高等代数中概念、实例、定理的内涵、背景与应用.ppt

高等代数中概念、实例、定理 的内涵、背景与应用 陈尔明 华侨大学 数学系 高等代数教学内容中, 有一些内容表面上 是孤立的, 但实际上很多这样的内容都有其生 动的背景与应用. 这反映了数学个学科间的广 泛联系. 了解有关的联系, 提高我们的综合数 学修养, 会使我们得到对教学内容更精确与深 入的理解, 更好的掌握教学, 得到更丰富的与 学生交流的素材. 下面我们列举若干这类内容, 以说明这方 面的问题. 1. 向量空间的概念 我们常把向量空间的概念与中学里平面解 析几何的内容做类比. 但有的学生也问: 为什 么向量空间的理论中不研究坐标平移. 实际上 向量空间的概念是纯代数的. 回答上面的问题, 我们需要其几何化的概念, 这就是仿射空间的 概念. 在微分流形、张量分析的教材中有相应 的公理化的定义. D.1 设V是n维向量空间, A是一个非空集, A中的元素称为点,如果存在映射 , 使得A中任意一对有序点P,Q映为V中的一个向 量 ,且满足: (1) (2) 存在唯一的一点 ,使得 (3) 恒成立 则称A是n维仿射空间. V是其伴随的向量空 间. 在A中任取一点P, 及V中一个基底 ,则 为A中一个标架. 利用n维仿射空间的理论与中学里平面解 析几何内容相类比, 就可以很好的回答上面的 问题了. 2. Vandermonde 行列式的应用 在一般教材中, Vandermonde 行列式常作 为一个行列式计算的实例而出现. 实际上它本 身有许多重要的应用. 我们举一例. 把Vandermonde 行列式应用于下面拓扑 学定理的证明,可以得到非常简洁的陈述.下述 定理中的n维单纯复形K是指: 次数不超过n的 一些不同维数的单形的集合, 他们要规则放置. 定理2 任意n维单纯复形K可以嵌入 中. 证明: 因为K可以与一个抽象复形同胚, 我们 考虑K为抽象复形. 设K的全部顶点为 , 选择 中m+1个点, 他们有性质: 其中有2n+2 个是独立的. 注意m可能比n大很多. 这件事这样 办到: 取m个点 , . 利用Vandermonde 行列式可知: 方程组: 只有0解, 所以上面m+1个点中任意2n+2个都是 独立的. 也称为这m+1个点处于一般位置. 然后 把这m+1个点与K的 m+1个顶点对应,再按K的 单形相对应的单形. 这些单形是否构成一复形, 只需证明: 任意两个单形的交如果不空, 则其交 是他们的公共面. 由于复形K是n维的, 其单形的 最大维数是n, 所以两个单形的顶点的总和不超 过2n+2, 从而在我们构造中是独立的.他们张成 中一个单形,上面所述两单形是此单形的两个面, 这两个面的交当然是这两个面的公共面, 如同正 4面体的任意2个2维面的交若不空, 是1维的公共 棱, 或0维的公共顶点, 而不会是其它的任意的 情形. 证毕. 这个结论是比较深刻的. 他体现在复形的 维数固定, 他的顶点个数可以是任意大的有限 数，所以其证明有一定难度. 3. 对称变换的一个背景 在高等代数教材中, 对称变换是欧氏空间中 的一个内容, 在教材中他的出现是比较孤立的.但 是他实际是一些具体现象的抽象. 在若干具体背 景中微分几何中的背景是较生动的一个. 首先来看对称变换的定义: D. 欧氏空间中对任意 , 满足关系: 的 的线性变换 ,称为对称变换. 微分几何中有一种重要的映射, 称为Weingarten 映射. 为此首先明确Gauss映射. D. 曲面每一点有一个单位法向量n(u,v),将 其起点平移至原点O，我们就得到Gauss映射g, 它使g(r(u,v)=n(u,v) 则Weingarten映射为：W=-. 易知W是对称变换. 对称变换具有下列性质 : Th. n维欧氏空间的一个对称变换的属于 不同本征值的本征向量彼此正交. 这个性质对应着微分几何中在曲面上一 点处, 有两个正交的共轭方向. 而共轭方向是 描述一点的邻近处曲面的形状的重要概念. 了 解了与对称变换相关的具体现象, 我们就有了 更生动的理解. 4Jordan分解、标准型的应用 Jordan分解是关于线性变换的较深刻的结论. 他有很多重要应用. 其中, 有两方面的应用意义重 大. (1) 在动力系统中的应用 自治型微分方程 是最简单最重要的 方程. 当我们可以经坐标变换使方程变形, 当A经 坐标变换化为Jordan标准型, 我们就可以定性的判 断方程解的动力形态. (2) 在Lie代数中的应用 我们知道Lie代数中有一种重要运算, Poisson 括号积. 由两个线性变换A,B构成的线性变换AB- BA即为一括号积. 所以有限维空间上线性变换以 此为积构成Lie代数, 这是最重要最基本的Lie代数. 对此Lie代数研究其半单子代数与线性变换分解为 半单的与幂零的线性变换密切相关, 且任意Lie代 数又都有伴随表示, 即与一个线性变换构成的Lie 代数同态. 所以, 把一个线性变换分解为半单的与 幂零的线性变换的和是非常重要的, 从而Jordan分 解及向量空间按一线性变换分解为根子空间的直 和是经常需要的. 5.多元多项式 教材中对多元多项式的介绍一般不多.但 是多元多项式的理论对现代数学的发展至关重 要.了解一些相关的知识非常必要. (1) n元齐次多项式 齐次多项式有一个简单的性质: 若一个点p 是齐次多项式 的根,则cp也是其根. 即含有p的1维子空间上的每一点都是其根. 而1 维子空间为n维射影空间的一点: 故齐次多项式 可表示n维射影空间的一曲线. (2)结式 结式可以表示两多项式的公共零点的情形. 在代数几何种有广泛应用. 我们引用一段简单证 明说明他的应用. P. 在Rx,y中(Y)是V(Y)的最大定义理想. 因为若(Y)非最大, 则有多项式p在V(Y)上取值 0, 且p不在(Y)中, 与Y互素. 那末, 结式 . 且 只含有有限个点所以p不能在V(Y) 上每都取0. 从而说明V(Y)最大定义理想. 6正定、半正定二次型的应用 正定二次型在优化理论中有重要应用. 凸 性在优化理论中有重要作用, 而凸性与半正定 性密切相关. D. , f 称为S上的凸函数, 如果对任 意 , 有 成立. Th.6 设 是非空开凸集，f 是定义在S上 的二次可微函数,则f 是凸函数的充分必要条 件是在S的每一点Hesse矩阵正半定. 如果每一点Hesse矩阵正定,则f 是严格凸 函数. Hesse矩阵是由f 的2阶偏导构成的矩阵. Hesse矩阵是对称的实矩阵。 我们想表达的是教学与科研相辅相 成, 教学与科研一样无止境. 提高教学水 平有很多方面的工作, 其中数学修养的提 高是改进教学水平的重要方面之一. 也说 明即使我们很熟悉的基础课教学, 也需要 不断学习, 不断作小学生. 参考文献 1 微分流形初步, 陈维桓, 北京大学出版社1998 2 张量分析及应用, 李开泰等, 科学出版社 2004 3 Algebraic Topology , C.R.F. Maunder, Cambridge press 1980 4 微分几何初步, 陈维