倒立摆课程设计--倒立摆系统的控制器设计.doc

自动控制理论课程设计倒立摆系统的控制器设计学生姓名：指导教师：班 级：重庆大学自动化学院二O一三年一月课程设计指导教师评定成绩表项目分值优秀(100x90)良好(90x80)中等(80x70)及格(70x60)不及格(x60)评分参考标准参考标准参考标准参考标准参考标准学习态度15学习态度认真，科学作风严谨，严格保证设计时间并按任务书中规定的进度开展各项工作学习态度比较认真，科学作风良好，能按期圆满完成任务书规定的任务学习态度尚好，遵守组织纪律，基本保证设计时间，按期完成各项工作学习态度尚可，能遵守组织纪律，能按期完成任务学习马虎，纪律涣散，工作作风不严谨,不能保证设计时间和进度技术水平与实际能力25设计合理、理论分析与计算正确，实验数据准确，有很强的实际动手能力、经济分析能力和计算机应用能力，文献查阅能力强、引用合理、调查调研非常合理、可信设计合理、理论分析与计算正确，实验数据比较准确，有较强的实际动手能力、经济分析能力和计算机应用能力，文献引用、调查调研比较合理、可信设计合理，理论分析与计算基本正确，实验数据比较准确，有一定的实际动手能力，主要文献引用、调查调研比较可信设计基本合理，理论分析与计算无大错，实验数据无大错设计不合理，理论分析与计算有原则错误，实验数据不可靠，实际动手能力差，文献引用、调查调研有较大的问题创新10有重大改进或独特见解，有一定实用价值有较大改进或新颖的见解，实用性尚可有一定改进或新的见解有一定见解观念陈旧论文(计算书、图纸)撰写质量50结构严谨，逻辑性强，层次清晰，语言准确，文字流畅，完全符合规范化要求，书写工整或用计算机打印成文；图纸非常工整、清晰结构合理，符合逻辑，文章层次分明，语言准确，文字流畅，符合规范化要求，书写工整或用计算机打印成文；图纸工整、清晰结构合理，层次较为分明，文理通顺，基本达到规范化要求，书写比较工整；图纸比较工整、清晰结构基本合理，逻辑基本清楚，文字尚通顺，勉强达到规范化要求；图纸比较工整内容空泛，结构混乱，文字表达不清，错别字较多，达不到规范化要求；图纸不工整或不清晰指导教师评定成绩：指导教师签名： 年 月 日重庆大学本科学生课程设计任务书课程设计题目倒立摆系统的控制器设计学院自动化学院专业自动化年级2010级1、已知参数和设计要求：M：小车质量1.096kgm：摆杆质量0.109kgb：小车摩擦系数0.1N/secl：摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI：摆杆惯量0.0034kgm2建立以小车加速度为系统输入，以摆杆角度为系统输出的被控对象数学模型。分别用根轨迹法、频率特性法设计控制器使闭环系统满足要求的性能指标；调整PID控制器参数，使闭环系统满足要求的性能指标。 2、利用根轨迹法设计控制器，使得校正后系统的性能指标满足：调整时间最大超调量 3、利用频率特性法设计控制器，使得校正后系统的性能指标满足：(1) 系统的静态位置误差常数为10；(2) 相位裕量为 50；(3) 增益裕量等于或大于10dB。4、设计或调整PID控制器参数，使得校正后系统的性能指标满足：调整时间最大超调量学生应完成的工作：1、利用设计指示书中的实际参数，通过机理推导，建立倒立摆系统的实际数学模型。2、进行开环系统的时域分析。3、利用根轨迹法设计控制器，进行闭环系统的仿真分析。4、利用频域法设计控制器，进行闭环系统的仿真分析。5、设计或调整PID控制器参数，进行闭环系统的仿真分析。6、将所设计的控制器在倒立摆系统上进行实时控制实验。7、完成课程设计报告。参考资料：1、固高科技有限公司.直线倒立摆安装与使用手册R1.0，20052、固高科技有限公司. 固高MATLAB实时控制软件用户手册，20053、Matlab/Simulink相关资料4、谢昭莉，李良筑，杨欣. 自动控制原理. 北京：机械工业出版社，20125、胡寿松. 自动控制原理（第五版）. 北京：科学出版社，20076、Katsuhiko Ogata. 现代控制工程. 北京：电子工业出版社，2003课程设计的工作计划：1、布置课程设计任务；消化课程设计内容，查阅并参考相关资料，进行初步设计（3天）；2、按课程设计的要求进行详细设计（3天）；3、进行实时控制实验，并按课程设计的规范要求撰写设计报告（3天）；4、课程设计答辩，实时控制验证（1天）。任务下达日期 2012 年 12 月 24 日完成日期 2013 年 1 月 6 日指导教师 （签名）学 生 （签名） 目录1 引言12 数学模型的建立22.1 建模方法22.2 小车倒立摆实际数学模型的建立22.2.1 一级倒立摆动力学方程的建立(微分法)22.2.2 实际系统的数学模型53 开环响应分析54 根轨迹法设计74.1根轨迹分析74.2 根轨迹设计84.3 控制器的再一次调整115 频域法设计145.1 频率响应分析145.2 串联校正装置的设计要求155.3 控制器设计165.4 在Simulink 下对系统进行仿真186 PID控制器的设计196.1 PID控制器简介196.2 控制器设计要求196.3 PID控制器仿真207 总结及心得体会22参考文献231引言倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。最初研究开始于二十世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。 倒立摆系统具有如下特性 (1) 欠冗余性。倒立摆采用单电机驱动，因而它有冗余机构。 (2) 典型的仿射非线性系统，可以应用微分几何方法进行分析。 (3) 不确定性。主要是指建立系统数学模型时的参数误差、盘测噪声以机械传动过程中的非线性因素所导致的难以量化的部分。 (4)耦合特性。摆杆和小车之间，以及多级倒立摆系统的上下摆杆之间都强耦合的。这是可以采用单电机驱动倒立摆控制系统的原因，也使控制系统的设计、控制器参数调节变得复杂。 (5)开环不稳定系统。倒立摆系统有两个平衡状态：垂直向下和垂直向上垂直向下的状态是系统稳定的平衡点(考虑摩擦力的影响)，而垂直向上的状卷是系统不稳定的平衡点，开环时微小的扰动都会使系统离开垂直向上的状态而进入到垂直向下的状态中。倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。2 数学模型的建立2.1建模方法 系统建模有两种方法：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入状态关系。2.2小车倒立摆实际数学模型的建立2.2.1一级倒立摆动力学方程的建立(微分法)由于状态反馈要求被控系统是一个线性系统，而倒立摆系统本身是一个非线性的系统，因此用状态反馈来控制倒立摆系统首先要将这个非线性系统近似成为一个线性系统。在忽略了空气流动和各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2-1所示。 图2-1 一级倒立摆系统运动示意图M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置 摆杆与垂直向上方向的夹角（逆时针为正） 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下，顺时针为正） 图2-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。图 2-2 小车及摆杆受力分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程 （2-1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： (2-2)合并可得： (2-3) 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： （2-4）合并得到力矩平衡方程如下： (2-5)设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角）假设与1（单位是弧度）相比很小，即，则可以进行线性化近似处理：用u 来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程（即将上述等式带入（2-3）和（2-4）如下： （2-6)进行拉氏变换，得： (2-7)由于输出为角度，求解方程组的第一个方程，可以得到：，即： (2-8)(2-8)式称为摆杆角度与小车位移的传递函数。如令，则有： (2-9)(2-9)式称为摆杆角度与小车加速度间的传递函数，由于伺服电机的速度控制易于实现，在实验中常采用此式。把(2-6)式代入(2-7)式的第二个方程中，得到： (2-10)其中， (2-10)式称为摆杆角度与外加作用力间的传递函数2.2.2实际系统的数学模型实际系统的模型参数如下:M 小车质量 1.096 Kgm 摆杆质量 0.109 Kgb 小车摩擦系数 0 .1N/m/secl 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.2 5mI 摆杆惯量 0.0034 kg*m*m把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。则有摆杆角度和小车加速度的传递函数为：3 开环响应分析通过前面的分析，我们已经得到传递函数，之后我们打开matlab，输入以下程序：% open loop response of the pendulums angle for impulse force M = 0.5;m = 0.2;b = 0.1;I= 0.006;g = 9.8;l = 0.3; q = (M+m)*(I+m*l2)-(m*l)2; num = m*l/q 0 0den = 1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0 % open loop system response for impluse signalt = 0 : 0.05 : 5;impulse( num , den , t )axis ( 0 1 0 60 )之后运行，可以得到如下的结果：num =4.5455 0 0den =1.0000 0.1818 -31.1818 -4.4545 0以及系统的开环响应曲线 3-1原系统的开环响应曲线 从上图我们可以分析出，原来的系统是不稳定的，为了使其稳定，我们需要进行校正。4 根轨迹法设计4.1根轨迹分析 前面我们已经得到了倒立摆系统的开环传递函数，输入为小车的加速度，输出为倒立摆系统摆杆的角度，被控对象的传递函数为： （4-1）在matlab中新建一个m文件，并进行编程如下：num=0.02725 ;den=0.0102125 0 -0.26705;rlocus(num,den)p=roots(den)保存后运行文件，可以得到如下结果：p = 5.1136或p=-5.1136并绘制出了未校正系统的根轨迹图如下 图4-1 未校正系统的根轨迹图从得到的结果我们可以看出，由于有右极点的存在，所以系统不稳定。画出系统闭环传递函数的根轨迹如图 4-1，可以看出闭环传递函数的一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左跑到位于原点的零点处，这意味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，即系统总是不稳定的。4.2 根轨迹设计由上面的分析我们可以将问题转化如下，对于传递函数为：的系统，设计控制器，使得校正后系统的要求如下:最大超调量：调整时间：以下为根轨校正的具体设计步骤：（1） 根据性能指标，计算出校正后闭环主导极点的坐标由于最大超调量：，所以这里我们取即可，由公式我们可以算出大约为0.64，=，由于，所以取，得到 rad/s。期待闭环主导极点 （2） 计算超前矫正应供应的相角（3） 计算 （4-2） （4-3） （4-4）故校正网络的传递函数为校正网络使校正后的开环传递函数满足了希望极点是根轨迹上的点的相角条件。（4） 由幅值条件，即=1 （4-5）可以得到=196.0898最终得到附加增益放大的超前教正网络传递函数为 （4-6）之后开始绘制校正后的根轨迹首先，现在matlab中新建m文件，并输入以下代码 num1=0.02725; num2=196.0898*1 7.5; num=conv(num1,num2); den1=0.0102125,0,-0.26705; den2=1 32.6706; den=conv(den1,den2); G1=tf(num,den); rlocus(num,den)得到校正后的根轨迹如下图所示 图4-2 校正后的根轨迹从这张图我们可以明显看出，校正后的系统相比于校正之前，系统的性能有了非常明显的改善，接下来绘制一张校正后的阶跃响应图，新建m文件，并键入以下代码： num1=0.02725; num2=196.0898*1 7.5; num=conv(num1,num2); den1=0.0102125,0,-0.26705; den2=1 32.6706; den=conv(den1,den2); G1=tf(num,den); G=feedback(G1,1); step(G)运行之后可以得到如下的响应图 图4-3 阶跃响应图从这张图中，我们可以计算出新系统的各项性能指标如下超调量调节时间稳态误差从以上的数据来看，虽然本次校正使系统的性能得到了改善，但是还无法达到我们之前要求到的超调量的性能指标，所以我们需要通过改变校正环节中的各项参数来调整系统，是之能够达到系统设计要求。4.3控制器的再一次调整（1） 改变增益我们先将增益调大至，并观察其阶跃响应曲线。首先建立m文件，并输入以下代码num1=0.02725;num2=196.0898*1 7.5;num=conv(num1,num2);den1=0.0102125,0,-0.26705;den2=1 32.6706;den=conv(den1,den2);G1=tf(num,den);G=feedback(G1,1)step(G)运行得到相应曲线图 图4-4 调大后的阶跃响应曲线从这张图上，我们可以看出，系统的稳态误差已经有了十分明显的改善，但是超调量并没有发生十分明显的变化，并且系统的调节时间变长了，而且震荡也变得比之前剧烈了很多，这样的结果依然无法满足，我们再设计控制器之前所提出的各项要求，所以我们要改变其它的参数，是整个系统的性能得到进一步的改善。（2） 调节控制器的零极点通过一些尝试，我发现增大极点绝对值和减小零点的绝对值，都会为整个系统带来一些较为积极的改变，所以本次尝试中，我在原有的的基础之上，又将零点改为-6，极点改为-140,重新进行调试，由于程序与之前相比改变不大，所以此处不再给出，改变之后的阶跃响应曲线如下图所示 图4-5 改变零极点之后的曲线从这张图中，我们可以看出，系统的超调量已经有了非常明显的改善，而且调节时间也不错，唯一不足的是，稳态误差比较大，不理想，所以还需要进一步进行调整。（3） 三参数联动调节通过以上的尝试，我已经有了一些调整各个参数的经验，所以本次同时调整多个参数以争取达到最好的调节效果。经过多次调试以后，我确定了控制器的最终形式如下：下图为控制器最终形式所对应的阶跃响应图 图4-6 最终形式对应的阶跃响应曲线从这张图中我们可以看出，各项指标均已经很好的满足了设计要求超调量调节时间综上所述，我们得到了满足系统要求的根轨迹控制器，其形式如下5 频域法设计5.1 频率响应分析前面我们已经得到了直线一级倒立摆的物理模型，实际系统的开环传递函数为： （5-1）其中输入为小车的加速度，输出为摆杆的角度。我们在matlab下绘制，原系统的bode图绘制bode图的代码如下num=0.02725;den=0.0102125,0,-0.26705;G=tf(num,den);bode(G)grid on可以得到bode图如下 图5-1 原系统的bode图 从Bode 图中我们可以看出系统没有穿过0dB线，故该系统是不稳定的，需要进行校正。 同时，我们也可以从奈奎斯特图看出系统的不稳定性，如下：在MATLAB 中键入以下命令：clc;num=0.02725;den=0.0102125 0 -0.26705;z=roots(num);p=roots(den);nyquist(num,den)得到原系统的奈奎斯特图如下：图5-2 直线一级倒立摆的nyquist 图可以得到，系统没有零点，但存在两个极点，其中一个极点位于右半s 平面，根据奈奎斯特稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条件是：当从- 到+ 变化时，开环传递函数G(j) 沿逆时针方向包围-1 点p 圈，其中p 为开环传递函数在右半S 平面内的极点数。对于直线一级倒立摆，由图5-2我们可以看出，开环传递函数在S 右半平面有一个极点，因此G(j) 需要沿逆时针方向包围-1 点一圈。可以看出，系统的奈奎斯特图并没有逆时针绕-1 点一圈，因此系统不稳定，需要设计控制器来校正系统。5.2串联校正装置的设计要求直线一级倒立摆的频率响应设计可以表示为如下问题：考虑一个单位负反馈系统，其开环传递函数为： （5-2）设计控制器(s) ，使得系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为50 ，增益裕量等于或大于10dB。5.3控制器设计1) 选择控制器 上面我们已经得到了系统的Bode 图，可以看出，给系统增加一个超前校正就可以满足设计要求，设超前校正装置为：2) 根据稳态误差要求计算增益K （5-3）可以得到：=98于是有： 3) 在MATLAB 中画出G1 (s) 的Bode 图在MATLAB 中键入以下命令：clc;num=0.02725*98;den=0.0102125 0 -0.26705;bode(num,den)添加增益后，系统的bode图为：图 5-3 添加增益后的直线一级倒立摆的Bode图从图形可以看出，系统的对数幅频特性穿过了0dB线，对应下来的相频特性为，其相角裕量为0，根据设计要求，系统的相位裕量为50因此需要增加的相位裕量为50。又由于增加超前校正装置会改变Bode 图的幅值曲线，这时增益交界频率会向右移动，必须对增益交界频率增加所造成的G1 (j) 的相位滞后增量进行补偿，通常在所要求的相角裕量后再加上5-12，故可取相角裕量按m =50+8=58 进行计算。要获得55的相角裕量，相角应为-180+58=。由于 计算可以得到： = 12.16214）确定装置 由，代人算出,我们选择此频率作为新的增益交界频率，这一频率相应于，于是可以计算出 于是校正装置确定为： 5) 观察校正后系统的Bode图先输入程序num1=0.02725;num2=98*0.1174 1;num=conv(num1,num2);den1=0.0102125,0,-0.26705;den2=0.00965 1;den=conv(den1,den2);G=tf(num,den);margin(G)grid on得到bode图如下 图5-4 校正后的bode图从图上我们可以得知，相角裕量Pm=58deg，幅值裕量Gm=20dB，均符合设计要求。5.4在Simulink 下对系统进行仿真启动simulink开始进行仿真，得到的仿真图如下 图5-5 频域校正仿真图运行后打开scope，可以看到下图 图5-6 scope中的内容 从上图我们可以分析出，加入超前矫正装置之后，系统变得稳定了，虽然从前面的bode图我们可以看出，系统完全满足了设计要求，但是，仿真后的结果并不是十分理想，系统的超调量大约为23%,并不是十分优秀。 综上所述，我们得出了频域法校正的结果6 PID控制器的设计6.1 PID控制器简介PID 控制器是一个在工业控制应用中常见的反馈回路部件。这个控制器把收集到的数据和一个参考值进行比较，然后把这个差别用于计算新的输入值，这个新的输入值的目的是可以让系统的数据达到或者保持在参考值。和其他简单的控制运算不同，PID控制器可以根据历史数据和差别的出现率来调整输入值，这样可以使系统更加准确，更加稳定。可以通过数学的方法证明，在其他控制方法导致系统有稳定误差或过程反复的情况下，一个PID反馈回路却可以保持系统的稳定。6.2 控制器设计要求开环传递函数：设计或调整PID控制器参数，使得校正后系统的性能指标满足：最大超调量：调整时间：6.3 PID控制器仿真打开matlab/sumilink，设计仿真图如下： 6-1 仿真图之后开始仿真，PID控制器的参数调整很大程度上基于经验，由于没有任何参考，所以第一次实验时我们将参数设定为PID分别设定为200、10,10，观察结果。从scope1，我们观察到的结果如下 ： 6-2 首次仿真结果从这次仿真的结果我们可以看出，虽然仿真后达到要求，但是超调量超过了30%，不符合要求，我们需要增大和，在进行尝试， 6-3 第二次仿真结果上图的结果，对应的PID值为200,180,16，从图上的结果我们可以看出，调节时间符合要求，但是超调量依然不理想，并且稳态误差并没有完全消除，所以必须继续调整和调整超调量，并且在适当的时候，也要改动使稳态误差不至于过大，且不会使系统变得不稳定，这样的设计结果才能满足要求。经过多次的反复尝试，我们终于得到了最终的实验结果：=200，=250，=20Scope中的图像如下： 6-4 scope最终结果从最终结果获得的图像来看，超调量得到了一定的改善，但是调节时间有了一定的增加，从这样的实验结果我们可以更加深刻的理解到：各种性能指标之是间相互制约的关系，改善了某个性能指标后，其他的性能指标必然会变差，不存在完美的系统。综上所述，我们经过多次反复调试所获得的结果：=200、=250、=20是可以满足设计要求的。 7总结及心得体会 本次的课程设计结束了，通过这次课程设计我学会了很多有用的东西，现在对我这两周以来的工作进行一次总结。1) 首先，通过分析，我发现直线一级倒立摆本身是不稳定的系统，但通过数学建摸分析可