循环群的研究毕业论.doc

论文编码： 。大学本科生毕业论文（设计）循环群的研究Research from the cyclic group 院 系 专 业 年 级 学 号 指导教师 论文作者 完成日期 。大学本科生毕业论文（设计）原创性承诺书论文（设计）题目学生姓名专业学号完成时间年 月 日 年 月 日指导教师姓名职 称承诺内容：1、本毕业论文（设计）是学生 在导师 的指导下独立完成，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，如出现抄袭及侵犯他人知识产权的情况，愿按学校有关规定接受处理，并承担相应责任。2、学校有权保留并向上级有关部门送交本毕业论文(设计)的复印件和磁盘。备注：学生签名： 时间：说明：学生毕业论文（设计）如有保密等要求，请在备注中明确，承诺内容第2条即以备注为准。 中文提要本文研究的内容是有关循环群的自同构问题，研究的内容作为本人的毕业论文内容及答辩内容。同构是代数中重要的一大概念，而自同构又是同构中极为具有代表性的一类，很多情况下相互同构的两个群有着很多相同的性质，所以找出群的同构类可以解决很多看似复杂的问题。在本文中，我将从群同态基本定理入手，探索群中颇具代表的循环群的自同构问题，并举出例子来解释其中相似的性质。 关键词：群；循环群；同构；自同构 AbstractThe content of this article is about the algebra automorphism group of cycle, The research content as my graduation thesis reply content. Somorphism is an important concept in modern algebra, The automorphism is isomorphic to a class of very representative, In many cases, two groups are isomorphic with many of the same properties, So find out the isomorphism classes of groups can solve many complicated problems. In this paper,I will start from The fundamental homomorphism theorem, Exploration the problem of Cyclic groups with Automorphism Group. And give examples to explain the similar properties.Key words: group, Cyclic group, isomorphism, automorphism 目 录一、群1（一）定义1 (二) 群的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2二、循环群.3（一）定义.4（二）循环群的基本性质4三、同构5 (一) 定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4(二) 同态基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 四、自同构6五、结论8参考文献10 11（论文）一、群定义 如果一个非空集合G上定义一个二元运算“”，满足：（1）结合律：（2）有单位元：存在使得（3）有逆元：对于任意，存在，使得 则称G关于运算构成一个群，记为（G，） 群G中若还成立以下的 （4）交换律： 对于任意， 则称G为交换群或Abel群 群所含的元素个数称为群的阶.群G的阶记为|G|.如果|G|,则称G为有限群,反之称为无限群例1 整数集合Z,有理数集合Q,实数集合R,复数集合C关于加法都构成群.非零有理数集合,非零实数集合,非零复数集合,正实数集合关于乘法都构成群 例2 设n是一个正整数.整数集合Z模n的剩余类关于加法构成群,它包含n个元素.与n互素的剩余类关于乘法构成群.它包含个元素, 为Euler函数. 群的基本性质（1） 群的单位元惟一（2） 群中任意元素的逆元惟一（3） 群中有消去律，即x=y蕴含x=y（左消去律），x=y蕴含x=y（右消去律） 证明：（1） 设e和e都是群G的单位元，则有e=ee=e （2） 设b，b都是群中a的逆元，则有 b=be=b(ab)=(ba)b=eb=b（4） 设ax=ay 两端左乘a的逆元b，得bax=bay，而ba=e，故有x=y.同样可证右消去律群的阶数设G是一个群，. 如果都有则称为无限阶元，记作；如果存在，使得的最小正整数n叫作元素的阶，记作 子群群G的一个子集H叫做的一个子群，如果它对于群G的运算也构成一个群。群G至少有两个子群，G本身以及由G的单位元e构成的子集，称为G的凡子群，而其他的子群叫做真子群。正规子群 陪集设H是G的一个子群，称集合为群G关于子群H的一个左陪集，叫做的一个代表元。设H是G的一个子群，称集合为群G关于子群H的一个右陪集，叫做的一个代表元。指数群关于子群的H的左陪集（或右陪集）的个数叫做子群H在G中的指数。记作当个数是无限时，记作特别地，有限群G的阶其中e是群G的单位元。正规子群群G的子群N叫做一个正规子群，如果任取记作一个正规子群的左陪集和右陪集统称为N的陪集。商群 设G是群，H是G的正规子群，则H的陪集在乘法运算下构成群，称为G关于H的商群，记作G/H 证明：首先，故非空.其次,由于对于乘法封闭,即陪集乘法确实是上的二元运算.确切的说,有.次乘法显然满足结合律.又,所以H是的幺元.最后易见是的逆元.这就证明了G/H在陪集乘法下构成群. 作为特殊情形,所有abel群的子群都是正规子群,所以对于Abel群的任一子群都可以构造相应的商群.例如,整数加法群是Abel群,对于任意正整数n,nZ是Z的正规子群,此时相应的商群为 ,其中.这个群是n阶循环群,生成元是. 二、循环群定义设G是群，M是G的子集，则称G的所有包含M的子群的交为由M生成的子群，记作.如果=G,我们称M是G的一个生成系.仅由一个元素a生成的群G=叫做循环群 循环群的子群结构循环群的子群仍是循环群.无限循环群的子群除以外都是无限循环群,且Z的子群与非负整数一一对应,确切的说,每个对应子群.有限m阶循环群Zm的子群与m的正因子一一对应,确切的说,m的每一个正因子d对应于的唯一的d阶子群. 证明:首先,我们应证明循环群的子群仍是循环群.设HG.如果,则H为生成的循环群.若,令s是H的元素作为的方幂出现的最小的正整数,即 . 易见, .事实上,对于任意,设,则.由s的最小性知r=0,即故.反之显然有.这就证明了是循环群. 现设G是无限循环群Z,设,则.所以.由于G的任一子群皆形如,所以定理中所述的对应应该是满射.易见.故如果则.这说明上述对应是单射,从而一一对应. 再设设,H为G的d阶子群.我们来证明 是G的唯一的d阶子群.事实上,设也是G的d阶子群,则,故,所以, .和意味着,于是.但,所以.这就证明了d阶子群的唯一性,亦即定理中所述的对应是单射.由于G的子群的阶是m的因子(lagrange定理),所以该对应应是满射,故为一一对应 三、同构定义 G，G是两个群，：GG称为由G到G的一个群同态，如果保持群运算，即对于所有的a，bG，都有（ab）=（a）（b）.如果又是单(满)射,则称为单(满)同态.既单又满的同态成为同构.如果存在由G到G的一个同构,则称G同构于G,记为GG 群G到自身的同态和同构成为群G的自同态和自同构 同态基本定理 设:GG是群同态, 则Gkerim其中ker是群G的核,即任取ker, ()=e ,而im为G在作用下的像的集合证明:为简单起见，记ker=H.定义映射 :G/Him H ()我们来验证是良定义的,即(aH)与陪集代表a的选取无关.事实上,如果H=bH,即bH,则存在hH使得b=H.故 (bH)= (b)= (h)= () (b)= (H) (bH),所以是群同态.又设有 (H)=e(G的幺元),即()=e,故H,即H=H(G/H的幺元),所以ker=H,即是单射.最后,设gim,则存在G使得()=g.这说明是满射.这就证明了是同构. 四,自同构定义 设G是一个集合，并在上面定义了代数运算，那么G的全体自同构关于变换的乘法称为一个群，叫做的自同构群,记作。如果，则证明: 设是中任意的两个自同构，那么对于，就有 ，也就是说也是的一个自同构。这就说明，所有自同构关于变换的乘法是封闭的。又因为对于有，故即也是的一个自同构，所以群的定义的第3条成立。另外，变换的乘法满足结合律是显然的，且单位元就是恒等变换，群的定义的第1、2条也成立。所以，的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。例求解Klein四元群 的自同构群。 解 。因为是自同构，则必有（幺元变成幺元）。又因为是双射，所以，其中 是的全排列。而其中每个全排列不一定全都是自同构，但根据的运算特点，可以得出这些全排列都是的自同构。 例如，设，则可以验证它是的自同构: ,.由于的全排列共有6 个，与同构，因此的全体自同构也有6 个，。五、结论定理1 无限循环群必同构于整数加法群Z.有限循环群必同构于整数加法群的某个商群Z/mZ证明：设G是循环群，定义映射 ：Z G， n 显然就是群的满同态，如果|G |=，设，则.此时必有n=0(否则对于任意的tZ,设t=nq+r,0rn1,就有.于是,矛盾于|G |=).所以.由同态基本定理即知ZG.如果|G |=m，则易见.事实上,设,即.设,则.于是,故r=0(否则与|G|=m矛盾).这说明.反之,显然 (任取qZ).这说明.这就证明了.由同态基本定理即知Z/mZG. 定理2 （1）无限循环群的自同构群是一个2阶循环群； （2）阶循环群的自同构群是一个阶的群，其中是欧拉函数（即小于且与互素的正整数的个数）。证明 由于在同构映射中，循环群的生成元一一对应生成元，而确定了生成元的对应关系也就能够确定群中其他元素的对应关系。所以，一个循环群有多少个生成元也就具有多少个自同构。例如，设是一个由生成的循环群，那么显然，当是小于且与互素的正整数时，也是的生成元，即。此时，令，则有，且时，即是的自同构。由于无限循环群只有2个生成元，阶循环群只有个生成元，所以其自同构群分别为2阶循环群和阶的群。 例2 （1）求，4阶循环群的自同构群。解 ，两个生成元为，从而，其中是恒等置换，。（2）求，5阶循环群的自同构群。 ，4个生成元为，从而，其中，是恒等置换， ，。参考文献1.赵春来，徐明曜，抽象代数1，北京大学出版社2008年10月第1版2 Joseph.J.Rotman, 高等近世代数, 伊利诺伊大学 致谢 本设计的完成是在我们的