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文档简介
3.3 3.3 向量组的秩向量组的秩 一 两个向量组的问题 设向量组 如果（1）中的每个向量都可以被（2）中的向 量线性表出，则称向量组（1）可以被向量组（2 ）线性标出； 若向量组（1）、（2）可以互相线性表出，则 称这两个向量组等价。 向量组的等价特点：向量组的等价特点： （1）自反性； （2）对称性； （3）传递性 ； 定理定理1 1 如果向量组（2）可以由向量组（1）线性表 出，且ts, 则向量组（2）线性相关。 证明（不要求掌握，参考课本P278） 推论：如果向量组（推论：如果向量组（2 2）线性无关，且它可）线性无关，且它可 以由向量组（以由向量组（1 1）线性表出，则）线性表出，则t=st=s 定义 设 是m个n元向量。若其中存在r 个向量线性无关，但任意r+1个向量都线性相关， 则称向量组 的秩为r,记为秩 。 例 求此向量组的秩！ 定理 向量组 线性相关的充分必要条 件是：秩 m 定义 设向量组 的秩为r,则 中任意r个线性无关的向量都称为 的极大线性无关部分组，简称为极大 无关组。 例 研究下列向量组的极大无关组 解 整理得到 性质 向量组与其任一极大无关组都等价。 性质 定理 一个向量组的秩是唯一的。 定理 一个向量组的极大无关组并不唯一。 定理 若向量组（1）可以由向量组（2）线性表出 ，则向量组（1）的秩小于等于向量组（2）的秩。 推论 若向量组（1）、（2）等价，则这两个向量 组的秩相等。 推论 一个向量组的两个最大线性无关组等价；向 量组和它的最大线性无关组等价。 向量组的秩和最大线性无关组的求法向量组的秩和最大线性无关组的求法 定理：对矩阵A作初等行变换化为矩阵B， 则矩阵A与B的任何对应的列向量组具有相 同的线性相关性。 求法：只要把矩阵A作初等行变换化为阶梯 型矩阵B，就很容易确定矩阵B中的列向量 的最大线性无关组，从而可以确定矩阵矩 阵A的最大线性无关组。 例题：设向量组例题：设向量组 求此向量组的秩和一个最大线性无关组，并把其求此向量组的秩和一个最大线性无关组，并把其 余的向量用这个极大线性无关组表示出来。余的向量用这个极大线性无关组表示出来。 最大线性无关向量组的概念： 最大性、线性无关性 2 关于向量组秩的一些结论： 3 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩
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