理论力学 两体问题.ppt

第三章 两体问题 3.1 3.1 两体问题化为单粒子问题两体问题化为单粒子问题 这样，两这样，两体体问题分解为两个单粒子问题。问题分解为两个单粒子问题。 3.2 有心力场中单粒子的运动 运动方程运动方程 运动定性讨论 讨论粒子在吸引势 U = - a / r3中的运动情况 解：粒子的有效势能：Ueff = L2 / 2mr2 - a / r3 曲线渐近行为 r ， Ueff 0； r 0， Ueff - 。 (2)曲线零点： Ueff = 0r = ro = 2ma/L2 (3)曲线极值： dUeff / dr = 0 r = rm = 3ma/L2 (Ueff )max = L6 / 54 m3 a2 - a / r3 L2 / 2mr2 OO E E ( (U U effeff ) ) maxmax r r U U effeff rm ror1r2 3.3 与距离成反比的有心力场 吸引势：U(r) = - a / r 有效势能：Ueff = L2 / 2mr2 - a / r r 0 ，Ueff + ； r ， Ueff 0。 (2)曲线极值：dUeff / dr = 0 r = rm = L2 / ma (Ueff )min = m a2 / 2L2 (3)曲线零点： Ueff = 0r = ro = L2 / 2ma - a / r L2 / 2mr2 OO E E ( (U U effeff ) ) maxmax r r U U effeff rmror1r2 比耐公式比耐公式轨道方程轨道方程 比耐公式比耐公式轨道方程轨道方程 例：已知引力作用例：已知引力作用 F F(r) = - GMm / r2 r r o o ， 求运行轨迹。求运行轨迹。 解：比耐公式解：比耐公式 h2 u2 (d2u /d2 + u ) = GM/r2 = GMu2 d2u /d2 + u = / h2 (= GM ) 轨迹方程轨迹方程: : u = 1 / r = C C 1 1 coscos+ C+ C 2 2 sinsin+ / h2 齐次解齐次解 非齐次解 取近日点( r 极小值)的为零. r 极小值条件: dr/d= 0 , d2r /d2 0 . d(1/u)/d= - (1/u2) du/d=0 = (1/u2) ( C1 sin- C2 cos)=0 = 0 C2 = 0 r = ( C1 cos + / h2 ) -1 = p /( 1+ e cos) r = p /( 1+ e cos) 其中 p = h2 /(正焦弦长度一半), e = C1 h2 /(偏心率)。 这是一原点在焦点上的圆锥曲线 ，力心位于焦点上。 e 1 双曲线 抛物线 双曲线 椭圆 补充作业补充作业: : 求求 e 与能量与能量 E 的关系，的关系， 即证明：即证明： 并讨论并讨论 E 与与圆锥曲线型的关系圆锥曲线型的关系. . 3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性 轨道闭合与轨道稳定 轨道稳定的含义: 由于初始条件的微小变化或势场本身的扰 动，使粒子偏离原轨道ro变为 r 。若r 始终 保持在ro附近作小振动，则称此种轨道是稳 定的；反之，若随着时间增加，r 偏离ro 越来 越大，则称此种轨道是不稳定的。 3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性 设粒子在势场U(Z)中的轨道为 u = uo， 轨道偏离： u = uo + （ 为小量） 3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性 若A=0， 随 ( 从而随 t ) 线性增加 ； 若A 0， 作简谐振动，轨道稳定轨道稳定。 轨道稳定条件：轨道稳定条件： 讨 论 U = a / r，A = 1 0，轨道稳定。轨道稳定。 U = - a / r3， A = 1 6ma / r L2 = 1 - 3 rm / r 轨道稳定条件轨道稳定条件 A A 0 0 变为变为 r r 3 3 r rm m (3) U = k r2，A = 1 + 6mk r4 / L2 0 轨道永远稳定条件轨道永远稳定条件。 圆形轨道稳定性条件为：(Ueff = L2 / 2mr2 + U) dUeff /dr = 0， dUeff /dr 0 3 dU/dr + d2U/dr2 0 或 - 3 F - dF/dr 0 O A o 3.6 3.6 粒子散射问题粒子散射问题 设有心力场的力心在 O 点 ，由于有心力场对力心是中 心对称的，所以轨道对OA是 轴对称的。设无穷远处质点 速率为 v ，瞄准距离为。 O A o 散射要考虑一束速度相同的全同粒子群。假散射要考虑一束速度相同的全同粒子群。假 设粒子束在其截面内密度均匀，而各个粒子有不设粒子束在其截面内密度均匀，而各个粒子有不 同的瞄准距离，相应有不同的散射角同的瞄准距离，相应有不同的散射角 。 d 假定假定 n 为单位时间内为单位时间内 通过垂直于束的单位截面通过垂直于束的单位截面 积的粒子数，单位时间内积的粒子数，单位时间内 落入散射角落入散射角到到+d内的内的 粒子数为粒子数为 dN ，则定义散则定义散 射的有效截面为射的有效截面为 d= dN/n ， dN个粒子可个粒子可 能来自能来自() 到到() + d() 区间内的粒子。区间内的粒子。 假定假定 n 为单位时间内通过垂直于束的单位截为单位时间内通过垂直于束的单位截 面积的粒子数，单位时间内落入散射角面积的粒子数，单位时间内落入散射角到到+d 内的粒子数为内的粒子数为 dN ，则定义则定义散射的有效截面为散射的有效截面为 d= dN/n ， dN个粒子可能来自个粒子可能来自() 到 到()+ d() 区间内的粒子，即区间内的粒子，即 dN = 2nd，所以所以 d= 2d = 2d/ dd 到到+ d对应的立体角为 对应的立体角为 d=2sind 因而因而 d