杨氏模量的物理含义及测量方法.doc

目录 一 杨氏模量的物理含义及测量方法.1 1.1 杨氏模量的物理含义 .1 1.2 杨氏模量的测量方法 1 二 杨氏模量的测定（拉伸法）.1 2.1 实验目的 1 2.2 实验仪器 1 2.3.实验原理2 2.3.1 杨氏模量.2 2.3.2 光杠杆原理.2 2.4 实验仪器介绍 4 2.4.1 杨氏模量测定仪.4 2.4.2 米尺.5 2.4.3 游标卡尺.6 2.4.4 螺旋测微计.9 2.5 实验内容 .10 2.6 实验步骤 10 2.6.1 杨氏模量测定仪的调整10 2.6.2 光杠杆及望远镜镜尺组的调整 .11 2.6.3 测量 11 2.7 数据的测量及处理 .12 2.7.1 数据的测量12 2.7.2 数据的处理 .13 2.7.3 测量结果14 2.8 误差分析 .14 2.8.1 误差的概念14 2.8.2 误差的估算15 三 总结.17 参考文献.19 1 致谢.20 一、 杨氏模量的物理含义及测量方法 1.1 杨氏模量的物理含义 杨氏模量是表征在弹性限度内物质材料抗拉或抗压的物理量，它是沿纵向的弹 性模量。1807 年因英国医生兼物理学家 Thomaa Young （1773-1829) 所得到的结果 而命名。在物体的弹性限度内，应力与应变成正比，比值被称为材料的杨氏模量， 它是表征材料性质的一个物理量，仅取决于材料本身的物理性质。杨氏模量的大小 标志了材料的刚性，杨氏模量越大，越不容易发生形变。 1.2 杨氏模量的测量方法 测量杨氏模量的方法一般有拉伸法、梁弯曲法、振动法、内耗法等，还出现了 利用光纤位移传感器、莫尔条纹、电涡流传感器和波动传递技术（微波或超声波） 等实验技术和方法测量杨氏模量。 二、 杨氏模量的测定（拉伸法） 杨氏模量是反映材料性质的一个参数，是工程上极为常用的常数。在材料实验 机上测杨氏模量是非常简单的事。作为物理实验课，着眼点不在测量杨氏模量本身， 而在测量技术的训练。本实验除力外，其他均为长度，涉及四种不同的典型测长方 法，所以本实验是一个综合长度训练课。 2.1 实验目的 （1）学会用拉伸法测量杨氏模量 （2）掌握用光杠杆测量微小长度的方法 （3）学会用逐差法处理数据 2.2 实验仪器 杨氏模量测定仪，米尺，游标卡尺，螺旋侧微计。 2 2.3.实验原理 2.3.1 杨氏模量 任何固体在外力作用下都要发生形变，当外力撤除后物体能够完全恢复原状的 形变称为弹性形变。如果加在物体上的外力过大，以至外力撤除后，物体不能完全 恢复原状而留下剩余形变，本实验只研究弹性形变。 一粗细均匀的钢丝，截面积为 A，长为 L，在外力 F 的作用下伸长L。根据胡 克定律，在弹性限度内，其应力成正比，即 L L S F 与应变 （1）式中，比例系数 E L L E S F 是材料的杨氏弹性模量，简称杨氏模量。它表征材料本身的性质，E 值越大的材料， 要使它发生一定的应变所需的单位横截面上的力也就越大。 由上式可得 （2） Ld FL LS FL E 2 4 式中，d 为钢丝直径。在（2）式中，F、L、d 都比较容易测得，只有伸长量L 因 为其值很小（约） ，不能用普通测量长度的仪器测出。 1 10 2.3.2 光杠杆原理 尺读望远镜和光杠杆组成如图 2 所示的测量系统。光杠杆系统是由光杠杆镜架 与尺读望远镜组成的。 3 （a） (b) 图 2 光杠杆 光杠杆结构见图 2（b）所示，它实际上是附有三个尖足的平面镜。三个尖足的 边线为一等腰三角形。前两足刀口与平面镜在同一平面内（平面镜俯仰方位可调） ， 后足在前两足刀口的中垂线上。尺读望远镜由一把竖立的毫米刻度尺和在尺旁的一 个望远镜组成。光杠杆优点有 1、实现了非接触式测量。2、提高了测量的准确度。 将光杠杆和望远镜按图 2 所示放置好，按仪器调节顺序调好全部装置后，就会 在望远镜中看到经由光杠杆平面镜反射的标尺像。设开始时，光杠杆的平面镜竖直， 即镜面法线在水平位置，在望远镜中恰能看到望远镜处标尺刻度的象。当挂上重 1 s 物使细钢丝受力伸长后，光杠杆的后脚尖随之绕后脚尖下降 L，光杠杆平 1 f 32f f 面镜转过一较小角度，法线也转过同一角度。根据反射定律，从处发出的光 1 s 经过平面镜反射到（为标尺某一刻度） 。由光路可逆性，从发出的光经平面 2 s 2 s 2 s 镜反射后将进入望远镜中被观察到。望远记= A.由图 2 可知 2 s 1 s b L tan D s tan 式中，为光杠杆常数（光杠杆后脚尖至前脚尖连线的垂直距离） ； b 为光杠杆镜面至尺读望远镜标尺的距离 D 由于偏转角度很小，即 Lb，a ，所以近似地有 D ， b L 2 D s 4 则 = （4） L D b 2 s 由上式可知，微小变化量 L 可通过较易准确测量的 b、D、a，间接求得。实验 中取 Db，光杠杆的作用是将微小长度变化 L 放大为标尺上的相应位置变化 a，L 被放大了 倍。将（3） 、 （4）两式代入（2）有 b D2 （5） s F bd LD E 2 8 通过上式便可算出杨氏模量 E。 2.4 实验仪器介绍 2.4.1 杨氏模量测定仪 杨氏模量测定仪见图 1 所示，三角底座上装有两根立柱和调整螺丝。可调整调 整螺丝使立柱铅直，并由立柱下端的水准仪来判断。金属丝的上端夹紧在横梁上的 夹头中。立柱的中部有一个可以沿立柱上下移动的平台，用来承托光杠杆。平台上 有一个圆孔，孔中有一个可以上下滑动的夹头，金属丝的下端夹紧在夹头中。夹头 下面有一个挂钩，挂有砝码托，用来放置拉伸金属丝的砝码。放置在平台上的光杠 杆是用来测量微小长度变化的实验装置。 5 1-金属丝 2-光杠杆 3-平台 4-挂钩 5-砝码 6-三角底座 7-标尺 8-望 远镜 图 1 杨氏模量仪示意图 2.4.2 米尺 米尺得分度值为 1（毫米） 。因此，用米尺测量长度时，可以读准到毫米这一 6 位上，毫米以下的一位则需凭视力估计。例如同一个物体，有人测的是 1.57，然 而有人却读成 1.52.最后一位 7 和 2 是估计的 ，即读数的偶然误差所在的位数， 这位读数与真实值可能有出入，但还 是有意义的，不能扔掉。 往后，对各种仪表经行读数时，在可能情况下，都 要对小于分度值的进行估读。 读数的最后一位应该是读数的偶然误差所在的位数。这是仪器读数的一般规则。 米尺是有一定厚度的。所以，用米尺测量时，要尽可能把待测物体贴紧米尺的 刻度线，以避免视差。视差的来源是由于待测对象与标尺不贴紧，以致测量者从不 同角度看去，会导致读数的差异。在以后的各种测量中，要注意尽量避免视差，或 设法减小视差。 有的米尺是从端边开始的，测量时一般不用端边作为测量的起点，以免由磨损 带来误差。 2.4.3 游标卡尺 游标卡尺是工业上常用的测量长度的仪器，它由尺身及能在尺身上滑动的游标 组成，如图 231 所示。若从背面看，游标是一个整体。游标与尺身之间有一弹 簧片（图中未能画出） ，利用弹簧片的弹力使游标与尺身靠紧。游标上部有一紧固螺 钉，可将游标固定在尺身上的任意位置。尺身和游标都有量爪，利用内测量爪可以 测量槽的宽度和管的内径，利用外测量爪可以测量零件的厚度和管的外径。深度尺 与游标尺连在一起，可以测槽和筒的深度。 尺身和游标尺上面都有刻度。以准确到 01 毫米的游标卡尺为例，尺身上的最 小分度是 1 毫米，游标尺上有 10 个小的等分刻度，总长 9 毫米，每一分度为 09 毫米，与主尺上的最小分度相差 01 毫米。量爪并拢时尺身和游标的零刻度线对齐， 它们的第一条刻度线相差 01 毫米，第二条刻度线相差 02 毫米，第 10 条 刻度线相差 1 毫米，即游标的第 10 条刻度线恰好与主尺的 9 毫米刻度线对齐。 当量爪间所量物体的线度为 01 毫米时，游标尺向右应移动 01 毫米。这时 它的第一条刻度线恰好与尺身的 1 毫米刻度线对齐。同样当游标的第五条刻度线跟 尺身的 5 毫米刻度线对齐时，说明两量爪之间有 05 毫米的宽度，依此类推。 在测量大于 1 毫米的长度时，整的毫米数要从游标“0”线与尺身相对的刻度线读出。 7 （1）游标卡尺的使用 用软布将量爪擦干净，使其并拢，查看游标和主尺身的零刻度线是否对齐。如 果对齐就可以进行测量；如没有对齐则要记取零误差：游标的零刻度线在尺身零刻 度线右侧的叫正零误差，在尺身零刻度线左侧的叫负零误差（这件规定方法与数轴 的规定一致，原点以右为正，原点以左为负） 。 测量时，右手拿住尺身，大拇指移动游标，左手拿待测外径（或内径）的物体， 使待测物位于外测量爪之间，当与量爪紧紧相贴时，即可读数. （2）游标卡尺的读数 读数时首先以游标零刻度线为准在尺身上读取毫米整数，即以毫米为单位的整 数部分。然后看游标上第几条刻度线与尺身的刻度线对齐，如第 6 条刻度线与尺身 刻度线对齐，则小数部分即为 06 毫米（若没有正好对齐的线，则取最接近对齐的 线进行读数） 。如有零误差，则一律用上述结果减去零误差（零误差为负，相当于加 上相同大小的零误差） ，读数结果为： L整数部分小数部分零误差 判断游标上哪条刻度线与尺身刻度线对准，可用下述方法：选定相邻的三条线， 如左侧的线在尺身对应线左右，右侧的线在尺身对应线之左，中间那条线便可以认 为是对准了。 如果需测量几次取平均值，不需每次都减去零误差，只要从最后结果 减去零误差即可。 （3）游标卡尺的保管 游标卡尺使用完毕，用棉纱擦拭干净。长期不用时应将它擦上黄油或机油，两 8 量爪合拢并拧紧紧固螺钉，放入卡尺盒内盖好。游标卡尺有 0.01 毫米 0.1 毫米、 0.05 毫米和 0.02 毫米 4 种最小读数值 （4） 游标卡尺的刻线原理 游标卡尺按其测量精度有 1/20mm（0.05）和 1/50mm（0.02）两种我们先来介绍 1/50mm(0.02)。其尺身上每格是 1mm，游标上分 50 个小格，当两量爪合并时，游标 上的 50 格刚好与尺身上的 49mm 对正。因此，尺身与游标每格之差为：1- 49/50mm=0.02（mm） ，此差值即为 1/50mm 游标卡尺的测量精度。 再看 1/20mm（0.05）其尺身上每格是 1mm，游标上分 20 个小格，当两量爪合并 时，游标上的 20 格刚好与尺身上的 19mm 对正。因此，尺身与游标每格之差为：1- 19/20mm=0.05（mm） ，此差值即为 1/20mm 游标卡尺的测量精度。 （5）读法 用游标卡尺测量工件时，读书方法分三个步骤：首先，读出游标卡尺上零线左 面尺身的毫米整数（举例假如游标零线在尺身 19mm20mm 中间，那么尺身对应的 毫米整数就为 19mm） ；其次，读出游标上哪一条刻线与尺身对齐（注意必须是从零 线的下格算起，如果按零线对齐算精度只能达到 0.0mm，就不算中等精度的尺寸了） ； 最后把尺身和游标上的尺寸加起来即为测得尺寸。 【注意事项】 游标卡尺是比较精密的测量工具，要轻拿轻放，不得碰撞或跌落地下。使用 时不要用来测量粗糙的物体，以免损坏量爪，不用时应置于干燥地方防止锈蚀。 测量时，应先拧松紧固螺钉，移动游标不能用力过猛。两量爪与待测物的接 触不宜过紧。不能使被夹紧的物体在量爪内挪动。 读数时，视线应与尺面垂直。如需固定读数，可用紧固螺钉将游标固定在尺 身上，防止滑动。 实际测量时，对同一长度应多测几次，取其平均值来消除偶然误差 9 2.4.4 螺旋测微计 螺旋测微计又称千分尺，是比游标卡尺更精密的测量长度的工具,用它测长度可 以准确到 0.01mm,测量范围为几个厘米。 图上 A 为测杆，它的一部分加工成螺距为 0.5mm 的螺纹，当它在固定套管 B 的 螺套中转动时，将前进或后退，活动套管 C 和螺杆连成一体，其周边等分成 50 个分 格。螺杆转动的整圈数由固定套管上间隔 0.5mm 的刻线去测量，不足一圈的部分由 活动套管周边的刻线去测量。所以用螺旋测微器测量长度时，读数也分为两步，即 （1）从活动套管的前沿在固定套管的位置，读出整圈数。 （2）从固定套管上的横线 所对活动套管上的分格数，读出不到一圈的小数，二者相加就是测量值。 螺旋测微器的尾端有一装置 D，拧动 D 可使测杆移动，当测杆和被测物相接后 的压力达到某一数值时，棘轮将滑动并有咔、咔的响声，活动套管不再转动，测杆 也停止前进，这是就可以读数了。 不夹被测物而使测杆和砧台相接时，活动套管上的零线应当刚好和固定套管上 的横线对齐。实际操作过程中，由于使用不当，初始状态多少和上述要求不符，即 有一个不等于零的读数。所以再使用之前必须要先调零。 （1）螺旋测微计原理和使用 螺旋测微计是依据螺旋放大的原理制成的，即螺杆在螺母中旋转一周，螺杆便 沿着旋转轴线方向前进或后退一个螺距的距离。因此，沿轴线方向移动的微小距离， 就能用圆周上的读数表示出来。螺旋测微计的精密螺纹的螺距是 0.5mm，可动刻度 10 有 50 个等分刻度，可动刻度旋转一周，测微螺杆可前进或后退 0.5mm，因此旋转每 个小分度，相当于测微螺杆前进或后退这 0.5/50=0.01mm。可见，可动刻度每一小 分度表示 0.01mm，所以以螺旋测微计可准确到 0.01mm。由于还能再估读一位，可读 到毫米的千分位，故又名千分尺。 测量时，当小砧和测微螺杆并拢时，可动刻度的零点若恰好与固定刻度的零点 重合，旋出测微螺杆，并使小砧和测微螺杆的面正好接触待测长度的两端，那么测 微螺杆向右移动的距离就是所测的长度。这个距离的整毫米数由固定刻度上读出， 小数部分则由可动刻度读出。 （2）使用螺旋测微计应注意以下几点： 测量时，在测微螺杆快靠近被测物体时应停止使用旋钮，而改用微调旋钮， 避免产生过大的压力，既可使测量结果精确，又能保护螺旋测微器。 在读数时，要注意固定刻度尺上表示半毫米的刻线是否已经露出。 读数时，千分位有一位估读数字，不能随便扔掉，即使固定刻度的零点正好 与可动刻度的某一刻度线对齐，千分位上也应读取为“0” 。 当小砧和测微螺杆并拢时，可动刻度的零点与固定刻度的零点不相重合，将 出现零误差，应加以修正，即在最后测长度的读数上去掉零误差的数值。 2.5 实验内容 （1）测量钢丝的伸长量E （2）测量钢丝的直径 d（螺旋测微器） （3）测量光杠杆前脚到后两脚尖的垂直距离 b（游标卡尺） （4）测量钢丝原长及光杠杆镜面到标尺的垂直距离 D（卷尺） 2.6 实验步骤 2.6.1 杨氏模量测定仪的调整 （1）调节杨氏模量测定仪三角底座上的调整螺钉，使支架、细钢丝铅直，使平 台水平。 （2）将光杠杆放在平台上，两前脚放在平台前面的横槽中，后脚放在钢丝下端 11 的夹头上适当位置，不能与钢丝接触，不要靠着圆孔边，也不要放在夹缝中。 2.6.2 光杠杆及望远镜镜尺组的调整 将望远镜放在离光杠杆镜面约为 1.0-2.0m 处，并使二者在同一高度。调整光杠 杆镜面与平台面垂直，望远镜成水平，并与标尺竖直，望远镜应水平对准平面镜中 部。 调整望远镜;移动标尺架和微调平面镜的仰角，及改变望远镜的倾角。使得通过望远 镜筒上的准心往平面镜中观察，能看到标尺的像； 调整目镜至能看清镜筒中叉丝的像；慢慢调整望远镜右侧物镜调焦旋钮直到能 在望远镜中看见清晰的标尺像，并使望远镜中的标尺刻度线的像与叉丝水平线的像 重合。 消除视差;眼睛在目镜处微微上下移动，如果叉丝的像与标尺刻度线的像出现相 对位移，应重新微调目镜和物镜，直至消除为止。 2.6.3 测量 望远镜中标尺刻度值：仪器调整好后，计下开始时望远镜中标尺刻度值 A;然 后在砝码钩上每增加一个砝码（1） ，记录对应的标准刻度值，依次计为A0 ，最后把增加的砝码逐个取下，记下对应的标尺刻度值 8321 .AAAA ，如果取下砝码和加上砝码相应的读数相差太大，应再校正 1678 .AAAA 仪器重做一次。 钢丝直径 d：用螺旋测微计测量钢丝不同位置处钢丝直径 5 次，并记录螺旋 测微计的零差。 光杠杆的臂长 b：将光杠杆取下放在纸上，压出三个足痕，画出后足到两前 足痕连线的垂线。用游标卡尺单次测量。 镜面到标尺的距离 D:用卷尺单次测量光杠杆镜面到竖直标尺面的距离 D。 钢丝的原始长度 L：用卷尺单次测量钢丝上下夹头之间的距离。 12 2.7 数据的测量及处理 2.7.1 数据的测量 金属丝材料：钢丝长度 L=49.50cm mmL50 . 0 min 光杠杆镜面到标尺的垂直距离 D=1.20m D=0.050mm 光杠杆脚尖到两脚尖连线的垂直距离 b=8.452cm b=0.02mm 拉萨地区的重力加速度 g=9.79338m/a2 每块砝码的质量 m=1kg 钢丝的直径 d 测量 5 次 I12345 平均 值 D（） 0.5010.5040.5000.5030.4970.501 d（mm） 0.0000.0030.0010.002 0004 0.002 螺旋测微计零差 0.006mm d=0.501mm-0.006=0.495mm IF=img 加砝码 （cm） 减砝码 （cm） 平均值 （cm） iii AAa 4 误差 （cm） 1110009.793381.001.201.10 138 0.03 2210009.793381.401.421.41 144 0.02 3310009.793381.731.771.751.470.01 4410009.793382.102.102.101.500.04 5510009.793382.462.502.48 6610009.793382.822.882.85 1 7 710009.793383.213.233.22 cm AAm 46 . 1 )50 . 1 47 . 1 44 . 1 43. 1 ( 4 1 )( 0 ()=0.025cm AAm0 13 8810009.79333.603.603.60 2.7.2 数据的处理 逐差法的基本特点： 由误差理论可知，算术平方根最接近真值，因此一般采用多次测量的算术平方 根作为测量结果，但在个别实验中若简单的取各次测量的平均值，并不能达到很好 的效果。如本实验中的望远镜标尺读数的相邻差值： , 121 sss 其平均值为 , 787 sss 77 ).()( 7 . 18 7812 721 ss ssss sss s 从上式可以看出，中间的数据全部抵消，只有始末两次测量值起作用，与一次 加 7 个砝码单次测量结果相同。为保证中间个测量值不抵消，发挥多次测量的优越 性，应修改处理数据的方法，即把数据分为两组: 一组是：另一组为取相应的差值 4321 .ssss 8765 .ssss ， 151 sss 262 sss 373 sss 则平均值为 484 sss 48372615 4 1 sssssssss 优点：充分利用了数据，保持了多次测量的优点，减小了测量误差。 由上表可知=1.46cm 0 AAm 根据公式 bd LD E 2 8 AAm F 0 = NE 10 11 05 . 2 m 2 14 误差计算 代入数据得 AA A A m m b b d d D D L L F F E E 0 0) 2 ( E=0.9N 10 10 m 2 2.7.3 测量结果 E=E 211 /10)09 . 0 05 . 2 (mNE 2.8 误差分析 2.8.1 误差的概念 测量误差是一门专门的科学，深入的讨论它，需要有丰富的实验经验和较多的 数学知识。下面简单的介绍误差的基本知识，使学生更好的领会误差分析的思想， 对学生做好实验是很有意义的。 1. 直接测量和间接测量 测量可以分为直接测量和间接测量两类。凡是能以量具、仪器的刻度直接测得 待测量大小的测量叫直接测量。但是大多数物理量都没有直接测量的仪器，需要进 行间接的测量。所谓的间接测量，就是先经过直接测量得到一些量的量值，然而再 通过一定的数学式子进行计算，才得出所求结果的测量。杨氏模量的测定实验就是 间接的测量。 2. 测量误差 任何物理量在一定条件下都客观的存在一个唯一确定的值，这个值称为真值。 但是，由于实验条件、测量方法、测量仪器和测量者自身判断等原因，任何测量都 不是绝对准确的，所以测得数值与真值之间总存在着差异。我们把所得测量值与真 值之差定义为测量值的误差，用下式来表示： xxx ii 15 式中为真值，为第 i 次测量值，为第 i 次测量误差产生误差的原因是多 xi x i x 方面的，根据误差的性质及产生的原因，可将误差分为系统误差和偶然误差两类。 （1）系统误差 系统误差的特点是，测量的结果总向某一确定方向偏离，或按照一定的规律变 化。产生系统误差有以下几个原因：仪器本身的缺陷、理论公式或测量方法的近似 性、环境的改变、个人存在的不良测量习惯等。 （2）偶然误差 即使在测量过程中已减小或消除了系统误差，但在同一条件下对某一物理量进 行多次测量，也总存在差异，误差时大时小，时正时负。这种现象的产生是由于观 察者受到感官的限制，或由于实验过程中受到周围条件无规则变化的影响，或由于 测量对象自身的涨落，或由于其他不可预测的偶然因素所引起的。这样的误差称为 偶然误差。偶然误差有以下几个特点：绝对值相等的正负误差出现的几率相等；绝 对值小的误差出现的几率比绝对值大的误差出现的几率大；偶然误差的绝对值不超 过某一限度。故在有限次测量中，我们应测量列的算术平均值作为真值的估值，或 称为最佳值。 2.8.2 误差的估算 1直接测量的误差及其表示 （1）对于标出精密等级的仪器和仪表，可表示为： 仪测 xxx 仪器误差一般在仪器上或说明书上标明。 （2）相对误差 当被测量值有公认的理论值或标准值时，在数据处理时常用下式表示： %100 理论值 理论值测量值 x E 2间接误差的估算 计算间接测量量的最佳值，是把各测量列的最佳值代入相应的函数关系式进行 16 计算得到的。由于各直接测量值都存在误差，因此间接测量值也必然存在一定的误 差。这种有直接测量的误差影响到间接测量值的误差现象称为误差的传播。 杨氏模量 E 的误差传播公式为： AA AA m m b b d d L L D D F F E E 0 0 2 式中 48372615 0 4 1 AAAAAAAA AAm 4 1 15 263748 0 AAA AAAAAAAAA AAm 2.8.3 不确定度 不确定度是建立在误差理论基础上的一个新概念，是误差的数字指标。它表示 由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度，即测量结果不能肯定的误差范 围。 由于误差的来源众多，测量结果不确定度一般包括几个分量。为了估算方便， 按估计其数值不同方法，它可以分为 A B 两类评定 1.标准不确定度的 A 评定 由于偶然效应，被测量 X 的多次重复测量值 1 x 2 x 3 x n x 将是分散的，从分散的测量值出发，用统计的方法评定标准不确定度，就是标 准不确定度的 A 类评定。 1 2 nn xxu iA 2. 标准不确定度的 B 评定 17 当误差的影响，仅使测量值向某一方向有恒定的偏离，这时不能用统计的方法 评定不确定度，这一类是 B 类不确定度的评定 3 )( xuB 3.合成不确定度 对于直接测量，设被测量 X 的标准不确定度的来源 k 有项，则合成不确定度 k i i xuxu