由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ABFDCE.且AB=BC=AF=2，CE=BF=，BAF=90在CD上取一点G，DG：GC=DN：NE，连MG、NG。则AM：MC=DN：NE=a，NG/CE，MG/BC.平面MNG/平面BCEF.MN/平面CDEF.（2）a=1M、N分别是AC、CE的中点.以AB、AF、AD分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则有关各点的坐标分别是D（0，0，2），F（0，2，0），M（1，1），N（0，1，2） 设平面DMN的法向量设平面MNF的法向量为设二面角DMNF的平面角为，则二面角DMNF的余弦值的绝对值为 空间向量在立体几何中的应用(理科训练)1如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，E是PC的中点. （1）证明 平面； （2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值. 答案 11（本小题满分12分） （I）证明：连结AC，AC交BD于O.连结EO.底面ABCD是正方形，点O是AC的中点在中，EO是中位线，. 3分而平面EDB且平面EDB，所以平面EDB. 5分 （II）解： 作交DC于F.连结BF.设正方形ABCD的边长为.底面ABCD，为DC的中点.底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角. 8分在中，在中，所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为 12分2如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2。 （I）求证：C1D/平面ABB1A1； （II）求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值； （）求二面角DA1C1A的余弦值。答案 （I）证明：四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1/CC1，又面ABB1A1，所以CC1/平面ABB1A1，2分ABCD是正方形，所以CD/AB，又CD面ABB1A1，AB面ABB1A1，所以CD/平面ABB1A1，3分所以平面CDD1C1/平面ABB1A1，所以C1D/平面ABB1A14分 （II）解：ABCD是正方形，ADCD因为A1D平面ABCD，所以A1DAD，A1DCD，如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，5分在中，由已知可得所以， 6分因为A1D平面ABCD，所以A1D平面A1B1C1D1A1DB1D1。又B1D1A1C1，所以B1D1平面A1C1D，7分所以平面A1C1D的一个法向量为n=（1，1，0）8分设与n所成的角为，则所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为9分 （III）解：平面A1C1A的法向量为 则 所以 令可得 11分则所以二面角的余弦值为12分3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCCC12，ACBC，D为AB的中点.（1）求异面直线与所成的角的余弦值；（2）求证：；（3）求证：答案 5. 解：（1）在直三棱柱中 是所成的角（或其补角）2分 在中， 4分 （2）连结交于，连结。5分 则为的中点 又为的中点 7分 9分 （3）在直三棱柱中 10分 11分 12分 同理： 13分4如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2（1）求证：AE/平面DCF；（2）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为【分析】（1）只要过点作的平行线即可；（2）由于点是点在平面内的射影，只要过点作的垂线即可很容易地作出二面角的平面角，剩下的就是具体的计算问题。或者建立空间直角坐标系，使用法向量的方法求解。DABEFCHG【解析】 方法一：（）证明：过点作交于，连结，可得四边形为矩形，又为矩形，所以，从而四边形为平行四边形，故因为平面，平面，所以平面6分（）解：过点作交的延长线于，连结由平面平面，得平面，从而所以为二面角的平面角在中，因为，所以，又因为，所以，从而，于是，因为所以当为时，二面角的大小为12分DABEFCyzx方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系设，则，（）证明：，所以，从而，所以平面因为平面，所以平面平面故平面6分（）解：因为，所以，从而解得所以，设与平面垂直，则，解得又因为平面，所以，得到所以当为时，二面角的大小为12分【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何。【点评】由于理科有空间向量的知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷，那就是空间向量的运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题的工具，要注意综合几何法的应用。5. 已知四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD.异面直线PB与CD所成的角为45.求： 二面角BPCD的大小；直线PB与平面PCD所成的角的大小.解：ABCD，PBA就是PB与CD所成的角，即PBA=45,1分