波动光学的数值模拟研究毕业论.doc

宁夏大学物电学院 毕业设计 波动光学的数值模拟研究 毕业设计 学 院:物理电气信息学院 宁夏大学物电学院 毕业设计 摘 要 在波动光学相关理论的基础上，通过编程实现了几种常见的干涉和衍射现象的仿真，将其结果形象、直观地体现出来，对于波动光学的教学和学习具有很好的帮助作用。论文在干涉和衍射理论的基础上，编写了MATLAB程序代码，实现了杨氏干涉、等倾和等厚干涉、夫琅和费衍射和光栅衍射模拟仿真；此外，为方便用户使用，本文设计了对应的图形用户界面（包括设计方案、界面控件的布置和控件后台程序代码的添加），实现了仿真过程中的人机交互。研究结果表明：通过仿真程序的运行，能形象、直观地展现几种干涉和衍射现象；通过图像用户界面的编制，实现了仿真实验项目的选取，实验参数的灵活设置以及结果的显示。本文的特色在于：将干涉和衍射的仿真实验做成一个完整系统，并设计了个性化的图形用户界面。通过仿真实验的图形户用界面，用户实现实验项目的选取，实验参数的灵活设置，实验结果的对比分析。关键词: 波动光学 MATLAB 计算机仿真 宁夏大学物电学院 毕业设计 Abstract Based on the theory of wave optics-related, it realizes the programming of several common phenomena of interference and diffraction of the simulation by applying MATLAB matrix powerful computing and graphics rendering capabilities through coding. The image of the results will be directly reflected, which help a lot on will wave optics teaching and learning. The thesis achieves the realization of the optical film, spherical wave interference, Youngs interference, equal-inclination and equal-thickness interference, Fraunhofer diffraction, Fresnel diffraction and grating diffraction simulation through coding, based on the theory of interference and diffraction. To make the studying easier, it made a graphical user interface (including the design, layout and interface control program code controls the addition of the background), achieving human-computer interaction of the simulation in the process.The results show that: by running the simulation program, it can display several interference and diffraction phenomena conveniently and vividly through the establishment of the graphical user interface, it achieves selection of simulation programs, setting experimental parameters of a simulation at random, as well as the flexible display of the results The characteristics of this paper lie in that: this paper cooperated interference and diffraction simulation experiments into one complete system and designed a personalized MATLAB graphical user interface on MATLAB. Through this platform of the simulation on graphics user interface, users can achieve selection of simulation programs, setting experimental parameters of a simulation randomly, the flexible display of the results as well as the comparative analysis of experimental result.Keywords: wave optics; MATLAB; computer simulation;宁夏大学物电学院 毕业设计目录1. 绪论11.1波动光学的历史11.2波动光学的研究对象21.3光学实验仿真的国内外研究现状21.4光学实验仿真32.光的干涉及实验仿真42.1.光的叠加原理42.2 杨氏干涉及实验仿真62.2.1 双光束干涉62.2.2杨氏干涉72.3薄膜干涉及实验仿真102.3.1薄膜干涉的光程差112.3.2等倾干涉及实验仿真132.3.3 等厚干涉及实验仿真142.4 本章小结173. 光的衍射及实验仿真173.1 光的衍射现象及其分类173.2 夫琅和费衍射及实验仿真183.3 光栅衍射及其仿真实现203.4 本章小结224. 结束语23参考文献24致 谢25宁夏大学物电学院 毕业设计1. 绪论1.1波动光学的历史 波动光学是在电磁波动理论基础上研究光的波动现象的一门学科。人类对于光的认识分为以下几个阶段：17世纪，人们提出了光本性的两种学说，微粒说和波动说。光的微粒说由笛卡尔提出，得到牛顿的支持。微粒说认为光是由一份一份的微粒所组成的。由于牛顿在科学界的威望，多数科学家在17世纪和18世纪倾向于光的微粒学说。19世纪初，英国科学家托马斯杨完成了著名的“杨氏干涉实验”，提出了“光的干涉原理”，动摇了光的微粒说的地位。与托马斯杨同一时期的法国科学家菲涅耳把惠更斯的子波假设和杨氏的干涉原理相结合，提出后人所谓的“惠更斯-菲涅耳原理”。该原理用波动理论圆满的解释了光的直线传播规律，定量的给出了圆孔等衍射图形的强度分布。1817年，托马斯杨明确证明，光波是一种横波（在此之前，惠更斯，菲涅耳等人也有此设想），使一度被牛顿视为波动说障碍之一的偏振现象转化为波动说的一个佐证。至此，波动说的优势已经很明显。 虽然到19世纪中叶时，波动说已被普遍接受，但人们对光波动的认识存在着错误。无论是惠更斯，杨氏还是菲涅耳，都认为光波是一种机械波，伴随着某种实物的机械振动。19世纪后期，光的电磁波理论被英国科学家麦克斯韦提出。麦克斯韦在总结法拉第等人对电磁作用研究的基础上，加入了自己的假设，提出了后人所称的“麦克斯韦电磁方程组”。光的电磁理论是人们对于光的认识的又一次飞跃。光振动不再是某种媒质分子的机械振动，而是电磁场这个物理量的振动。麦克斯韦电磁方程组给出了惠更斯-菲涅耳原理的理论依据，除了极微弱的光波之外，它几乎可以解释光波的一切传播规律，以致波动光学可以以此为出发点，展开全部内容的讨论1。 20世纪初期，物理学发生了一系列的突破和革命，相继出现了相对论，量子力学以及相对论量子力学和量子场论等新理论。随着量子力学的发展，狄拉克把量子力学思想应用于电磁场，通过对电磁场的量子化，逐步形成了量子场论，“自然地”引入了电磁场的量子-光子。这样，电磁场和光也与其它微观粒子相似，具有波粒二象性2。光的波粒二象性是人类对于光本性认识的最近一次飞跃。尽管光的本性的研究已经发展到一个新的高度，但仍有待人类去进一步探索3。1.2波动光学的研究对象 波动光学的研究对象主要分为光的干涉和光的衍射两大类。很多光学现象都是基于干涉或者衍射而发生的。光的干涉及其应用是波动光学的一个重要的研究内容。光的干涉现象在日常生活中随处可见，肥皂水，水面油墨和许多昆虫翅膀上的彩色花纹都是干涉的典型例子。按照波动光学的观点，光的干涉是指两个或多个光波在同一空间的叠加时，若该空间的能量密度分布不同于各个分量波单独存在时的光能量密度之和，则称光波在该空间域发生了干涉，各分量波相互叠加且发生了干涉的空间域称为干涉场。若在三维干涉场中放置一个二维观察屏，屏上就会出现稳定的辐照度分布图形，即为干涉图形或干涉条纹5。光的衍射是波动光学的另一个重要的研究内容。当光在传播途径中遇到障碍物（如小孔或细棒）时，不再遵循直线传播规律，一部分光会“绕”过障碍物，射向阴影区域，使得障碍物的投影边缘模糊，甚至出现亮暗条纹，这种现象称之为衍射。通常将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。 波动光学实验内容比较抽象，如不借助实验，学生很难理解，如光的干涉、菲涅耳衍射、夫琅禾费衍射等。国外著名的光学教材配有大量的图片(包括计算和实验获得的图片)，来形象地说明光学中抽象难懂的理论。波动光学实验一般需要稳定的环境，高精密的仪器，因此在教室里能做的光学实验极为有限，而且也受到授课时间的限制。为了克服实验条件对光学实验要求比较苛刻的缺点，可采用计算机仿真光学实验，特别是光学演示实验，配合理论课的进行，把光学课程涉及的大多数现象展示在学生面前，以加深对光学内容的理解。如利用计算机仿真联合变换相关实验，可以得到清晰的相关峰，而在实验中液晶光阀的分辨率较低，很难得到清晰的相关峰；又如光学菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射，初学者不易理解，如果通过光学仿真实验，可以计算出它们之间的演化规律，清楚地说明二者之间的联系与区别。学生们可以根据对光学原理和规律的理解，自己设置在仿真光学实验中的可控参数，探索和发现光学世界的奥秘，调动学习的积极性6。1.3光学实验仿真的国内外研究现状 在计算机飞速发展的今天,光学实验仿真受到越来越多的科研工作者和教育者的广泛关注。其中主要有两个方面：第一是在科学计算方面，利用仿真实验的结果指导实际实验，减少和避免贵重仪器的损伤：第二是在光学教学方面，将抽象难懂的光学概念和规律，由仿真实验过程直观的描述，让学生饶有兴趣的掌握知识。 在科学计算方面，外国的光学实验仿真是在模拟设计和优化光学系统的过程中发展起来的。在这方面，美国走在最前面，其中最具代表性的是劳伦斯利弗莫尔实验室光传输模拟计算软件Prop92及大型总体优化设计软件CHAINOP和PROPSUITE.其中软件Prop92是采用Fortran语言编写，最大采样点数为512*512。这些软件在大型激光器NOVA的设计制造中发挥了重要的作用。另外在法国也开发完成其具有自身特点的光传输软件Miro4，该软件采用C+编写，可以运行于多个平台。俄罗斯普通物理实验室在上世纪90年代初推出光传输软件Frenne12.05，经过几年的发展，目前已经推出Frenne14.0版本。该软件是一套成熟的商业化光传输软件，在处理光传输的数值模拟算法上有独到之处，主要体现在其快速傅里叶变换的计算效率很高；软件采用特殊方法能够处理小于计算分辨率的灰尘点的衍射过程以及截止频率小于计算网格分辨最小频率的滤波过程等。1.4光学实验仿真 对光学实验进行计算机仿真，具有两个方面的意义：一方面，利用仿真结果指导实际实验，前期投资少，且可以减少贵重仪器的损伤等；另一方面，在教学上，将抽象难懂的概念、规律通过实验仿真生动、形象地表现出来，使学生更易于接受，具有明显的教学效果7。 在计算机日益普及的今天，计算机仿真技术作为虚拟实验手段己经成为计算机应用的一个重要分支。它是继理论分析和物理实验之后，认识客观世界规律性的一种新型手段。 计算机仿真过程是以仿真程序的运行来实现的。仿真程序运行时，首先要对描述系统特性的模型设置一定的参数值，并让模型中的某些变量在指定的范围内变化，通过计算可以求得这种变量在不断变化的过程中，系统运动的具体情况及结果。仿真程序在运行过程中具有以下多种功能：（1）计算机可以显示出系统运动时的整个过程和在这个过程中所产生的各种现象和状态。具有观测方便，过程可控制等优点。（2）可减少系统外界条件对实验本身的限制，方便地设置不同的系统参数，便于研究和发现系统运动的特性。（3）借助计算机的高速运算能力，可以反复改变输入的实验条件、系统参数，大大提高实验效率。 因此，计算机仿真具有良好的可控制性(参数可根据需要调整)、无破坏性(不会因为设计上的不合理导致器件的损坏或事故的发生)、可复现性(排除多种随机因素的影响，如温度、湿度等)、易观察性(能够观察某些在实际实验当中无法或者难以观察的现象和难以实现的测量，捕捉稍纵即逝的物理现象，可以记录物理过程的每一个细节)和经济性(不需要贵重的仪器设备)等特点。2.光的干涉及实验仿真干涉现象是波动光学中的一个重要研究内容。本章首先从光波的叠加原理入手，分别从、杨氏干涉的实验仿真以及等倾和等厚干涉的实验仿真四个仿真实验中来说明如何利用MATLAB解决光的干涉实验仿真过程中的一些具体问题。2.1.光的叠加原理生活经验告诉我们，当从光源A和光源B发出的两列光波在空间区域传播时，它们之间互不干扰，每列波如何传播，都按各自的规律独立进行，完全不受另一列波存在的影响。这就是波的独立传播原理。一列波在空间传播时，在空间的每一点引起振动。当两列（或多列）波在同一个空间传播时，空间各点都参与每列波在该点引起的振动。如果波的独立传播定律成立，则当两列（或多列）波同时存在时，在它们的交叠区域内每点的振动是各列波单独在该点产生的振动的合成，这就是波的叠加原理。这里所说的振动，对光波来说，是某考察点处电矢量和磁矢量振幅的瞬时值。所以波的叠加就是空间每点振动的合成问题。波的叠加原理与独立传播定律一样，适用范围都是有条件的，这条件一是媒质，二是波的强度。光在真空中总是独立传播的，从而服从叠加原理。但在某些媒质中，如在变色玻璃种，或在普通媒质中光强度非常大时，都会出现违背叠加原理的现象。波在其中服从叠加原理的媒质，称为“线性媒质”，不服从叠加原理的媒质，称为“非线性媒质”。违反叠加原理的效应，称为“非线性效应”。许多媒质的非线性效应只在强光作用下菜明显，在研究光的干涉实验仿真时用的光都是弱光，因此在光的干涉实验仿真中，我们假定光波服从叠加原理8。一般情况下，当两列（或多列）光波在空间相遇时，总会发生光波的叠加现象；当参与叠加的各个分量波的传播方向，振动方向或时间频率关系不同时，叠加的结果也不一样。波的叠加原理并不意味着两列波叠加时强度一定相加，但可以由它导出强度的合成规律。两列光波和在空间某点P处相遇，如图1所示：图2-1 两列光波在空间的叠加假设两列光波方程为 （2-1） （2-2） 按叠加原理，P点的光振动为 （2-3)则P点的光强为 （2-4） 式中，和分别是两列光波单独在P点处的强度；为两列光束振动方向间夹角；为两列光束间的相位差。式（2-4）表明，两列光波叠加时，在一般情况下，强度不能直接相加，相差有一项。与观察点P位置有关，可正可负。时，；时，。换言之，波的叠加引起了强度的重新分布。这种因波的叠加而引起的强度重新分布的现象，叫做波的干涉。产生波的干涉的必要条件（相干条件）是：（1）频率相同；（2）振动方向平行；（3）有恒定的相位差。本文所讨论的干涉实验仿真是根据波的叠加原理，计算满足条件的各种光波方程，让它们在观察平面进行线性叠加，然后计算干涉面的光场强度，并在仿真界面中显示这些光强图形。2.2 杨氏干涉及实验仿真2.2.1 双光束干涉 将同一光源的波前划分为两个(或多个)部分作为相干光源的方法称为分波前干涉。最著名的例子是杨氏实验。杨氏干涉实验是两点光源干涉实验的典型代表。杨氏干涉实验以极简单的装置和巧妙构思实现了普通光源干涉。无论从经典光学还是从现代光学的角度来看，杨氏实验都具有十分重要的意义。 图2-2 光的干涉如图2-2所示,两列相干光在干涉点p叠加后的光的振幅依然可表示为 (2-5)其中、和分别为两束相干光在p点产生的振幅和叠加后光的振幅，为两束相干光在p点的相位差。在光学中，我们对光的强弱往往不是用振幅，而是用光强来描述。把(2-5)式平方有 (2-6)光强是正比于光振幅的平方即，于是我们得到两束相干光叠加后的光强和原来两束光强度的关系 (2-7)显然叠加后的光强不等于原来两束光强度之和，我们把这一项称为干涉项。干涉项的存在并不意味着能量守恒定律在光的干涉中失效，在干涉存在的空间，干涉项在某些地方可能为正，此时光比原来增强了，在另一些地方可能为负，此时光减弱了，在整体上能量总是守恒的。通过对上面公式的分析，我们能够立即得到光干涉后强度增强和减弱的极值条件。若相位差 () (2-8)即光程差为 (2-9)时，合成光强达到极大 (2-10)此时称为两个相干光是干涉相长的。若 (2-11)即 (2-12)合成光强为极小 (2-13)此时称为两个相干光是干涉相消的。把上述结论统一记作 (2-14)称为光干涉的极值条件，对所有的双光束干涉都适用，但不同的干涉实验的并不相同。在光学实验中两束相干光的强度常常是相同的即，此时干涉光强为 (2-15)当光程差时，光强为，为干涉相长；当光程差时，光强为，为干涉相消。2.2.2杨氏干涉 在传统的杨氏双缝实验中，用单色平行光照射一窄缝，窄缝相当于一个线光源。后放有与平行且对称的两平行的狭缝和，两缝之间的距离很小（0.1毫米数量级）。两窄缝处在发出光波的同一波阵面上，构成一对初相相同的等强度的相干光源。它们发出的相干光在屏后面的空间叠加相干。在双缝的后面放一个观察屏，可以在屏幕上观察到明暗相间的对称的干涉条纹。这些条纹都与狭缝平行，条纹间的距离相等。在现在的物理实验中，通常是直接把激光束投射到双缝上，即可在屏上观察到干涉条纹9。图2-4 杨氏双缝干涉一、光程差的计算如2-4图所示，设双缝与之间的距离为，双缝到屏的距离为，在屏上以屏中心为原点，垂直于条纹方向设立轴，用以表示干涉点的位置。设屏上坐标为处的干涉点到两缝的距离分别为和，从和发出的两列相干光到达点的光程差应为，当装置处在空气中时，故在通常的情况下距离的大小是米的数量级，条纹分布范围的大小为毫米数量级，即，故干涉点的角位置很小，。上图中所在的小三角形可近似为直角三角形，所以 (2-16) 图2-5 干涉条纹计算用图二、干涉明纹中心位置若实验所用的单色光的波长为。根据上面的讨论，干涉相长的条件是：当光程差 (2-17)即位置为 (2-18)处是干涉相长的，即出现明条纹中心。式中整数称为干涉级数，用以区别不同的条纹，在上图中，为正整数代表上半平面，为负代表下半平面。三、干涉暗纹中心位置当光程差 (2-19)即位置为 (2-20)处是干涉相消的，即出现暗条纹中心。以上两式就是双缝干涉条纹的公式。四、杨氏干涉的仿真 由杨氏干涉实验原理图，并根据双缝干涉的光路图，其变量可表示为，屏距D=1(m)、缝宽d=1(cm)、波长Lambda=500(nm)，程序如下所示：D=1;d=1/100;Lambda=500/1000000000;ymax=2*Lambda*D/d;ny=101;y=linspace(-ymax,ymax,ny);x=y;for i=1:nyfor j=1:ny l1=sqrt(y(i)-d/2)2+0*x(j)+D2); l2=sqrt(y(i)+d/2)2+0*x(j)+D2);phi=2*pi*(l2-l1)/Lambda; I(i,j)=4*cos(phi/2)2;end endfigure(1);plot(y,I(:,1);axis(-ymax,ymax,0,4);title(单色光强度曲线);xlabel(x);ylabel(强度);nclevels=255;br=I.*255/max(max(I);figure(2);image(x,y,br);xlabel(x(m);ylabel(y(m);title(单色光二维干涉条纹);运行上述程序，结果显示如图2-6到图2-7。 图2-6 杨氏干涉强度曲线图 图2-7 杨氏干涉图样 从图2-6到图2-7可知，单色光双缝干涉的干涉图形是一组几乎是平行的直线条纹，且两相邻明条纹间间距相等，可由公式计算出，该公式是杨氏干涉条纹间距公式。通过观察图中相邻条纹间距，可知观察值与公式计算出的结果完全一致，故仿真结果正确。2.3薄膜干涉及实验仿真 利用普通光源获得相干光束的方法可分为两大类：一类是分波阵面法；另一类是分振幅法。杨氏干涉是一种典型的分波阵面干涉，所谓分波阵面干涉，是由同一波面分出两部分或多部分，然后再使这些部分的子波叠加产生的干涉。所谓分振幅干涉，是来自统一光源的光波精薄膜的上表面和下表面反射，将光波的振幅分成两部分或多部分，再将这些波束叠加产生干涉。等倾和等厚干涉就属于分振幅干涉。分振幅法产生干涉的实验装置因其既可以使用扩展光源，又可以获得清晰地干涉条纹，因而成为众多的重要干涉仪和干涉技术的基础。但也正是由于采用了扩展光源，其干涉条纹变成定域的。产生分振幅干涉的平板可理解为受两个表面限制而成的一层透明物质：最常见的情形就是玻璃平板和夹于两块玻璃板间的空气薄层。当两个表面是平面且相互平行时，称为平行平板；当两个表面相互成一楔角时，称为楔形平板。对应这两类平板，分振幅干涉分为两类：一类是等倾干涉，一类是等厚干涉10。2.3.1薄膜干涉的光程差 如图2-8所示为光照射到薄膜上反射光干涉的情况。设入射位置处薄膜的折射率为、厚度为，膜的上、下方的介质的折射率分别为和。一束波长为的单色光以入射角照到薄膜上，在入射点分为两束，一束是反射光，另一束折射进入膜内，在点反射后到达点，再折射回膜的上方形成光，、两束光将在膜的反射方向产生干涉（后称为反射光干涉）。至于那些在膜内经三次、五次反射再折回膜上方的光线，由于强度迅速下降等原因，可以不必考虑。由于、两束光线是平行的，所以只能在无穷远处相交而发生干涉，在实验室中可用透镜将它们会聚在焦平面处的屏上进行观察。而透射光、相遇时也会发生干涉，通常称为透射光干涉。 由于一旦光程差确定了，带入光干涉的极值条件就可以定量地讨论干涉的光强分布规律了。所以，下面我们来讨论薄膜干涉的光程差计算。我们先以反射光干涉为例来讨论这个问题。如上图所示，、两束光在焦平面上点相遇时的光程差为 (2-21)式中附加光程差的讨论是非常有意义的，在实际计算中也是非常重要的。是这样确定的：光只发生了一次反射，是在上表面即由介质入射到薄膜 图2-8 薄膜的干涉 表面的反射，如有半波损失；光也有一次反射，是在下表面即由薄膜入射到介质表面的反射，没有半波损失；故总共只有一个半波损失，即。若都有半波损失或都没有半波损失，则。 更一般地讲，薄膜干涉可能涉及到三种不同的介质、和，从介质的折射率大小的排列来看，有两种可能的方式。一种是按或的顺序排列，即薄膜的折射率大于或小于它两面介质的折射率。此时对反射光干涉，而对透射光干涉。另一种是或的排列顺序，即薄膜折射率的大小，在它两面的介质折射率的大小之间。例如水面上的油膜，镜头上的保护膜都属于这种情况。这时对反射光干涉附加光程差为，而对透射光干涉。将几何关系，代入上式，得到 (2-22)按照折射定律，有 (2-23)或 (2-24)可以看出，光程差的公式包括两项，第一项是在介质中产生的光程差，第二项是在表面反射时的半波损失所产生的附加光程差。2.3.2等倾干涉及实验仿真一、等倾干涉产生明暗条纹的条件取决于，两条光线的光程差。 (2-25)因为 代入上式可以得到光程差 (2-26) 当 (2-27)二、等倾干涉的实验仿真 等倾干涉干涉图样与平行平板厚度，平板折射率以及入射角有关。为简便计算，我们假设光波为垂直入射平行平板。设光波波长500nm，薄膜厚度系数2000，透镜到接收屏距离为0.2m，等倾干涉二维光强分布程序如下：k=2000;s=500;D=0.2;bochang=s*10(-9);theta=0.15;d=k*bochang/4;rMax=D*tan(theta/2);N=501;for i=1:Nx(i)=(i-1)*2*rMax/(N-1)-rMax;for j=1:Ny(j)=(j-1)*2*rMax/(N-1)-rMax;r(I,j)=sqrt(x(i)2+y(j)2);delta(I,j)=2*d/sqrt(1+r(I,j)2/D2);Phi(I,j)=2*pi*delta(I,j)/bochang;B(I,j)=4*cos(Phi(I,j)/2)2;endendNCLevels=255;Br=(B/4.0)*NCLevels;figure(1);image(x,y,Br);colormap(gray(NCLevels);运行上述程序，得到结果如图2-9。 图2-9 等倾干涉强度分布图 由图2-9可知，等倾干涉干涉条纹是由一组内疏外密的同心圆环组成的。其干涉图样与球面波干涉光源垂直观察屏的干涉图样很相似。由理论可知，平行平板厚度增加时，干涉条纹变得密集；离干涉中心越远，条纹越密集。实际仿真中，增加薄膜厚度系数，可以看到条纹变密集，与理论一致。2.3.3 等厚干涉及实验仿真一、劈尖的形成如2-10图所示，用两个透明介质片就可以形成一个劈尖。若两个透明介质片是放置在空气之中，它们之间的空气就形成一个空气劈尖。若放置在某透明液体之中，就形成一个液体劈尖。用透明的介质做成的这种夹角很小的劈形薄膜上形成的干涉叫劈尖干涉，它是一种等厚干涉。图2-10 劈尖薄膜干涉的光路假设劈尖放在空气中，用单色平行光垂直照射到劈尖上，在劈尖上、下表面的反射光将相互干涉，形成干涉条纹。一般在实验中我们采用的是光线准垂直入射。由于劈尖的夹角很小，劈尖的上下两个面上的反射光都可视为与劈尖垂直，如右图所示。设某一点处薄膜的厚度为，由于介质的折射率满足的条件，两束反射光的光程差按其计算公式为 (2-28)二、劈尖干涉的明暗条纹对应的厚度由于各处薄膜的厚度不同，光程差也不同，因而产生明暗相间的干涉条纹。明纹条件为 (2-29)明纹所在处的厚度为 (2-30)暗纹条件为 (2-31)暗纹所在处的厚度为 (2-32)这里是干涉条纹的级次，的零级条纹这里应为暗纹，出现在处即棱边处。设波长为500nm，楔形角大小为0.00001rad，实现干涉图样程序如下：a=500;b=1;c=200;d=0.02;Lambda=a*(1e-9);theta=b*(1e-6);x=0.01;Ni=c;ds=linspace(0,d,Ni);for k=1:Ni y(k)=ds(k)/sin(theta); Delta=2*ds(k)+Lambda/2; Phi=2*pi*Delta/Lambda; B(k,:)=4*cos(Phi/2).2;endfigure(gcf);NCLevels=250;Br=(B/4.0)*NCLevels;subplot(1,2,1);cla;image(x,y,Br);colormap(gray(NCLevels);title(二维强度分布);subplot(1,2,2);plot(B(:),y);ylim(0,2*(104);colormap(gray(NCLevels);title(强度曲线分布);运行上述程序，得到如图2-11。 2-11 等厚干涉强度分布图 从图2-11和可知，等厚干涉条纹分布为等间距的明暗相间条纹，且条纹与棱边平行。当改变楔角大小，光波波长，以及楔形板厚度时，可观察到条纹宽度发生变化，并且可看出，变化与理论完全一致。2.4 本章小结 本章从光波的叠加原理入手，并引入了波的独立传播规律，用叠加原理来处理光波干涉。运用此方法，我们实现了光学拍实验仿真，球面波干涉仿真，杨氏干涉仿真，等倾和等厚干涉仿真。从运行结果上看，得到的干涉图样与理论计算得出的结论一致，这也证明了用计算机编程的方法对光波干涉进行仿真的可行性。3. 光的衍射及实验仿真除干涉现象外，波动的另一种重要特征是衍射现象。根据标量衍射理论，衍射过程可以用菲涅耳衍射积分描述。然而，进场条件下的菲涅耳衍射积分式相当复杂，特别是用于具有复杂结构的衍射屏几乎不可能获取其解析解。同时，由于实验条件和其它因素的限制，实验上也往往难以方便地观察。计算机仿真以其良好的可控性，无破坏性，易观查及低成本等优点，为数字化模拟现代光学实验提供了一种极好的手段。3.1 光的衍射现象及其分类衍射是光波在空间传播过程中的一种基本属性。实际上，在光波的传播过程中，只要光波波面受到某种限制，如振幅或相位的突变等，就必然伴随着衍射现象的发生。任何光波在光学系统中的传播过程，实际上都是一种在相应光学元件调制下的衍射过程。研究各种形状的衍射屏在不同实验条件下的衍射特性，无论对于经典的波动光学还是现代光学都具有重要意义。 图3-1 光的衍射原理图如图3-1所示，平面物体的衍射规律可用菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式来表示，观察平面的复振幅分布为： （3-1） 式中， （3-2）是衍射孔径平面上某点Q与观察场点上某点P之间的距离。为倾斜因子，在满足傍轴条件下约等于1，是光波波数。式（3-2）取不同的近似，可得到两种不同的衍射现象，即菲涅耳衍射和夫琅和费衍射。当衍射屏相距光源及观察平面两者或两者之一为有限远时，即当点P与子波源点Q同时满足傍轴条件，和，时，由式（3-1）表示的复振幅分布为 （3-3）由此衍射积分得到的光场复振幅分布称为菲涅耳衍射。菲涅耳衍射图样的特点是，随着距离d增大，观察平面光场的函数分布会发生变化，如轴上观察点沿光束传播方向是亮暗交替变化的。当衍射屏相距光源及观察平面两者均为无限远时，即当观察屏上点P与子波源点Q同时满足远场条件时，由式（3-1）表示的复振幅分布为 （3-4）由此衍射积分得到的光场复振幅分布成为夫琅和费衍射。夫琅和费衍射图样的特点是，强度分布单纯与方向有关，当变化时，仅产生尺度变化。实际上夫琅和费衍射是菲涅耳衍射的一种特殊情况11。3.2 夫琅和费衍射及实验仿真 观察光衍射的装置，通常由三个部分组成：光源、衍射物（缝或孔等障碍物）、观察屏。按三者相对位置的不同，可以把衍射分为两大类。一类是菲涅尔衍射，在菲涅尔衍射中，光源到障碍物，或障碍物到屏的距离为有限远，这类衍射的数学处理比较复杂。另一类是夫朗和费衍射，此时光源到障碍物，以及障碍物到屏的距离都是无限远。这时入射光和衍射光均可视为平行光。在实验室中，常需用凸透镜来实现夫朗和费衍射。一、圆孔夫琅禾费衍射如果在观察单缝夫朗和费衍射的实验装置中，用小圆孔代替狭缝，当单色平行光垂直照射到圆孔时，在位于透镜焦平面所在的屏幕上，将出现环形衍射斑，中央是一个较亮的圆斑，它集中了全部衍射光强的84%，称为中央亮斑或爱里斑，外围是一组同心的暗环和明环，且强度随级次增大而迅速下降，如下图所示。 图3-2 圆孔衍射和爱里斑根据惠更斯菲涅耳原理，同样可以用半波带法计算出各级衍射条纹的分布。由于几何形状不同，圆孔衍射条纹分布的讨论与单缝衍射有差异。通过计算可以得到（证明从略）第一级暗环的衍射角满足 (3-5)式中为圆孔的直径。衍射角即为爱里斑的角半径，在透镜焦距较大时，此角很小，故 (3-6)由此可知，中央爱里斑的半径为 (3-7)二、圆孔夫琅禾费的实验仿真 现假设透镜焦距和光波长分别为1000mm和500nm，矩形孔径的长宽均设为1mm，参数半径r=64，则圆孔夫琅和费衍射仿真程序编写如下：A=zeros(resolution,resolution); %定义A为一个6464的零矩阵for i=1:1:resolutionfor j=1:1:resolution %设置两个嵌套的循环语句来遍历整个矩阵if (i-center)2+(j-center)2(r*10)2%判断该点是否位于圆孔中A(j,i)=255; %是则将其赋值255endendend运行程序，得到结果如图3-3所示。 图3-3 圆孔夫琅和费衍射可以看到，圆孔夫琅和费衍射衍射图样是一组明暗相间的圆环条纹，且圆环条纹中心为衍射光强的主极大值，与理论研究一致，同样达到了仿真效果。3.3 光栅衍射及其仿真实现一、光栅衍射如图3-4所示为光栅衍射的示意图。当一束平行光垂直入射到光栅上时，各缝将发出各自的单缝衍射光，沿方向的衍射光通过透镜会聚到在焦平面的观察屏上的同一点。称为衍射角，也是点对透镜中心的角位置。这些衍射光在点实现多光束干涉(每个缝都在此处有衍射光)。所以光栅衍射的结果应该是单缝衍射和多缝干涉的总效果。下面我们先讨论多缝干涉效果，单缝衍射的效果在稍后再讨论。我们先考虑两个相邻的缝发出的衍射光之间的关系。从上图中容易看出，相邻两缝的衍射光在点光程差为 (3-8)显然，当邻缝光程差 (3-9)相邻两缝发出的衍射光在点同相，干涉相长。由于所有的缝都彼此平行等间距排列，类推可知，此时所有缝的衍射光在点也都