2019重庆邮电大学矩阵分析试题及答案.doc

第一套试题一（10分）、设是数域F上的线性空间的线性变换，分别为的三个互不相同的特征值，的特征向量。（1）证明：，是线性无关的；（2）证明：+不是的特征向量。二（10分）、求矩阵的Smith标准形。三（10分）、求矩阵 的Jordan标准形. 四（12分）、设有正规矩阵，试求酉矩阵，使为对角阵。 五（10分）、设。验证： 六（12分）、验证矩阵为正规矩阵，并求的谱分解。七（14分）、设。计算（1）的谱半径；（2），；（3）设，证明：，其中是的任何一种范数。八（12分）、讨论下列矩阵幂级数的敛散性。（1）， （2）九（10分）、在以下题目中任选一个。（1） 设有Hermite矩阵试证：是正定的充要条件，是存在可逆矩阵使（2） 试证：矩阵相似于矩阵，其中为非零常数, 为任意常数.（3） 设为一个阶矩阵且满足，证明：相似于一个对角矩阵。第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设+=0， 用作用式两端，有+=0 -，有 再用作用式两端，有 -，有。由于互不相等，因此，将其代入，有，利用，有。故，是线性无关的。（2）用反证法。假设+是的属于特征值的特征向量，于是有即由于，线性无关，因此，这与互不相等矛盾。所以，+不是的特征向量。二（10分）、解:三（10分）、解: ， 。四（12分）、解：令解齐次方程组解齐次方程组解齐次方程组五（10分）、解：； 又，； 显然六（12分）、解：由于，所以是正规矩阵。由 得的特征值为 。属于特征值的正交单位特征向量为 ；属于的单位特征向量为。因此 的正交投影矩阵为 ； 所以的谱分解为 七（14分）、解：的特征多项式为，则特征值为，。（1）的谱半径为。（2）容易计算的1范数为；的范数为；因为，则的特征多项式为，所以的特征为，故的2范数为。 （3）证明：设的特征值是，对应的特征向量为，则，。两边取范数，得，从范数的相容性，得，因为，则，这样。由于上式对任意的特征值都成立，故 。 八（12分）、讨论下列矩阵幂级数的敛散性。解：（1）设，则的特征值为， 从而的谱半径为。因为幂级数的收敛半径为， 则，从而是发散的。 （2），则的特征值为，从而的谱半径为。因为幂级数的收敛半径为， 则，故是绝对收敛的。 九（10分）、在以下题目中任选一个。（4） 证：必要性：充分性：因为是Hermite矩阵，所以是正规矩阵，因此存在酉矩阵使又正定，所以都大于0；因此则（2）证: , , 显然 的行列式因子为:， 的行列式因子为:， 于是 与具有相同的行列式因子, 从而 （3）证：设是的任意一个特征值，是的属于特征值的特征向量，即，那么由，可得，于是的特征值为2和3. 注意到,所以.另一方面，所以，。设，则。于是的基础解系有个解向量，即有个线性无关的特征向量。再看的基础解系有个解向量，即有个线性无关的特征向量。由于不同特征值的特征向量线性无关，因此有个线性无关的特征向量，于是可对角化。整理范文，仅供参考欢迎您下载我们的文档资料可以编辑修改使用致力于合同简历、论文写作、PPT设