数理金融课程设计.doc

南山铝业股票价格及期权分析陕 西 科 技 大 学 数理金融 课程设计任务书 理 学院 应用数学 专业 题目： 南山铝业股票价格及期权分析 课程设计从 2012 年 5 月 29 日起到 2012 年 6 月 5 日1、课程设计的内容和要求（包括原始数据、技术要求、工作要求等）： 1）研究方法 绘制一个股价和时间的散点图（或拟合成曲线亦可）；估计该股票价格的二叉树模型中的增长因子和下降因子（分别取、3、5天）；并利用该参数去求出15期（分别取、3、5天）股票价格的二叉树模型；如果用几何布朗运动模型来描述该股票价格，根据所给数据估计未知参数和（以年为时间单位计算， 即）；并用模型估计该股票在你的历史数据截止日前三个月的股票交易日的价格。并绘制该股票价格和时间的散点图， 和中的散点图对比（截止日前三个月）；用几何布朗运动模型估计该在未来两个月的股票价格，并画出散点图。并分析其趋势及相应统计特性；取X为历史数据中的平均值，r=0.05，利用以上数据及相应估计参数分别计算历史数据截止日为起点的3个月后到期的欧式看涨期权和看跌期权的价格。 2）数据选取 根据所给的股票历史收盘价数据.-南山铝业 2、对课程设计成果的要求包括图表、实物等硬件要求： （1）绘制一个股价和时间的散点图（或拟合成曲线亦可）； （2）给出股票价格的二叉树模型； （3）给出几何布朗运动模型模拟结果； （4）给出期权价格和模拟值的比较； （5）格式严格按照陕西科技大学课程设计格式。 3、课程设计工作进度计划：时间设计任务及要求5.29查阅资料5.30收集原始数据5.31数据分析6.1数据分析6.2模拟及求解相应模型6.3检验解释相应结论6.4给出总结及撰写论文 指导教师： 日期： 教研室主任： 日期： 1 绘制股价和时间的图形 股票名称:南山铝业；原始数据: 南山铝业1001个收盘价（2008年3月10日2012年5月7日的历史行情数据）。1.1 绘图原理以时间为横坐标，以1001个股票实际收盘价为纵坐标，利用编程实现画图。在画图过程中，用区间来代替时间作为横坐标。1.2 绘制图形图1-1 股价与时间图形2.3 统计特征股票价格平均值：；方差：；2 二叉树模型对股票估值2.1 计算原理在风险中性的条件下，证券的预期收益率等于无风险利率（），因此若该时段初证券价格为，则在小时间间隔段末的证券价格期望值为。参数（价格上升的概率）、和的值必须满足这个要求，即： （2-1）二叉树模型也假设证券价格遵循几何布朗运动，在一个很小的时间段内证券价格变化的方差是。根据方差的定义，变量的方差等于的期望值与期望值平方之差，因此： （2-2）从式（3-1）、（3-2）和可以求得，当很小时：增长因子： ； 下降因子： ； 价格上升的概率： ；价格下降的概率： ；2.2计算结果（1）时 1.1517 0.86825 0.46571 0.53429（2）时 1.2772 0.78295 0.44079 0.55921（3）时 1.3715 0.72914 0.42381 0.576192.3 二叉树模型的原理二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔，并假设在每一个时间间隔内证券价格只有两种运动的可能：从开始的上升到原先的倍，即到达；下降到原先的倍，即。其中，如图2.1所示。价格上升的概率假设为，下降的概率假设为。图2-1 时间内资产价格的变动相应地，期权价值也会有所不同，分别为和。在较大的时间间隔内，这种二值运动的假设当然不符合实际，但是当时间间隔非常小的时候，比如在每个瞬间，资产价格只有这两个运动方向的假设是可以接受的。因此，二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动。2.4 二叉树模型估值结果（1）时股票价格15期的估值表2-2 时股票价格15期的估值（2）时股票价格15期的估值表2-3 时股票价格15期的估值（3）时股票价格15期的估值表2-4 时股票价格15期的估值2.5 二叉树模型估值结果分析从表中可以看出,从下往上,股票的价格升高； 从上往下,股票的价格降低,这是由二叉树这种方法本身所决定的,所以最后的股价要选择一个合适的价格,一般在二叉树最后一层的中间取值较为合适。3 几何布朗运动模型对股票估值3.1 几何布朗运动模型中的参数时间间隔=1/365; 股票均值=; 标准差=0.5226;3.2 几何布朗运动模型原理布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。现代资本市场理论认为证券期货价格具有随机性特征。这里的所谓随机性，是指数据的无记忆性，即过去数据不构成对未来数据的预测基础。同时不会出现惊人相似的反复。用表示时刻某证券的价格，若对任何非负实数有：（1）随机变量独立于时刻及此前的所有价格；（2）是均值为 ，方差为的正态随机变量；则称价格集服从漂移参数为 ，波动参数为的几何布朗运动。如果证券价格遵循几何布朗运动，那么一旦,的值确定了，影响未来价格概率分布的只是现在的价格，而与历史价格无关。涉及未来时刻以后的价格与当前价格比值的所有概率都与当前价格无关。比如一种证券在一个月后增长一倍的概率与该证券现在的价格是10还是25是没有关系的。若随机变量为以为参数的对数正态随机变量，则若已知证券的初始价格为，时刻价格的期望值仅依赖于几何布朗运动的漂移参数和波动参数，即对于我们有用表示一个小的时间增量，并假定，在每个时间单位内，证券的价格或者以概率增长倍，或者以概率下跌倍，其中当取得越来越小时，价格的变化就越来越频繁，相应的价格集就近似为一个几何布朗运动。3.3 几何布朗运动模型估值结果（1）历史数据截止日前三个月的股票交易日的估值结果6.355320211259876.106091967681056.259463194498796.230706089470466.201948984442146.115677669357166.077334862652736.115677669357165.962306442539435.981477845891655.981477845891656.067749160976625.991063547567755.952720740863326.077334862652736.326563106231556.566205648134266.527862841429826.566205648134266.364905912935986.278634597851006.911290908474166.825019593389186.940048013502496.968805118530816.815433891713086.853776698417516.671648366571456.825019593389186.844190996741406.815433891713086.700405471599787.026319328587466.997562223559146.959219416854706.968805118530816.920876610150277.055076433615797.026319328587467.035905030263577.045490731939687.074247836968007.189276257081307.170104853729097.218033362109637.553532920773427.582290025801757.543947219097327.534361517421217.639804235858407.764418357647817.687732744238947.524775815745107.630218534182297.668561340886727.649389937534517.649389937534517.304304677194607.361818887251257.428918798984017.218033362109637.438504500660127.294718975518507.131762047024657.150933450376877.131762047024656.892119505121946.709991173275886.709991173275886.892119505121946.892119505121946.844190996741406.901705206798056.825019593389187.007147925235247.045490731939687.064662135291896.940048013502497.150933450376877.179690555405207.285133273842397.313890378870717.198861958757417.246790467137957.496018710716777.371404588927367.572704324125647.563118622449537.524775815745107.59187572747786均值：mu=6.9453; 方差：var=0.2510;（2）90天的股票交易日的真实数据7.92 7.85 7.89 7.9 7.69 7.82 7.56 7.517.63 7.6 7.49 7.46 7.24 7.37 7.35 7.317.12 7.2 7.14 7.19 7.19 7 7 7.19 7.44 7.46 7.44 7.61 7.76 7.53 7.75 7.68 7.627.98 7.98 8 7.96 7.85 8.02 8.1 7.97 7.86 7.87 7.91 7.88 7.53 7.48 7.5 7.38 7.357.34 7.33 7.36 7.22 7.27 7.26 7.3 7.33 6.99 7.11 7.14 7.12 6.96 7.15 7.11 7.277.24 7.12 7.21 6.55 6.64 6.85 6.81 6.85 6.6 6.34 6.21 6.25 6.33 6.24 6.24 6.226.38 6.346.38 6.47 6.5 6.53 6.37 6.63均值mu=7.2454; 方差var=0.2731;(3) 估值结果与实际值的对比图图3-1估值结果与实际值的对比图3.4 几何布朗运动模型估值结果分析及与实际图形对比分析 从上图可以看出估值结果与实际股价的变化趋势大致相同，只是相对于真实值会较高或较低一些234 用几何布朗运动模型估计未来股价4.1模型参数时间间隔=1/365; 股票均值=9.8821; 标准差=2.6990;4.2估值结果(1)估值结果数据8.252777572114088.103421216638517.666748839917118.189316276625238.3723472231832711.158020932988812.80223394341928.196548014450247.9554997664051211.630031054456710.582446819256610.700282481386212.324939261592210.755467993656610.55151092548728.9413294005907314.290541951848913.695220339176418.861481234500917.973892940452714.257642276659718.270457653595317.374234446337321.485473413734723.817160018070722.309139425011614.923690767156112.401581971715519.307671608903111.743925926739621.951492707658011.248335520360723.131590172470516.068861792314716.691130117984828.099761373062425.060341762646917.616727192228329.234603558376133.345873753672125.084484706162419.725384623043122.003894438592814.508764307623618.748453780593021.136222492063936.010464392570723.019002177945141.442104863099514.863810841336427.162867058548029.203150283878047.290924031404724.557382173684537.504940834549834.737061176739542.378718279705622.609297536502730.350066192981131.6435950702903Mu=19.7221; var=92.8650 (2)估值结果与时间的趋势图图4-1 几何布朗运动模型股价估值趋势图4.3结果分析由上图可以看出几何布朗运动模型预测的股价整体呈上升趋势，价格在随着时间上下波动。5 计算股票欧式期权的价格5.1蒙特卡洛模拟法原理蒙特卡洛模拟方法亦称随机模拟方法，其基本思想是，求解科学、工程技术和经济金融等方面的问题。首先建立一个概率模型后随机过程，使其参数等于问题的解；然后通过对模型或过程的观察计算所求的统计特征，最后给出所求问题的近似值，解的精度可用估计值的标准差表示。应用此方法求解可以分为两类:确定性问题和随机性问题。解题步骤如下： （1）根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致（2）根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，方可进行随机模拟试验。（3）根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。（4）按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。 （5）统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。 5.2欧式看涨期权计算公式5.3 欧式看涨期权计算结果(1) 下表分别为一般技术(MC)、对偶变量技术（MCAV）、控制变量技术（MCCV）的均值、方差的计算结果解析解：BLprice=3.5467模拟次数MCAVMCCV均值方差均值方差均值方差20003.5275130418324214.94539028459203.6476735652763913.31723189743073.574232414667154.8168533051133540003.5860510132584916.11893202948813.6373627021005611.50922372594413.541567998466084.4067099470530260003.4975159547631215.40652397715463.5952020439929912.55864221940993.552863696852534.4288108719213680003.5287832169946415.93367902191283.5412411004671310.84175957940493.557961003869373.07671278687119100003.5639766350976716.79585061537943.5301739538582410.90690376800163.558045522872095.36974500309688120003.4713024287919815.65151845710243.5308443621803911.18529656613893.534859747122625.98107244366308140003.6400150200046618.17007835281043.5773314131096112.17839302854013.5590677650814211.5449775242662160003.5872262072308516.30839986495913.5086727915272110.74259801947663.536720435570214.39861220098641180003.5477431703565016.76835781865423.5626422825242311.14346317816683.544561650813333.58149742045327200003.5626304496874016.64728836926923.5226993941906211.04908886641963.527230453541306.30935253979667表5-1 蒙特卡洛模拟法计算结果表(2) 将蒙特卡洛模拟法计算结果用图形表示图5-1 B-S公式和三种MC技术方法算出的期权价格波动趋势图图5-2 三种MC法的置信区间变化图图5-3 控制变量法的期权价格波动图5.4欧式看跌期权计算公式5.5欧式看跌期权计算结果(1) 下表分别为一般技术(MC)、对偶变量技术（MCAV）、控制变量技术（MCCV）的均值、方差的计算结果解析解：Put=5.3861; Call=3.5467;模拟次数MCAVMCCV均值方差均值方差均值20005.387882945921003.481680408793155.394616085548880.8204347232630905.391999326657373.4816804087931540005.395492725253953.485385295970155.386364818849360.8194166518556505.379177896918143.4853852959701560005.378943327907353.492239118259815.383026165891260.8169229662951755.383734764549963.4922391182598180005.390964963039493.487586915626295.384121325310670.8172647570422735.397846750833973.48758691562629100005.397981131980003.478510108318725.385336937669460.8173303254374105.368493848152703.47851010831872120005.403530953911973.480916320780535.383974158009500.8168967163813135.401775860393003.48091632078053140005.395464376888073.484345920011525.386397328386320.8192287762752375.376601539888903.48434592001152160005.376150257812563.488034131563105.384958773782160.8189771463231375.385648528976973.48803413156310180005.389570282777983.486838977201775.386274692114860.8179485618255715.401866012256603.48683897720177200005.371098082275963.488048582611755.387374980911600.8186898376019865.394817254684513.48804858261175表5-2 蒙特卡洛模拟法计算结果表(2) 将蒙特卡洛模拟法计算结果用图形表示图5-4 B-S公式和三种MC技术方法算出的期权价格波动趋势图图5-5 三种MC法的置信区间变化图图5-6 控制变量法的期权价格波动图5.6 蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。蒙特卡罗模拟的主要优点包括：（1）在大多数情况下，人们可以很直接地应用蒙特卡罗模拟方法，而无需对期权定价模型有深刻的理解，所用的数学知识也很基本；为了获得更精确的答案，只需要进行更多的模拟；无需太多工作就可以转换模型。以上这些优点使得蒙特卡罗方法成为一个相当广泛和强大的期权定价技术。（2）蒙特卡罗模拟的适用情形相当广泛，其中包括：期权的回报仅仅取决于标的变量的最终价值的情况；期权的回报依赖于标的变量所遵循的路径，即路径依赖的情形；期权的回报取决于多个标的变量的情况，尤其当随机变量的数量增加时，蒙特卡罗模拟的运算时间近似为线性增长而不象其他方法那样以指数增长，因此该方法对依赖三种以上风险资产的多变量期权模型很有竞争力。因此，蒙特卡罗模拟可以适用于复杂随机过程和复杂终值的计算，在运算过程中蒙特卡罗模拟还能给出估计值的标准误差，这也是该方法的优点之一。蒙特卡罗模拟的缺点主要是：（1）只能为欧式期权定价，难以处理提前执行的情形。尝试使用蒙特卡罗模拟技巧来为美式期权定价，成为近年来这个领域的发展方向之一。（2）为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算。尤其在处理三个以下的变量时，蒙特卡罗模拟相对于其他方法来说偏慢。6 总结及体会通过本次课程设计，加深了对于数理金融的理解，使得平日学习的理论课程得以在实践中应用。在设计的过程中，加深了对二叉树模型和欧式看涨，看跌期权的理解，特别是几何布朗运动的实验，学习到了一种预测股票未来价格走向的方法。在课程设计中，如何去发现问题、解决问题以及利用网络资源解决问题是最重要的。实验中应用不当就出错而且错误很费神，理论与实际差距的确很大，要想作出实际实用的东西来还需多多练习，不断改进，充分发挥所学知识，另外也应加强视野的开拓。设计过程中的解决问题的方法，让我明白了如何学习会更有效。如何学习才不会耽误太多的时间。设这次课程设计增加了自己动手的能力，也学会了解决问题的一般方法：向老师、同学请教，借助书籍网络等等。此次课程设计，我也发现自己还有很多需要改进的地方。首先，在问题分析上还需要进一步加强，提高自己分析问题的能力，要学会挖掘题中的深层含义；其次，在编写程序时，需要有清晰思路，在编写程序之前一定要学会写每一个程序的流程；最后，要更加勤奋地学习理论知识，并且将理论与实践相结合，使自己能更加熟练地运用理论知识来解决实际问题。通过本次课程设计,我明白了一个道理:无论做什么事情,都必需养成严谨,认真,善思的工作作风遇到问题最好的办法就是请教别人，因为每个人掌握的情况都不一样，一个人不可能做到处处都懂。参 考 文 献1 张元萍.数理金融M.北京：中国金融出版社，2004.2 周博谢,张宪海编著.Matlab科学计算M.北京：机械工业出版社，2010.附录：程序一sp=1001个收盘价 ;x=1001:-1:1;mu=mean(sp);var=var(sp);sigma=sqrt(var);plot(x,sp);程序二clear;clc;S0=7.92;r=0.1;sigma=2.6990;dt=1/365,3/365,5/365;w=zeros(16,15,3);for n=1:3 u(n)=exp(sigma*sqrt(dt(n); d(n)=1/u(n); p(n)=(exp(r*dt(n)-d(n)/(u(n)-d(n); q(n)=1-p(n);endfor i=1:15 for j=i+1:-1:1 for n=1:3 w(i-j+2,i,n)=S0*u(n)(j-1)*d(n)(i-(j-1); end endendw1(:,:)=w(:,:,1);w2(:,:)=w(:,:,2);w3(:,:)=w(:,:,3);程序三clear;clc; d=近90天收盘价;x=90:-1:1;plot(x,d);hold onfor i=1:90 l(i)=d(91-i);endl(i);T=1/365;mu=9.8821;sigma=2.6990;S=zeros(1,90); nuT=(mu-0.5*sigma2)*T; siT=sigma*sqrt(T); w=randn(1,1); for i=1:90 S(i)=l(i)*exp(nuT+siT*w); end E=mean(S); D=var(S);x=1:90;plot(x,S,-.);程序四clear;clc;T=1/365;mu= 9.8821;sigma=2.6990;S0=7.92;S=zeros(10,60);for i=1:60 nuT(i)=(mu-0.5*sigma2)*T*i; siT(i)=sigma*sqrt(T*i); w=randn(10,1); S(:,i)=S0*exp(nuT(i)+siT(i)*w);Price(i), VarPrice(i), CI(i,:) = normfit(S(:,i);endE=mean(Price);D=var(Price);x=1:60;plot(x,Price);程序五看涨期权蒙特卡洛模拟定价程序：clear all;close all;clc;NbSimu = 20000 : 20000: 200000;NbPoints = numel(NbSimu);ResAV = zeros(NbPoints,1);ResMC = zeros(NbPoints,1);ResMCCV = zeros(NbPoints,1);CIAV = zeros(NbPoints,2);CIMC = zeros(NbPoints,2);CIMCCV = zeros(NbPoints,2);VarPriceAV = zeros(NbPoints,1);VarPriceMC = zeros(NbPoints,1);VarPriceCV = zeros(NbPoints,1);BLprice = blsprice(7.92,9.8821,0.05,0.25,2.6990,0) ;for i = 1 :numel(NbSimu) disp(Computing Iteration N? num2str(i) num2str(NbSimu(i) Simulated Paths); ResAV(i),VarPriceAV(i),CIAV(i,:) = BlsMCAV(7.92,9.8821,0.05,0.25,2.6990,NbSimu(i); ResMC(i),VarPriceMC(i),CIMC(i,:) = BlsMC(7.92,9.8821,0.05,0.25,2.6990,NbSimu(i); ResMCCV(i),VarPriceCV(i),CIMCCV(i,:) = BlsMCCV(7.92,9.8821,0.05,0.25,2.6990,NbSimu(i),1000);end;h= figure; plot(NbSimu,repmat(BLprice,NbPoints,1) ResAV ResMC ResMCCV); legend(Black Scholes Antithetic, Simple Monte Carlo, Monte Carlo with Control Variable)set(h,WindowStyle,Docked);grid on;xlabel(Number of simuation);Ylabel(Vanilla option Price);xlim(NbSimu(1) NbSimu(end);h= figure;plot(NbSimu,diff(CIAV,1,2) diff(CIMC,1,2) diff(CIMCCV,1,2) );legend(Antithetic, Simple Monte Carlo, Monte Carlo with Control Variable, );grid on;xlim(NbSimu(1) NbSimu(end);title(Comparing different Monte Carlo methods)set(h,WindowStyle,Docked);xlabel(Number of simuation);Ylabel(absolute confidence interval);h= figure;FillBetween(NbSimu,CIMCCV(:,1),CIMCCV(:,2),g,0.3);hold on;plot(NbSimu,ResMCCV,LineWidth,1.5,Color,r);plot(NbSimu,repmat(BLprice,NbPoints,1),b);xlim(NbSimu(1) NbSimu(end)set(h,WindowStyle,Docked);title(Monte Carlo with Control Variable);xlabel(Number of simulation);Ylabel(Vanilla option Price);grid on;看跌期权蒙特卡洛模拟定价程序：clear all;close all;clc;NbSimu =20000:20000:200000;NbPoints = numel(NbSimu);ResAV = zeros(NbPoints,1);ResMC = zeros(NbPoints,1);ResMCCV = zeros(NbPoints,1); CIAV = zeros(NbPoints,2);CIMC = zeros(NbPoints,2);CIMCCV = zeros(NbPoints,2); VarPri