线性空间与线性变换.ppt

前言前言 一、课程介绍一、课程介绍 研究内容：研究内容： w w 矩阵与线性空间和线性变换矩阵与线性空间和线性变换 以矩阵为工具研究问题以矩阵为工具研究问题 在其中发展矩阵理论在其中发展矩阵理论 w w 矩阵在各种意义下的化简与分解矩阵在各种意义下的化简与分解 w w 矩阵的分析理论矩阵的分析理论 w w 各类矩阵的性质研究各类矩阵的性质研究 矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应 用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。 第第1 1章：线性空间与内积空间章：线性空间与内积空间 内容内容： w w 线性空间的一般概念线性空间的一般概念 重点：空间结构和其中的数量关系重点：空间结构和其中的数量关系 w w 内积空间内积空间 重点：内积性质及其应用重点：内积性质及其应用 特点特点： w w 研究代数结构研究代数结构具有线性运算的集合。具有线性运算的集合。 w w 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系 。 w w 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 w w 学习特点：具有抽象性和一般性。学习特点：具有抽象性和一般性。 1.1 1.1 线性空间线性空间 一、线性空间的概念一、线性空间的概念 几何空间和几何空间和 n n 维向量空间的回顾维向量空间的回顾 推广思想：推广思想： w w 抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。合上定义具有线性运算的代数结构。 定义定义1.11.1（P P . .1 1） w w 要点：要点： 集合集合V V 与数域与数域P P 向量的加法和数乘向量运算向量的加法和数乘向量运算 运算的性质刻画运算的性质刻画 常见的线性空间常见的线性空间 P P n n =X=X=（ x x1 1 ， x x2 2 ， x xn n ） T T ： x x P P 运算运算：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量 P P m m n n = A= A=a a ij ij mm n n： ：a a ij ij PP； 运算运算：矩阵的加法和数乘矩阵：矩阵的加法和数乘矩阵 w w R R m m n n ；C C m m n n 。 P P n n x=p(x)= x=p(x)= ：a a i i RR 运算运算：多项式的加法和数乘：多项式的加法和数乘 CCa a，b b=P=P（x x）：）：P P（x x）在在 a a，b b 上连续上连续 运算运算：函数的加法和数乘：函数的加法和数乘 eg5eg5： V=R V=R + + ，P=RP=R， a a b b= =abab， a=aa=a P=RP=R或或C C 线性空间的一般性的观点：线性空间的一般性的观点： 线性空间的一般形式：线性空间的一般形式： w w V V（P P），），元素被统称为向量：元素被统称为向量： ， ， ， 线性空间的简单性质（共性）：线性空间的简单性质（共性）： 定理定理1 1 . . 1 1：V V（P P）具有性质：具有性质： （1 1） V V（P P）中的零元素是惟一的。中的零元素是惟一的。 （2 2） V V（P P）中任何元素的负元素是惟一的中任何元素的负元素是惟一的 。 （3 3）数零和零元素的性质：）数零和零元素的性质： 0 0 =0=0，k0=0k0=0，k k =0 =0 =0=0 或或k=k=0 0 （4 4） = = （ 1 1） 数数0 0 向量向量0 0 二、线性空间的基和维数二、线性空间的基和维数 向量的线性相关与线性无关：向量的线性相关与线性无关： w w 定义形式和向量空间定义形式和向量空间R R n n 中的定义一样。中的定义一样。 w w 有关性质与定理和有关性质与定理和R R n n 中的结果一样。中的结果一样。 例题例题1 1 证明证明C0C0，11空间中的向量组空间中的向量组 e e x x ，e e2x 2x， ，e e3x 3x ，e enx nx ， ，x x 00，11 线性无关。线性无关。 基与维数的概念：基与维数的概念：P.3P.3，定义定义1 1.1.5.1.5 常见线性空间的基与维数：常见线性空间的基与维数： w wP Pn n ，自然基自然基 e e 1 1 ，e e 2 2 ，,e,e n n ，dimdim P P n n =n =n w wR R mm n n ，自然基自然基 E E ij ij ，dimdim R Rm m n n = =mm n n。 w wP Pn n x x ，自然基 自然基11，x x，x x 2 2 ，x x 3 3 ,x ,x n-1 n-1 ， ，dimdimP P n n x x =n=n w w CaCa，bb， 11，x x，x x 2 2 ，x x 3 3 x x n-1 n-1 Ca,bCa,b， dim dim CaCa，b= b= 约定：约定： w w V V n n （P P）表示数域表示数域P P上的上的 n n 维线性空间。维线性空间。 w w 只研究有限维线性空间。只研究有限维线性空间。 三、坐标三、坐标 1 1 定义定义 1 1 .3 .3 （P . 3)P . 3)设设 1 1 ， 2 2 ， n n 是空间 是空间 的一组基，的一组基， ， = = ，则，则x x 1 1 ， x x2 2 ， ， x x n n 是是 在基在基 i i 下的坐标。下的坐标。 例例1 1：求求 R R2 2 2 2中向量中向量 在基在基 E E ij ij 下的坐标。下的坐标。 要点：要点： 坐标与基有关坐标与基有关 坐标的表达形式坐标的表达形式 例例2 2 设空间设空间P P 4 4 xx的两组基为：的两组基为： 11，x x，x x 2 2 ，x x 3 3 和和 11，（，（ x x - 1- 1） 1 1 ，（，（ x - 1 x - 1） 2 2 ，（，（ x - 1 x - 1） 3 3 求求P P（x x）=2+3x+4x=2+3x+4x 2 2 +x +x 3 3 在这两组基下的坐在这两组基下的坐 标标。 归纳归纳： 任何线性空间任何线性空间V V n n PP在任意一组基下的坐标属于在任意一组基下的坐标属于P P n n 。 每一个常用的线性空间都有一组每一个常用的线性空间都有一组“ “自然基自然基” ”，在这组，在这组 基下，向量的坐标容易求得。基下，向量的坐标容易求得。 求坐标方法的各异性。求坐标方法的各异性。 2 2 、 线性空间线性空间V V n n （P P）与与P P n n 的同构的同构 坐标关系坐标关系 V V n n （P P） P P n n 基基 1 1， ， 2 2，。，。 n n 由此建立一个一一对应关系由此建立一个一一对应关系 V V n n （P P），）， X X P P n n ， （ ）=X=X w w （ 1 1 + + 2 2 ）= = （ 1 1 ）+ + （ 2 2 ） w w （k k ）=k=k （ ） 在关系在关系 下，线性空间下，线性空间V V n n （P P）和和P P n n 同构同构 。 同构的性质同构的性质 定理定理1.31.3:V V n n （P P）中向量中向量 1 1， ， 2 2 ， n n 线性相关线性相关它们的坐标它们的坐标 X X 1 1 , , X X2 2 , , , ,X X n n 在在P P n n 中线性相关。中线性相关。 同构保持线性关系不变。同构保持线性关系不变。 应用应用： 借助于空间借助于空间P P n n 中已经有的结论和方法中已经有的结论和方法 研究一般线性空间的线性关系。研究一般线性空间的线性关系。 例题例题2 2 设设R R2 2 2 2中向量组中向量组 A A i i 1 讨论讨论 A A i i 的线性相关性的线性相关性. . 2 2求向量组的秩和极大线性无关组求向量组的秩和极大线性无关组. . 3 3把其余的向量表示成极大线性无关组的把其余的向量表示成极大线性无关组的 线性组合线性组合. . 四、基变换和坐标变换四、基变换和坐标变换 讨论：讨论： w w 不同的基之间的关系不同的基之间的关系 w w 同一个向量在不同基下坐标之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系 基变换公式基变换公式 设空间中有两组基：设空间中有两组基： 过渡矩阵过渡矩阵C C的性质：的性质： C C为非奇异矩阵为非奇异矩阵 C C的第的第i i列是列是 i i 在基在基 i i 下的坐标下的坐标 则则 1，2，, n ， 2 2 坐标变换公式坐标变换公式 已知已知 空间中两组基：空间中两组基： 满足满足: : : ;: ; 讨论讨论X X和和Y Y的关系的关系 X=CYX=CY 1 2 3 过过 渡渡 矩矩 阵阵 1，2, n 例题例题4 4 已知空间已知空间R R中两组基中两组基（I I） E E ij ij （IIII）；）； 求从基（求从基（I I）到基（到基（IIII）的过渡矩阵的过渡矩阵C C。 求向量求向量 在基（在基（IIII）的坐标的坐标Y Y。 1.11.1 五、五、 子空间子空间 概述：概述：线性空间线性空间V V n n （P P）中，向量集合中，向量集合V V可可 以有集合的运算和关系：以有集合的运算和关系： WW i i V V， W W 1 1 WW 2 2 ， W W 1 1 WW 2 2 ， 问题：问题： 这些关系或运算的结果是否仍然为这些关系或运算的结果是否仍然为 线性空间线性空间 ？ 1 1、 子空间的概念子空间的概念 定义：定义： 设集合设集合WW V V n n （P P），），WW ，如果如果 WW中的元素关于中的元素关于V V n n （P P）中的线性运算为线中的线性运算为线 性空间，则称性空间，则称WW是是V V n n （P P）的子空间的子空间。 判别方法：判别方法：定理定理1515 WW是子空间是子空间 WW对对V V n n （P P）的线性运算封的线性运算封 闭闭。 w w 子空间本身就是线性空间。子空间本身就是线性空间。 w w 子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方 法法 重要的子空间：重要的子空间： 设向量组设向量组 1 1 ， 2 2 ， m m V V n n （P P） ，由它们的一切线性组合生成的子空间：由它们的一切线性组合生成的子空间： LL 1 1 , , 2 2 , m m = = 矩阵矩阵A A P P mn mn， ，两个子空间：两个子空间： A A的零空间：的零空间：N N（ A A ）= =X X: :AX=0AX=0 P P n n， ， A A的列空间：的列空间： R R（ A A ）= L= LA A 1 1 ， A A2 2 ， ， A A n n P P m m， ， A A i i 为为A A的第的第i i列。列。 2 2、子空间的子空间的“ “交空间交空间” ”与与“ “和空间和空间” ” 讨论：讨论：设设WW 1 1 V V n n （P P），），WW 2 2 V V n n （P P），），且都且都 是子空间，则是子空间，则WW 1 1 WW 2 2 和和WW 1 1 WW 2 2 是否仍然是子空是否仍然是子空 间？间？ （1 1） 交空间交空间 w w 交集：交集： WW 1 1 WW 2 2 = = WW 1 1 而且而且 W W 2 2 V V n n （P P ） w w 定理定理16 16 WW 1 1 WW 2 2 是子空间，被称为是子空间，被称为“ “交空间交空间” ” （2 2）和空间）和空间 w w 和的集合：和的集合：WW 1 1 WW 2 2 = = =X=X 1 1 X X 2 2 X X 1 1 WW 1 1 ，X X 2 2 WW 2 2 ， WW 1 1 WW2 2 W W 1 1 WW 2 2 定理定理16 16 WW 1 1 WW 2 2 是子空间，被称为是子空间，被称为“ “和空间和空间” ”， WW 1 1 WW 2 2 不一定是子空间，不一定是子空间，WW 1 1 WW 2 2 W W 1 1 WW 2 2 例例1717 设设R R 3 3 中的子空间中的子空间WW 1 1 =Le=Le 1 1 ，WW 2 2 =Le=Le 2 2 w w 求和空间求和空间WW 1 1 WW 2 2 。 w w 比较：集合比较：集合WW 1 1 WW 2 2 和集合和集合WW 1 1 WW 2 2 。 如果如果 W W 1 1 =L=L 1 1 ， 2 2 ， m m ， ， W W 2 2 =L=L 1 1 ， 2 2 ， k k ， 则则 WW 1 1 WW 2 2 =L=L 1 1 ， 2 2 ， m m， ， 1 1 ， 2 2 ， k k 3 3 、维数公式、维数公式 子空间的包含关系子空间的包含关系： dimdimWW 1 1 WW 2 2 dimdim WW i i dimdimWW 1 1 WW2 2 dim dimV V n n （P P）。）。 定理定理1717 ： dimdimWW 1 1 dimdimWW 2 2 = =dimdim（WW 1 1 WW 2 2 ）dimdim（WW 1 1 WW 2 2 ） 证明：证明： 4 4 、子空间的直和、子空间的直和 分析分析：如果如果dimdim（WW 1 1 WW 2 2 ） 0 0，则则 dimdim（WW 1 1 WW 2 2 ） dimdimWW 1 1 dimdimWW 2 2 所以：所以： dim（W1W2）=dimW1dimW2 dim（W1W2）=0 W1W2=0 直和的定义直和的定义： 定义16 ： dim（W1W2）=0 ，则和为直和 W=W 1W2=W1W2， 子空间的子空间的“ “和和” ”为为“ “直和直和” ”的充要的充要 条件条件 ： 定理定理1818 设设W=WW=W 1 1 WW 2 2 ，则下列各条等价则下列各条等价 ： （1 1） W=WW=W 1 1 WW 2 2 （2 2） X X WW，X=XX=X 1 1 X X 2 2 的表的表 是惟一的是惟一的 （3 3） WW中零向量的表示是惟一的中零向量的表示是惟一的 （4 4） dimdim W W = =dimdimWW 1 1 dimdimWW 2 2 例例1 1 P12 eg18 例例2 2 设在Rnn中，子空间 W 1=A AT =A ， W2=B BT= B ， 证明Rnn=W1W2。 例例3 3 子空间W的“直和补子空间” 1212 内积空间内积空间 主题：主题：定义内积的概念，借助于内积建立线性定义内积的概念，借助于内积建立线性 空间的度量关系。空间的度量关系。 一、一、 欧氏空间和酉空间欧氏空间和酉空间 1 1 几何空间中度量关系的定义基础几何空间中度量关系的定义基础 2 2 内积的定义内积的定义 定义定义17 (17 (P13)P13) ：要点：要点 内积内积( ( ， ) )是二元运算：是二元运算：V V n n ( (P P) ) P P ( ( ， ) )的公理性质的公理性质 ( ( ， ) )是任何满足定义的运算。是任何满足定义的运算。 讨论讨论( ( ， 1 1 2 2 ) ), , ( ( ，k k ) ) 3. 3. 内积空间的定义内积空间的定义 V V n n （P P）；（）；（ ， ） ， P=P= R R ，欧氏空间；欧氏空间；P=CP=C，酉空间酉空间 4 4 常见的内积空间：常见的内积空间： R R n n ；( ( ， ) )= = T T , , C C n n ；( ( ， ) )= = H H , , C C m mnn； ；( (A A，B B) )= =trtr ( (B B H H A A) ) P P n n XX ；( (P P( (x x) )，g g( (x x) ) )= = 5 5 向量的长度向量的长度 定义：定义： | | | | = = 6 6 欧氏空间中向量的夹角：欧氏空间中向量的夹角： vv 定义：定义：0 0，0 0，夹角，夹角 定义为：定义为： coscos = = 性质：性质： | | k k | | = = k k | | | | ； Cauchy Cauchy 不等式：不等式： ， V V n n ( (P P) )；( ( ， ) ), , | | ( ( ， ) ) | | | | | | | | | | 。 | | | | | | | | | | | | 和和 正交正交 （ ， ）=0=0 7 7 线性空间的内积及其计算：线性空间的内积及其计算： 设1，2，, n 是内积空间Vn( (P) )的基 ，Vn( (P) )，则有 =x11x22x n n = ( (12 n) )X； =y11y22y n n= ( (1 2 n ) )Y ( (，) )= =Y HAX， 定义内积 在一个基1，2， n 中定义内积 定义一个度量矩阵A 。 度 量 矩 阵 A 度量矩阵的性质：度量矩阵的性质： 二、标准正交基二、标准正交基 1 1 标准正交的向量组：标准正交的向量组： w 定义：定义： 1 1 ， 2 2 ， n n 为正交组为正交组( ( i i ， j j ) ) =0 =0 w w 性质：性质： 2 2 标准正交基标准正交基 w w 基基 1 1 ， 2 2 ， n n 是标准正交基是标准正交基 ( ( i i ， j j) )= = w w标准正交基的优点：标准正交基的优点： 标准正交基的优点：标准正交基的优点： w w 度量矩阵是单位矩阵，即度量矩阵是单位矩阵，即A=IA=I = =( ( 1 1 2 2 n n) )X X， ， = =( ( 1 1 2 2 n n) ) Y Y， ， ( ( ， ) )=Y=YH H X X w w = = x x 1 1 1 1 x x 2 2 2 2 x x n n n n ，x x i i = =( ( ， i i ) ) w w 和和 正交正交其坐标其坐标 X X和和Y Y正交正交 坐坐 标标 空空 间间 P n 的的 内内 积积 求标准正交基的步骤求标准正交基的步骤： 1. 1. Schmidt Schmidt 正交化正交化 2. 2. 标准化标准化 3. 3. 矩阵方法讨论矩阵方法讨论 正交补正交补” ”子空间子空间 (i) 集合的U的正交集： w U=Vn( (P ) )： U，( (，) )=0 (ii) U是Vn( (P) )的子空间 U 是Vn( (P) )子空间 (iii) Vn( (P) )=U U 。 U的正交补子空间 13 13 线性变换线性变换 一、一、 线性变换的概念线性变换的概念 定义定义 1.11 ( 1.11 (P.P.1919) ) 要点：要点： （i i）T T是是V V n n （P P）中的变换：中的变换： T T：V V n n （P P）V V n n （P P）。）。 (ii) T(ii) T具有线性性：具有线性性： T T（ ）=T=T（ ）T T（ ） T T（k k ）= =kTkT（ ） 从一般性的角度给出的定义 例题例题1 1 V V n n （P P）中的相似变换中的相似变换T T ： 是是P P中的数，中的数， V V n n （P P），），T T （ ）= = 。 w w 特例：特例： =1 =1 ， T T 是恒等变换，是恒等变换， =0 =0 ， T T 是零变换。是零变换。 可以在任何线性空间中可以在任何线性空间中 定义相似变换定义相似变换! ! 例题例题2 2 P P n n 中的变换中的变换 T T A A ：设设A A P Pnn nn是一个给 是一个给 定的定的 矩阵，矩阵， X X P P n n ，T T A A （X X）=AX=AX。 例题例题3 3 P P n n X X中的微分变换：中的微分变换： 2 2 线性变换的性质：线性变换的性质： （i）T T( (0 0) )=0=0 （ii ii） T T( ( ) )= =T T( ( ) ) （iiiiii） 3 3 线性变换的象空间和零空间线性变换的象空间和零空间 设线性变换设线性变换T T：V V n n ( ( P P ) )V V n n ( ( P P ) )， 象空间象空间 R R( (T T) )= = ： V V n n ( (P P) )， =T=T( ( ) ) 零空间零空间 N N（T T）= = ：V V n n ( (P P ) ) ，T T ( ( ) ) =0 =0 定义：定义： T T 的秩的秩= =dimdim R R（T T）；）； T T 的零度的零度= =dim dim N N（T T） 线性变换保持线线性变换保持线 性相关性不变！性相关性不变！ 例题例题2727 求求P P n n 线性中的变换线性中的变换T T A A : :Y=AXY=AX的的 象空间和零空间。象空间和零空间。 R R（T T A A ）= =R R（A A）；）；N N（T T A A ）= =N N（A A） 4 4 线性变换的运算线性变换的运算 设设T T 1 1 ，T T 2 2 都是空间都是空间V V n n ( (P P) )中的线性变换，常见的用中的线性变换，常见的用 它们构成的新的变换：它们构成的新的变换： （i i） T T 1 1 T T2 2 V V n n （P P），）， （T T 1 1 T T 2 2 ）（）（ ）=T=T 1 1 （ ）T T 2 2 （ ） （ii ii） T T 1 1T T2 2 V V n n （P P），）， ( (T T 1 1T T2 2 ) )（ ）=T=T 1 1 （T T 2 2 （ ） （iiiiii） k kT T V V n n （P P），）， （k kT)(T)( ）= =k k（T T（ ） （iviv） 若若T T 1 1是可逆变换， 是可逆变换，T T 1 1 T T 1 1( ( ) )= = 当且仅当当且仅当T T( ( ) )= = 。 定义定义 二、二、 线性变换的矩阵线性变换的矩阵 1 1 线性变换的矩阵与变换的坐标式线性变换的矩阵与变换的坐标式 V V n n （P P）上线性变换的特点分析：上线性变换的特点分析： 定义变换定义变换T T 确定基中向量的象确定基中向量的象T T（ i i ）。）。 定义定义T T（ i i ） 确定它在基下确定它在基下 i i 的坐标的坐标A A i i 。 定义变换定义变换T T 确定矩阵确定矩阵A=AA=A 1 1 ，A A 2 2 ，A A n n （i i） A A 为变换矩阵为变换矩阵 （ii ii） 变换的坐标式：变换的坐标式：Y=AXY=AX （iiiiii） 应用意义应用意义 例题例题 对线性变换对线性变换 : :P P 4 4 X X P P 4 4 X X ， 求求D D在基在基 1 1， X X ， X X2 2 ， X X3 3 下的变换矩阵。下的变换矩阵。 2 2 求向量求向量 在在 变换变换D D下的象。下的象。 2 2 线性变换运算的矩阵对应：线性变换运算的矩阵对应： 设设V V n n （P P）上的线性变换上的线性变换T T 1 1 ，T T 2 2 ，它们在它们在 同一组基下的矩阵：同一组基下的矩阵：T T 1 1 A A 1 1 ；T T 2 2 A A 2 2 （i i） （T T 1 1 T T 2 2 ） （A A 1 1 A A 2 2 ） （ii ii） （T T 1 1T T2 2 ） A A 1 1A A2 2 （iiiiii） （kTkT） kA kA （iviv） T T 1 1 A A 1 1 3 3 不同基下的变换矩阵不同基下的变换矩阵 两组基：1，2，, n ，1，2，, n ， （12 n）=（12 n ）C T（1 2 n ）=（1 2 n）A T（1 2 n）=（1 2 n）B 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的 B=C1AC 1 2 3 设单位向量设单位向量u=u=（2/32/3，-2/3-2/3，-1/3-1/3），定定R R 3 3 上上 的线性变换的线性变换 P P（x x）= = x x - - （x x，u u）u u， 求求P P在自然基在自然基 e e 1 1 ， e e2 2 ， e e3 3 下的变换矩阵。下的变换矩阵。 求求P P在标准正交基在标准正交基 u u， u u2 2 ， u u3 3 下的变换矩下的变换矩 阵。阵。 三、不变子空间三、不变子空间 问题的背景：问题的背景： w w 变换矩阵的化简和空间的分解的对应关系变换矩阵的化简和空间的分解的对应关系 1. 1. 不变子空间的概念不变子空间的概念 w w 矩阵简化要求空间分解的特点矩阵简化要求空间分解的特点 w w 定义定义( (p24, p24, 定义定义1.14)1.14) 2 . 2 . 不变子空间的判别不变子空间的判别 w w WW是是T T的不变子空间的不变子空间 W W T T（ ） WW。 特别：特别：W=L W=L 1 1 ， 2 2 ， m m ， ， W W是是T T的不变子空间的不变子空间 T T（ i i ） W W 。 T T（WW） WW。 P24P24，例题例题3030 R R3 3 上的正交投影上的正交投影P P：P P（x x）= = x x （x x，u u） u u ，u u是单位向量。证明是单位向量。证明L L（u u）和和 u u =x =x ：（：（x x，u u）=0=0是是P P的不变子空的不变子空 间。间。 3 空间分解与矩阵分解空间分解与矩阵分解 V V n n （P P）= =WWU U，WW，U U是是T T的不变子空间的不变子空间 ， W=LW=L 1 1 ， r r ，U= U= r r + 1 + 1 ， ， ， n n 则则T T 1 1 ， r r ， r r + 1 + 1 ， ， ， n n V V n n （P P）= =U U 1 1 U U 2 2 U U k k ， 则则T T 矩阵Ai 的阶数=dim Ui 四、四、 正交变换和酉变换正交变换和酉变换 讨论内积空间讨论内积空间 V V；（；（ ， ） 中最重要的一类变换中最重要的一类变换 。 1 1 定义定义1 1 . . 15 15 （P25P25） 2 2 正交（酉）变换的充要条件：正交（酉）变换的充要条件： （定理（定理1 1. .15, 15, P26P26 ）T T是内积空间是内积空间V V（P P）上的线性变上的线性变 换，则