高等数学b学习资料-2-6微分中值定理.ppt

中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第七节) 推广 第六节 第十二节 第六节 微分中值定理 一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 一、罗尔(Rolle)定理 1.引理（费马(Fermat)定理） 2. 罗尔（Rolle）定理 则在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f() =0 . 设函数 f (x) 满足条件： 1) 在闭区间 a,b上连续. 2) 在开区间(a,b)内可导. 3) f (a) = f (b) 物理解释: 变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零. 几何解释: 3、罗尔定理还指出了这样的一个事实： 若 f (x) 可导，则 f(x)=0 的任何两个实根之间， 至少有 f(x) =0 的一个实根. 例2 不求导数, 判断函数 f(x) = (x 1) (x 2) (x 3) 的导数f(x)有几个零点及这些零点所在的范围. 4. 注意 1)若罗尔定理的三个条件中有一个不满 足,其结论可能不成立. 例如 2) 罗尔定理的三个条件是充分不必要的,即若有 一个不满足,其结论也可能成立. 例如, 例3 例4 说明:证明 在 内有根用零点定理. 证明 在 内有根用罗尔定理. 关键技巧: 根据题意会知道如何构造辅助函数. 若希望用Rolle定理证明方程 f(x)=0 根的存在性， 则构造的辅助函数F(x) 应满足关系式F(x) = f(x) 及Rolle定理条件. 例5 例6 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 则在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f (b) f (a) = f ()(ba) (a,b) . Lagrange 中值定理： 设函数 f (x) 满足条件： 1) 在闭区间 a,b上连续. 2) 在开区间(a,b)内可导. 作辅助函数证明： 拉格朗日中值公式 几何解释: 例1 增量 y 的精确表达式 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 拉格朗日中值定理也称为微分中值定理 两个推论: (1) 设 f (x) 在 (a,b) 内可导且 f (x)=0，则 f(x)=C. (2) 设 f (x) ,g(x) 在 (a,b) 内可导且 f (x) =g(x) ， 则 f(x)=g(x) C. 拉格朗日中值定理的应用: 1、用 Lagrange 中值定理证明等式： 例2 说明欲证 时, 只需证在 I 上 练习： 2、用 Lagrange 中值定理证明不等式： Step1 找出适当的函数 f (x) 及区间, Step2 验证 f (x) 满足Lagrange 中值定理条件 , Step3 对 f () 作适当放大或缩小，推出所 要证的结果. 例4 例3 三、柯西(Cauchy)中值定理 则在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 Cauchy 中值定理 设函数 f (x)、 g (x) 满足条件： 1) 在闭区间 a,b上连续. 2) 在开区间(a,b)内可导且 g(x) 0 . 证 作辅助函数 几何解释: 注意: 弦的斜率切线斜率 Lagrange 中值定理是Cauchy 中值定理 的特例. 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? 两个 不 一定相同 错! 上面两式相比即得结论. 例 分析: 结论可变形为 例 证 四、小结 1. 微分中值定理的条件、结论及关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 费马引理 中值定理的数学符号简洁表述: P125 2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 关键: 利用逆向思维 设辅助函数 中值定理的数学符号简洁表述: P125 1. 填空题 思考与练习 函数在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理 条件, 则中值 练 习 题 练习题答案 费马(1601 1665) 法国数学家, 他是一位律师, 数学 只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博 览群书并善于思考, 在数学上有许多 重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出 的费马大定理: 至今尚未得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱 , 费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的. 拉格朗日 (1736 1813) 法国数学家.他在方程论, 解析函数论, 及数论方面都作出了重要的贡献, 近百 余年来, 数学中的许多成就都直接或间 接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一. 柯西(1789 1857) 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 柯 西全集共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积 分在几何上的应用 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 . 对数学的影 他是经典分析的奠基人之一, 他为微 积分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 例3 证 由零点定理 矛盾, 即 为方程小于1的正实根. 例4 证 由Rolle定理知 说明: 证明 在 内有根用零点定理. 证明 在 内有根用罗尔定理. 推广: 例6 （即例5） 设 欲证:使 只要证 亦即 作辅助函数 验证在上满足罗尔定理条件. 提示: 证： 不妨设 有 例 设 , 证明对任意 有 例 设 , 证明对任意 题设条件 可减弱为 例4 证 由上式得 练习： 试证至少存在一点 ，使 解 令 则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件, 使因此存在 提示: 由结论可知, 只需证 即 验证在 上满足罗尔定理条件. 设 且在内可导, 证明至少存 在一点使 2. 设 证： 设辅助函数 显然在 0,1 上满足罗尔定理条件, 因此至少存在使得 求证存在使 3