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9.79.7 向量到子空间的距离向量到子空间的距离 一、一、向量到子空间的距离向量到子空间的距离 9.7 9.7 向量到子空间的距离向量到子空间的距离 二、最小二乘法二、最小二乘法 9.79.7 向量到子空间的距离向量到子空间的距离 1. 向量间的距离 长度 称为向量 和 的距离， 基本性质 （i） （ii） 并且仅当 的等号才成立； （iii）(三角形不等式) 一、一、向量到子空间的距离向量到子空间的距离 定义 记为 9.79.7 向量到子空间的距离向量到子空间的距离 2.向量到子空间的距离 (1) 设 为一固定向量 ，如果 与子空间 中 每个向量垂直， 称 垂直于子空间 记作 如果 则 注注 : : 9.79.7 向量到子空间的距离向量到子空间的距离 (2) 向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短. 如图示意，对给定 ，设 是 中的满足 的向量，则 对 有 9.79.7 向量到子空间的距离向量到子空间的距离 因 是子空间， 则 由勾股定理 证明： 故 所以 9.79.7 向量到子空间的距离向量到子空间的距离 二、二、最小二乘法最小二乘法 问题提出: 实系数线性方程组 （1） 即任意 都可能使 （2） 不等于零 可能无解， 9.79.7 向量到子空间的距离向量到子空间的距离 设法找实数组 使（2）最小, 这样的 为方程组（1）的最小二乘解， 此问题叫最小二乘法问题. 最小二乘法的表示: 设 （3） 9.79.7 向量到子空间的距离向量到子空间的距离 用距离的概念，（2）就是 由（3）, 设 则 要找 使（2）最小，等价于找子空间 中向量 使 到它的距离 比到 中其它向量的距离都短. 9.79.7 向量到子空间的距离向量到子空间的距离 设 这等价于 （4） 即 这样（4）等价于 （5） 为此必 或 这就是最小二乘解所满足的代数方程. 9.79.7 向量到子空间的距离向量到子空间的距离 已知某种材料在生产过程中的废品率 与某种 化学成份 有关下列表中记载了某工厂生产 中 与相应的 的几次数值： 找出 对 的一个近似公式. 例题 9.79.7 向量到子空间的距离向量到子空间的距离 把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势 近于一条直线因此我们决定选取 的一次式 来表达当然最好能选到适当的 使得下面的等式 解： 都成立. 9.79.7 向量到子空间的距离向量到子空间的距离 实际上是不可能的任何 代入上面各式都发生 些误差.于是想找到 使得上面各式的误差的平方 和最小，即找 使 最小. 易知 9.79.7 向量到子空间的距离向量到子空间的距离
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