机械力学应力分析.ppt

第六章 弯曲应力 61 梁的正应力 一、纯弯曲与平面假设 1、纯弯曲梁或 梁上的某段内各横截面 上只有弯矩而无剪力(如 图51中的CD段)。 2、 横力弯曲梁或 梁上的某段内各横截面上 既有弯矩又有剪力(如图6 1中的AC、BD段)。 a l AB a A CD (a) F F 图61 FS图 M图 (b) (c) F F Fa 3、梁的纯弯曲实验 横向线(mn、pq）变形后 仍为直线，但有转动；纵向 线变为弧线，且上缩下伸； 横向线与纵向线变形后仍保 持垂直。 由梁变形的连续性可知： 在梁中一定有一层上的纤维 既不伸长也不缩短，此层称 为中性层。中性层与梁横截 面的交线称为中性轴。 图62 (b) (a) m n p q m n p q FF C D 4、根据表面变形情况，对纯弯曲变形下作出如下假设： （1）平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是 绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横 截面与梁弯曲后的轴线保持垂直。 （2）单向受力假设 梁的纵向纤维处于单向受力状态，且纵向纤维之间的相 互作用可忽略不计。 二、正应力公式的推导 1、几何方面 相应的纵向线应变为 ： （61） 弧线O1O2的长度为： (a) 距中性层为 y 处的纵向纤维ab 的伸长为 ： (b) 图63 (b) 中性层 中性轴 ab O1 O2 m n p q (a) dx m n p q d y (c) dx a b O2 O1 2、物理方面 将式 代入，得 （62） 此式表明，梁横截面上的正应力与其作用点到中性轴的距离成正比， 并且在y坐标相同的各点处正应力相等，如图54所示。 图64 梁的各纵向纤维均处于单向受力状态，因此，在弹性范围内正应力与线 应变的关系为： (c) 3、静力学方面 由图64可以看出，梁横截面 上各微面积上的微内力dFN=dA 构成了空间平行力系，它们向截面形心简化的结果应为以下三个内力分量 ， 由截面法可知，上式中的FN，My均等于零，而MZ就是该截面上的弯矩 M，所以有 (d) (e) (f) 图64 又 因为 不等于零，所以有 (g) 即梁横截面对中性轴（z轴）的静矩等于零。由此可知，中性轴通过横截面 的形心，于是就确定了中性轴的位置。 (d) (e) (f) 由式（e）可得 因此 (h) 即梁横截面对y、z轴的惯性积等于零，说明y、z轴应为横截面的主轴，又y、z轴过 横截面的形心，所以其应为横截面的形心主轴。 (d) (e) (f) 最后由式（f）可得 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。 将式（63）代入式（62），可得梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应 力的计算公式为 （64） （63） 即有 y zO dA y z h b 应用此式时，如果如图中那样取 y轴向下为正 的坐标系来定义式中 y 的正负，则在弯矩 M 按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应 力的正负自动表示拉应力或压应力。但实际应 用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正 应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力 为拉应力还是压应力；在此情况下可以把式中 的 y 看作求应力的点离中性轴 z 的距离。 三、梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为 （64） 四、横截面上的最大应力 yc,max yt,max y z b d1 h O d2 中性轴 z 为横截面对称轴的梁 其横 截面上最大拉应力和最大压应力的 值相等；中性轴 z 不是横截面对称 轴的梁 (如图) ，其横截面上的最大 拉应力和最大压应力的值不相等。 中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应 力的值为 （65） 式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数，其单位为m3。 横截面上应力分布 h b z y o yc,max yt,max y z b d1 O d2 中性轴 z 不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉应力 值和最大压应力值为 在竖向荷载作用下，通常梁横截面上不仅有弯矩而且有剪 力，这种情况下我们称之为横力弯曲。而实际工程中的梁 ，大多发生的都是横力弯曲。对于工程实际中常用的梁， 应用纯弯曲时的正应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横 截面上的正应力，所得的结果虽略偏低一些，但足以满足 工程中的精度要求。 五、横力弯曲 解：先求出C截面上弯矩 例题61 长为 l 的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知 h =0.18m，b=0.12m，y =0.06m，a=2m，F=1.5kN，求C截面上K点的正应力 。 例题61图 截面对中性轴的惯性矩 将MC、Iz、y代入正应力计算公式，则有 K点的正应力为正值，表明其应为拉应力。 62 梁的正应力强度条件及其应用 一、梁的正应力强度条件 对梁的某一横截面来讲，最大正应力发生在距中性轴最 远的位置，此时 而对整个等截面梁来讲，最大正应力应发生在弯矩最大的横截 面上，距中性轴最远的位置，即 （65） 式中的Wz称为弯曲截面系数，它与梁的截面形状和尺寸有关。 对矩形截面 对圆形截面 各种型钢的截面惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz的数值，可以在 型钢表中查得。 为了保证梁能安全的工作，必须使梁横截面上的最大正应 力不超过材料的许用应力，所以梁的正应力强度条件为 （66） 式中的Wz称为弯曲截面系数，它与梁的截面形状和尺寸有关。 二、三种强度问题的计算 根据式（66）可以求解与梁强度有关的三种问题。 （2）选择截面 （3）确定许用荷载 （1）强度校核 由梁的弯矩图可以看出，梁中 最大弯矩应发生在跨中截面上， 其值为 弯曲截面系数为 由于最大正应力应发生在最大弯 矩所在截面上，所以有 所以满足正应力强度要求。 例题6-2 一矩形截面简支木梁如图所示，已知l=4m，b=140mm， h=210mm，q=2kN/m，弯曲时木材的许用正应力=10Mpa，校核该梁的 强度。 例题52图 解：先画梁的弯矩图（图b） 。 例题62图 例题53 图 例题63 一形截面的外伸梁如图所示。已知：l=600mm，a=110mm， b=30mm，c=80mm，F1=24kN，F2=9kN，材料的许用拉应力t=30MPa，许 用压应力c=90Mpa,试校核梁的强度。 （2）确定截面形心C的位置 （3）截面对中性轴的惯性矩 解：（1）先画出弯矩图（图b） 例题63 图 （4）强度校核 因材料的抗拉与抗压强度不同，而且截面关于中性轴 不对称，所以需对最大拉应力与最大压应力分别进行校核。 校核最大拉压力。由于截面对中性轴不对称，而正、负弯 矩又都存在，因此，最大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最 大的截面上。应该对最大正弯矩和最大负弯矩两个截面上的 拉应力进行分析比较。在最大正弯矩的C截面上，最大拉应力 发生在截面的下边缘，其值为 在最大负弯矩的B截面上，最大拉应力发生在截面的上边缘，其值为 校核最大压应力。首先确定最大压应力发生在哪里。与分 析最大拉应力一样，要比较C、B两个截面。C截面上最大压 应力发生在上边缘，B截面上的最大压应力发生在下边缘。 因MC 和y1分别大于MB与y2，所以最大压应力应发生在C截面上 ，即 由以上分析知该梁满足强度要求。 例题64 如图所示的简支梁由工字钢制成，钢的许用 应力=152MPa，试选择工字钢的型号。 例题64 图 解：先画出弯矩图如图b所示。 例题64 图 梁的最大弯矩值为 由梁的正应力强度条件可得梁所必需的 弯曲截面系数 由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为 此时最大正应力 超过许用应力值152MPa不到1%，故可选用56b号工字钢。 (b) M图 375kN.m 281kN.m281kN.m 63 梁横截面上的切应力 梁的切应力 强度条件 1、两点假设 （1）横截面上各点处的切应 力均与侧边平行。 （2）横截面上距中性轴等距 离各点的切应力相等。 2、切应力公式的推导 一、矩形截面梁的切应力 图65 微段梁上的应力情况如图106b所示。 从图55所示的梁中取出长为dx的微段，如 图5-6a所示。 图66 FS M FS M+dM dx (a) 现假设用一水平截面将微段梁截 开，并保留下部脱离体，由于脱离体 侧面上存在竖向切应力，根据切应 力互等定理可知，在脱离体的顶面上 一定存在切应力，且=,如图 106c所示。 微段梁上的应力情况如图66b所示。 (b) dx dx (c) y y z 得 （a） 由 以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、 右侧面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切 应力的总和，如图66d。 dx (d) FN2FN1 dFS 其中 （b） 式中的A1是横截面上距中 性轴为y的横线以外部分 的面积（图66e）， 是A1对中性轴的静矩。 b h z y A1 (e) y 同样有 （c） 由于微段的长度很小，脱离体水平截面上的切应力可认为是 均匀分布的，所以有 （d） 将FN1、FN2、dFS代入式（a），得 经整理得 （68） 式（68）即为矩形截面梁横截面任一点的切应力计算公式。 式中：FS为横截面上的剪力；S z*为面积A1对中性轴的静矩； Iz横截面对中性轴的惯性矩；b为截面的宽度。 （68） 对于矩形截面梁，由图67a可知 图67 max (b) b h z y A1 (a) y 将其代入式（68），可得 式中的A=bh是横截面的面积。由此可见，矩形截面梁 横截面上的最大切应力是截面上平均切应力的1.5倍。 此式表明矩形截面梁横截面上切应力沿梁高按二次抛物线形 规律分布。在截面上、下边缘（ ）处，=0，而在中 性轴上（y=0）的切应力有最大值，如图57b。即 max (b) b h z y A1 (a) y 例题65 一矩形截面的简支梁如图所示。已知： l=3m，h=160mm，b=100mm，y=40mm，F=3kN，求m m截 面上K点的切应力。 解：先求出m m截面上的剪力为 3kN，截面对中性轴的惯性矩为 面积A*对中性轴的静矩为 则K点的切应力为 习题65图 F l/3l/3 F A l/3 B l/6 m mz b K y h y * A* 二、工字形截面梁的切应力 工字型截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。 1、腹板上的切应力 由于腹板是狭长矩形，完全可以采用前述两个假设，因此上节推导的切应力 的计算公式，对于工字型截面的腹板来讲也是适用的，即 式中：FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到截面边缘间的面积对中性轴 的静矩；Iz为横截面对中性轴的惯性矩；b1为腹板的厚度。 切应力沿腹板高度的分布规律如图58a所示，仍是按抛物线规律分布，最 大切应力max仍发生在截面的中性轴上。 图68 翼缘上的切应力的情况比较复杂，既有平行于y轴的切应力 分量（竖向分量），也有与翼缘长边平行的切应力分量（水 平分量）。当翼缘的厚度很小时，竖向切应力很小，一般不 予考虑。 翼缘上的水平切应力可认 为沿翼缘厚度是均匀分布的 ，其计算公式仍与矩形截面 的切应力的形式相同，即 式中FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到翼缘边缘间的 面积对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的惯性矩；为翼缘 的厚度。 2、翼缘上的切应力 图68 水平切应力沿水平方向的分布如图58b所示。实践和理论 推导已经证明，在整个工字型截面上切应力的方向可用图 58c表示。从图中表示切应力方向的许多小箭头来看，它们 好象是两股沿截面流动的水流，从上（或下）翼缘的两端开 始，共同朝向中间流动，到腹板处汇合成一股，沿着腹板向 下（或上）到下（或上）翼缘处再分为两股向两侧流动。对 所有的薄壁杆，其横截面上切应力的方向，都有这个特点。 这种现象称为切应力流。掌握了切应力流的特性，则不难由 剪力的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。 图68 三、T字型截面梁的切应力 T字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面的狭长矩形与工字形截面的腹板 相似，该部分上的切应力仍用下式计算： 最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。 四、圆形及环形截面梁的切应力 圆形截面 圆形及薄壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在中性轴上，并沿中性轴均匀 分布，计算公式分别为 式中FS为横截面上的剪力，A为圆形截面的面积。 薄壁环型截面 式中FS为横截面上的剪力，A为薄壁环型截面的面积。 五、梁的切应力强度条件 整个等截面梁来说，最大切应力应发生在剪力最大的横截 面的中性轴上，即 （69） 为了保证梁的安全工作，梁在荷载作用下产生的最大切应力 不能超过材料的许用切应力，即 此式即为切应力的强度条件。 在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力强度条件和 切应力强度条件。一般情况下，梁的强度计算由正应力强度 条件控制。因此，按正应力强度条件设计的截面常可使切应 力远小于许用切应力。所以一般情况下，总是根据梁横截面 上的最大正应力来设计截面，然后再按切应力强度条件进行 校核。但在少数情况下，梁的切应力强度条件也可能起到控 制作用。例如梁的跨度较短，或在支座附近作用有较大的荷 载，因而使梁中出现的弯矩较小而剪力很大时；在铆接或焊 接的组合截面钢梁中，其横截面的腹板厚度与高度之比小于 一般型钢截面的相应比值时。 解：（1）校核最大正应力 弯矩图如图c所示，最大正应力应发生在最大 弯矩的截面上。查型钢表可知 例题66 一外伸工字型钢梁如图a所示。工字钢的型号 为22a，已知：l=6m，F=30kN，q=6kN/m，材料的许用应力 =170MPa，=100MPa,试校核梁的强度。 (a) B D C l/3 q A F l/2l/2 12kN 17kN 13kN (b) FS图 12kN.m 39kN.m (c) M图 例题66 图 则最大正应力 （2）校核最大切应力 剪力图如图b所示，最大切应力应发生在最大 剪力的截面上。查型钢表可知 则最大切应力 所以此梁安全。 例题67 图a所示为一起重设备简图。已知起重量（包含电葫芦自重 ）F=30KN，跨长l=5m。AB梁是由20a号的工字钢组成，其许用应 =170Mpa，=100Mpa。试校核梁的强度。 l AB F (a) AB F (b) 37.5kN .m (c ) AB F (d) FRAFRB FS,m ax (e) 例题67图 解：（1）校核最大正应力 在荷载处于最不利位置时，梁的弯矩图如图c， 最大弯矩值为 由型钢规格表查得20a号工字钢的Wz为 则梁的最大正应力 （2）校核最大切应力 校核切应力时的最不利荷载位置如图d所示，相应的剪 力图如图e。 对于20a号工字钢，利用型钢表规格表查得 于是梁的最大切应力 梁的正应力和切应力强度条件均能满足，所以梁是安全的。 64 梁的合理截面形状及变截面梁 一、梁的合理截面形式 梁的合理截面形式是在截面面积相同的条件下具有较大的 弯曲截面系数。 矩形截面、正方形截面和圆形截面在截面面积相同条件下其合理性的比较。 da b h b h (a) (b) (c)(d) 图69 矩形和正方形的比较 说明此时矩形截面比同样面积的正方形截面合理。 当 时（图59a） 由hb=a2知 从而 即 ， ， 当 时（图59b），可得 ，即 ，说明此时矩形截面 不如同样面积的正方形截面合理。 正方形和圆形的比较 由 ， 得 ， 于是 这说明正方形截面比同样面积圆形截面合理。 由以上的分析可以看出，Wz值