《毕业论文《向量》》word版.doc

宁夏师范学院 2011 届本科毕业生论文（设计） 1 摘摘 要要 向量在中学教学和研究中占有比较重要的地位，如何用向量的知识去解 决平面几何问题是比较重要的利用向量解决一些数学问题，将大大简化解 题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具 .本文首先回顾了向量的 一些基本性质，接着分别从证明线段平行，证明垂 直问题，求夹角问题， 求长度问题总结归纳向量在解决一系列数学问题中的应用并举例说明使用向 量更加快捷直观地解决一些较复杂的数学问题 . 关键词关键词 向量 平面几何 方法 AbstractAbstract vector occupy an important position in middle school teaching and research, knowledge of how to use vector plane geometry to solve problems using vector to solve some mathematical problems is more important, will greatly simplify the problem-solving steps, enable students to master a proven mathematical tools. First of all, this article reviews some basic properties of vector, then proof from line segments parallel to prove that the vertical issues, angle problems, and the length problem summary application of vector in solving a series of mathematical problems faster, and gives examples of using vector and intuitive solution to some of the more complex mathematical problems. KeywordsKeywords vector, plane geometry, method 宁夏师范学院 2011 届本科毕业生论文（设计） 1 目目 录录 前 言3 1 向量基本性质回顾3 1.1 向量的概念 3 1.2 向量的几何表示 3 1.3 相等向量与共线向量 3 1.4 向量的运算 4 1.5 向量的数量积 5 1.6 平面向量的基本定理 5 2 证明线段平行问题6 3 证明垂直问题7 4 求夹角问题8 5 求线段的长度9 结束语.12 致 谢.13 参考文献.14 前 言 向量作为中学数学的必修内容，在知识体系中占的比例也较大，在中学 平面几何中有着广泛的应用 .向量的加法运算与全等、平行，数量的向量积 与相似，距离、夹角之间有密切的联系 .因此，利用向量可以解决中学平面 几何中的相关问题 . 向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一，利用向量可以解决一 些数学问题，将大大化简解题的步骤， 使学生掌握一些行之有效的数学工 具。本文首先回顾了向量的一些基本性质，接着分别从证明线段平行，证明 线段垂直，求夹角，求长度，不等式及最值问题总结归纳向量在解决一系列 数学问题中的应用， 并举例说明使用向量更加快捷直观地解决一些复杂的数 学问题。 宁夏师范学院 2011 届本科毕业生论文（设计） 2 1 向量基本性质回顾 1.11.1 向量的概念向量的概念、几何表示、相等向量及共线向量、几何表示、相等向量及共线向量 既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方 向的量叫做数量（物理学中叫做标量）. 具有方向的线段叫做有向线段，以 A 为起点，B 为终点的有向线段记作AB （AB 是印刷体，书写体是上面加个）. 有向线段的长度叫做向量的模，记作 |. ABAB 有向线段包含 3 个因素：起点、方向 和长度. 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 两个方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量，向量、平行，记作ab /，零向量与任意向量平行，即/.ab0a 任意一组平行向量都可移到同一直线上，因此平行向量也叫共线向量. 1.2 向量的运算 加法运算: ，这种计算法则叫做 向量加法的三角形法则 .（首尾相ABBCAC 连，指向终点） . 已知两个从同一点 O 出发的两个向量、，以、为邻边作OAOBOAOB 平行四边形 OACB，则以 O 为起点的对角线就是向量、的和，这OCOAOB 种计算法则叫做 向量加法的平行四边形法则 . 对于零向量和任意向量，有：a 0aa0a | abab 向量的加法满足所有的加法运算定律. 减法运算: 与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，()，aaaa 零向量的相反向量仍然是零向量 . 宁夏师范学院 2011 届本科毕业生论文（设计） 3 ()()0aaaa ()abab 数乘运算: 实数 与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a ，|，当 0 时，的方向和的方向相同，当 aaaaa 0 时，的方向和的方向相反，当 = 0 时，= 0.aaa 设 、 是实数，那么： （1）() = ()aa （2）( + ) = + aaa （3）( ) = abab （4）() =() = ().aaa 向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称 线性运算. 1.31.3 向量的数量积向量的数量积 已知两个非零向量、，那么|cos 叫做与的数数量量积积或ababab 内内积积，记作， 是与的夹夹角角，|cos （|cos ）叫做向量b aabab 在方向上（在方向上）的 投投影影.零向量与任意向量的数量积为 0.abba 的的几几何何意意义义 ：数量积等于的长度|与在的方向上的投影b ab aaaba |cos 的乘积.b 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 . 向量的数量积的性质 (1) =| 0a aa 2 (2) =b aa b (3) = b ak b ak bka (4) = + cbab ab a (5) =b a0ab 宁夏师范学院 2011 届本科毕业生论文（设计） 4 1.41.4 平面向量的基本定理平面向量的基本定理 如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向 1 e 2 e 量，有且只有一对实数 、，使= aa 1 e 2 e . 2 向量在平面几何中的应用 2.1 证明线段平行问题 证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件： a a/b ba a=b b().0 1221 yxyx 例 1 如图（1） ，若是平行四边形， 与、与ABCDABEF /AEBFDE 分别相交于和.求证：.CFNM ADMN / 分析：要证明，只要证明（）即可. ADMN /MNAD0 证明 ABEF / NEFNAB 设()EFAB1 则 EN AN 图（1）1 EN AE EN ENAN ENAE1 同理，由于得DCEF /EMDE1 于是 DEAEAD =-EN1EM1 N M E F C B A D A 宁夏师范学院 2011 届本科毕业生论文（设计） 5 =EMEN 1 =MN1 令，则 （） 1MNAD0 2ADMN / 2.2 证明垂直问题 证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：a ab ba ab b=0(或 ).如证明两直线或线段垂直，四边形是矩形、正方形等.0 2121 yyxx 例 2 如图（2）所示，为的外心，为三角形内一点，满足 OABCE .求证：. OCOBOAOEAEBC 分析：要证，即证，选取，将，表 AEBCAE0BC OCOB, AEBC 示出即可. 证明 OAOEAE =（ ）- OCOBOAOA = OCOB OBOCBC OBOCOBOCBCAE = 22 OBOC O 为外心，OBOC 即 ，.0 BCAEAEBC E O B A C A 图 （2） 宁夏师范学院 2011 届本科毕业生论文（设计） 6 2.3 求夹角问题 求夹角问题，往往利用向量的夹角公式： 或结合三角函数的 b ba a b ba a cos 知识.如利用面积公式求三角形的面积，可用夹角公式求的值.Aabssin 2 1 Asin 例 3如图（3）所示，在中，已知，ABCAB 3 64 Bcos 6 6 边上的中线.求的值.ACBD5 Asin 解：以点 B 为坐标原点，为 X 轴正向建 BC 立直角坐标系，且不妨设点 A 位于第一象限. 由=BsinB 2 cos1 2 6 6 1 6 30 则 3 54 , 3 4 sin 3 64 ,cos 3 64 BBBA 设，则，由条件得0 , xBC 3 52 , 6 34x BD ，从而有（舍去）5 3 52 6 34 2 2 x BD 3 14 , 2xx 故，于是有 3 54 , 3 2 BCBACA 14 14 3 9 80 9 4 9 80 9 16 9 80 9 8 cos CABA CABA ACAB ACAB A =Asin 14 70 cos1 2 A Y B D A C X A 图 （3） 宁夏师范学院 2011 届本科毕业生论文（设计） 7 2.4 求线段的长度 求线段的长度或相等，可以利用向量的模. 例 4 如图（4） ，平行四边形 ABCD 中，已知 AD=1，AB=2，对角线 BD=2，求 对角线 AC 的长. 分析：本题是求线段长度的问题，可以转化为向量的模来解决. 解：设，则有， b ba aABAD, b ba a BDb ba a AC 而 22 2b bb ba aa ab ba aBD = 22 2b bb ba aa a =b ba a241 =b ba a 25 ， 即有 b ba a5 52 2 BD12b ba a 又 22 2 2 2b bb ba aa ab ba aAC = 22 2b bb ba aa a =411 =6 即 AC=6 2 AC6AC6 例 5 如图（5） ，平行四边形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，AE 与 BD 交于点 F. 求证.BDFD 3 1 证明 设， BDFD AEFE OEFDEFD OAEDCBD 2 1 F A B C D ED B B A C A 图 （4） A 图 （5） 宁夏师范学院 2011 届本科毕业生论文（设计） 8 有0 2 1 DEADABABAD 故得0 2 1 2 1 ABAD 又与不共线ADAB 0 2 1 2 1 0 3 1 3 1 3 BDFD 3 1 BDFD 3 1 例 6 如图(6)，在中，与ABC3:1:ABAM4:1:ACANBN 交于点，且，用，表示. CMPaAB bAC abAP 解：，3:1:ABAM4:1:ACAN ， aABAM 3 1 3 1 bAN 4 1 因为，三点共线，MPC 故可设RtMCtMP, 于是MCtaMPAMAP 3 1 = abta 3 1 3 1 =bta t 33 1 同理可设,RsNBsNP 故asbsNPANAP 4 1 即 asb s b ta t 44 1 33 1 0 44 1 33 1 b s tas t . 11 2 , 11 3 t s baAP 11 2 11 3 M A A A A P A A A A N A A A A A A A A A C A A A A B B A A A A A 图 （6） 宁夏师范学院 2011 届本科毕业生论文（设计） 9 例题 5 和 6 的解题方法的综合性较强，运用了待定系数法和向量的知识： 一是两向量共线的充要条件是.0,bbaRba, 二是平面向量的基本定理，如果，是同一平面内的两个不共线向量， e1e2 那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使a 21, .特别地，若，则. ee a 2211 0 2211 ee 0 21 结束语 通过以上六个例子可以看到向量在中学的平面几何中有着广泛的应用.用向 量的方法解决平面几何问题可以分为三步： 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何 问题转化为向量问题. 通过向量运算、研究几何元素之间的关系. 把运算结果“翻译”成几何关系. 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因而向量方法是 几何研究的一个有力工具.而“三步曲”给出了利用向量的代数运算研究几何问 题的基本思想.在解决平面几何问题时，将几何问题转化为向量问题是关键 宁夏师范学院 2011 届本科毕业生论文（设计） 10 致 谢 走的最快的总是时间，来不及感叹，大学生活已接近尾生，四年多的努力 与付出，随着本次论文的完成，将要划下完美的句号。 本论文是在冯福存老师的悉心指导和严格要求下完成，从课题选择到具体 的写作过程，论文初稿与定稿无不凝聚着冯福存老师的心血与汗水，在我的毕 业论文的写作过程期间，冯福存老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些 富于创造性的建议，冯老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度使我深深感动， 没有这样的帮助和关怀，我不会这么顺利的完成毕业论