数学专业毕业论文--优化方法与程序设计研究.docx

浙江大学数学与应用数学 毕业设计优化方法与程序设计研究一最优化理论与方法综述优化理论是以数量分析为基础，以寻找具有确定的资源、技术约束的系统最大限度地满足特定活动目标要求的方案为目的，帮助决策者或决策计算机构对其所控制的活动进行实现优化决策的应用性理论。优化理论又称为数学规划，依据优化理论对具体活动进行数学规划的方法成为优化方法。在中国，优化理论通常被划为运筹学的范畴，所以在有些书籍中，线性规划理论被称为运筹学的一个分支。优化理论的主要分支结构为：优化理论线性规划整数规划目标规划非线性规划动态规划随机规划最优化理论与算法是一个重要的数学分支，它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。这类问题普遍存在。例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排工厂、机关、学校、商店、医院、住户和其他单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。最优化这一数学分支，正是为这些问题的解决，提供理论基础和求解方法，它是一门应用广泛、实用性强的学科。最优化问题数学模型的一般形式为： 无约束优化问题的解法解析解法数值解法：最速下降法；Newton法；共轭梯度法；拟Newton法；信赖域法约束优化问题的解法解析方法：Lagrange法数值解法：外罚函数法内障碍罚函数方法广义Lagrange乘子法序列二次规划方法线性规划的解法：单纯形法：小型对偶单纯形法内点算法：大型整数规划的解法：分支定界法割平面法求解非线性规划问题的MATLAB命令为 1)x=constr(fun,x0) 2)x=constr(fun,x0,options) 3)x=constr(fun,x0,options,vlb,vub)实例：设有400万元资金, 要求4年内使用完, 若在一年内使用资金x万元, 则可得效益万元(效益不能再使用),当年不用的资金可存入银行, 年利率为10%. 试制定出资金的使用计划, 以使4年效益之和为最大.设变量表示第i年所使用的资金数,则有 建立函数文件FUN44.Mfunction f,g=fun44(x)f=-(sqrt(x(1)+sqrt(x(2)+sqrt(x(3)+sqrt(x(4);g(1)=x(1)-400;g(2)=1.1*x(1)+x(2)-440;g(3)=1.21*x(1)+1.1*x(2)+x(3)-484;g(4)=1.331*x(1)+1.21*x(2)+1.1*x(3)+x(4)-532.4;键入命令x0=1;1;1;1;vlb=0;0;0;0;vub=;options=;x=constr(fun44,x0,options,vlb,vub)fun44(x)得到 二多因素条件下作物施肥效果分析本文是关于作物施肥数量与结构的优化问题，根据不同目标对施肥量与肥料搭配比例进行调整，达到各目标的最优。首先，基于一元线性回归模型，以一种肥料作为自变量，另外两种肥料固定在第七水平，建立了六个一元回归方程，分别研究某一种肥料变化时，该肥料施肥量与产量的关系。根据散点图趋势，初步选取适当的一元函数，为了使散点图更直观准确，将原数据进行无量纲化处理，得到0到1间的值。利用eviews软件进一步对一元函数进行拟合，选取显著性最高的拟合结果，求解时，对非线性的回归方程，通过取对数将其线性化，得到结果后再将其转换成原函数形式，最终得到六个反映施肥量与产量关系的一元回归模型。为了提高六个回归方程整体的显著性，本文以三种肥料的施肥量同时作为自变量，建立三元二次回归模型，检验均通过，并具有高度的显著性，拟合效果较好。其次，基于问题一中的一元线性回归模型与三元二次回归模型分别求解回归方程的最大值，即产量最大值。比较两个模型的结果，看出，由三元二次回归模型得到的产量更大，其中土豆与生菜产量的最大值分别为44.95t/ha，23.04t/ha。土豆对应的N、P、K肥料的施肥量分别为293.13kg/ha，250.0kg/ha，540.0kg/ha。生菜对应的N、P、K肥料的施肥量分别为212.06kg/ha，426.91kg/ha，665.69kg/ha。再次，考虑到施肥的经济性，以产值和施肥费用作为自变量，以总收益作为因变量，建立收益最大化模型。分别基于反映产量与施肥量关系的一元回归模型与三元二次回归模型，进行求解。由一元回归模型得到结果，当生菜K肥施肥量无穷大时，收益也趋近于无穷大，显然不合理，本文以一元二次函数对六个回归方程重新进行拟合，检验看出，显著性不高，但基于新的回归方程得到的结果更加合理，更符合实际情况，具有较高的实用性。基于三元二次回归模型进行求解时，通过（0,0,0,0）点的引入，增加了三种肥料交互影响产生的交叉项，避免了肥料搭配不合理造成的大量浪费。比较两种模型的结果看出，基于三元二次回归方程得到的收益更大，土豆与生菜的最大值分别为102500元/公顷，52023元/公顷。再次，引入环保因素时，通过两种方法实现，一是基于收益最大化模型，将污染指数作为限制条件，以收益最大为目标，建立线性规划收益最大化模型。二是引入目标偏差变量，以偏差变量之和最小为目标，以污染指数，肥料搭配比例作为约束条件，建立多目标规划模型，以环境指数小于25为前提，追求收益尽量大。比较两种模型的结果看出，多目标规划的的结果更符合本问的要求，土豆与生菜的最大收益值分别为，环境指数为25，属于轻度污染， K肥施肥量超过满意值，但K肥适当增加能够增大收益，对土地没有造成污染，收益实际值与满意值相差不大，结果比较合理，符合本问的要求。 最后对模型应用效果作量化估计，难点在于如何对优化模型进行改进，得到评价模型。本文利用多目标规划结果中满意值与偏差值的差值占满意值的比例作为单目标的满意度，利用层次分析法得到单目标权重值，根据单目标的权重值与满意度求和可以得到多目标满意度，根据多目标总体的满意度对模型应用效果作量化估计。从而建立基于层次分析法与多目标规划的评价模型。最后对模型的推广作初步讨论，验证了模型较高的应用价值。 1.问题的重述 农作物生长所需的营养素主要是氮(N)、磷(P)、钾(K)。某作物研究所在某地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中ha 表示公顷，t 表示吨，kg 表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于N 的施肥量做实验时，P 与K 的施肥量分别取为196kg/ha与372kg/ha。(1)试分析施肥量与产量之间关系；(2)试以作物产量最大化为目标，建立作物施肥数量与结构的优化模型，并求解每公顷土豆和生菜的施肥量的数量和结构；(3)作物产量最大化，不一定是最经济的，请考虑施肥的经济性，建立作物施肥数量与结构的优化模型，并根据主要肥料的营养素含量、市场价格情况，以及农产品的价格情况等，优化每公顷土豆和生菜的肥料使用数量与结构；(4)有研究表明，我国大部分地区作物生产的施肥量超过了土地承受能力，除加重农民负担外，土壤退化、江河湖海的富营养化正在成为农业和环境可持续发展的严重障碍。由于施肥给蔬菜带来的污染有两个途径，其一是通过肥料中所含有的有毒有害物质，如重金属、病原微生物等直接对蔬菜或土壤的污染；其二是通过不合理施入大量氮素肥料造成蔬菜体内硝酸盐的过量积累，导致蔬菜品质和口感较差。鉴于以上情况，请在问题(3)的优化模型的基础上，进一步改进你的模型，根据实验数据，并进行合理的数值假定，优化每公顷土豆和生菜的肥料使用数量与结构。(5)对所得模型与结果从如何改进与应用价值与效果等方面做出量化估计。2.问题的假设1.假设本文搜到的数据是科学准确的，不会在短期内变动。2.假设N、P、K三种肥料都是农作物生长的基本肥料要素，本文近似认为如果三种肥料都不施用，农作物没有产量。3.假设生产的农作物可以以标准价格售出，并且其他因素的支出暂时算入收益考虑。4.假设土壤中含有N、P、K元素标准，对模型影响忽略不计。3.符号的说明主要符号符号意义N、P、K氮、磷、钾肥表示施用N肥的产量表示施用P肥的产量表示施用K肥的产量表示总产量表示蔬菜售价、表示N、P、K肥的售价、表示施用N、P、K肥的是施肥量施肥量、表示施用N、P、K肥时的收益总体满意度、 为最满意产量值、最满意效益值4.问题的分析及建模流程图本问题涉及的是作物施肥数量与结构的优化问题，要解决的问题是如何建立及深化模型，逐步引入限制因素，达到最优目标，其中如何分配施肥量的数量和结构，达到多目标最优，是需要解决的核心问题。4.1基本思路根据N、P、K肥料施肥量与作物产量的数据，构造函数可以拟合出施肥量与产量的关系，该拟合函数的最大值即对应产量的最大值。考虑到施肥的经济性时，通过对产量最大化模型进行改进，以收益最大化为目标，得到收益最大时肥料的使用数量与结构。引入环保因素时，有两种方法可以考虑实现，第一是在收益最大化模型的基础上改进，将污染指数作为限制条件，求解最大收益。第二种是将污染程度,收益作为目标，将污染指数，肥料搭配比例作为约束条件，建立多目标规划模型，得到多目标最优解。4.2具体分析问题一：分析施肥量与产量的关系，选取适当的拟合函数是关键，有两种方法。一是以一个肥料的施肥量作为自变量，将另外两个肥料的施肥量保持在第七水平，以产量作为自变量构造六个一元函数，表示三种肥料分别作为自变量时，两种作物施肥量与产量的关系。二是以三种肥料作为自变量，以产量作为因变量，构造三元函数，拟合施肥量与产量的关系。具体的函数拟合结果的求解通过eviews,Matlab软件实现。问题二：问题一中拟合函数的最大值即产量的最大值，基于问题一中的模型，通过求解其产量最大值，得到产量最大时各肥料的施肥量和结构。 问题三：考虑到施肥的经济性，以收益最大化为目标，通过作物产量与售价得到产值，求解产值时可以基于反映产量与施肥量关系的一元函数，也可以基于三元二次函数。通过施肥量与肥料售价得到施肥成本，以产值与施肥成本作为自变量。以施加肥料产生的收益作为因变量（因其它成本产生的收益为定值，近似忽略不计），构造二元函数。该函数的最大值即为收益的最大值，由此时自变量的值得到肥料使用数量与结构。问题四：引入环保因素时，有两种方法可以考虑实现，第一是在收益最大化模型的基础上改进，将污染指数作为限制条件，求解最大收益。第二种是将污染程度,收益作为目标，将污染指数，肥料搭配比例作为约束条件，建立多目标规划模型，得到多目标最优解。问题五：对模型应用效果作量化估计，难点在于如何对优化模型进行改进，得到评价模型。本文利用多目标规划结果中满意值与偏差值的差值占满意值的比例作为单目标的满意度，利用层次分析法得到单目标权重值，根据单目标的权重值与满意度求和可以得到多目标满意度，根据多目标总体的满意度对模型应用效果作量化估计。从而建立基于层次分析法与多目标规划的评价模型。最后对模型的推广作初步讨论，验证了模型较高的应用价值。4.3流程图5模型的建立与求解5.1模型的准备在长期的实践中，农学家们已经总结出关于作物施肥效果的经验规律，并建立了相应的理论11. 公理1（Nickla和Miller理论）：设为达到最高产量时的施肥量，边际产量与成正比例关系。即，从而有.2. 公里2（米采利希学说）：只增加某种养分时，引起产量的增量与该种养分供应充足时达到的最高产量与现在产量之差正比。即，从而有5.2问题一5.2.1一元线性回归模型的选择与建立为分析施肥量与产量之间的关系，本文以产量作为因变量，以施肥量作为自变量，建立一元线性回归模型研究两者间的关系，根据散点图的趋势，构造适当的一元函数进行求解。设与的函数为： （1）其中，为回归系数，为随机误差。利用最小二乘法求下式成立的函数 （2）综上建立如下一元线性回归模型： （3）5.2.2一元线性回归模型的求解 为了使散点图更直观、准确，将施肥量的数据进行量纲化处理，得到（0，1）间的值。利用Matlab软件处理数据得到N，P，K的施肥量与土豆和生菜产量的散点图。图1土豆施肥量与产量的散点图 图2生菜施肥量与产量的散点图根据散点图趋势，利用eviews软件进行多次拟合，通过P、F、DW的检验值进行判定，选取最优的一元函数。得到如下N，P，K的施肥量与土豆和生菜产量的回归模型： （4） （5）式（4）中的与式（5）中的为一元非线性回归方程，分别对，等式两边取对数，使之线性化： （7） （8）利用eviews软件计算得到: 将对数形式化为指数形式计算得到土豆的与生菜的结果。 式（4）与式（5）中的其余方程为一元线性回归方程，可直接利用eviews软件进行计算，综上得到如下结果：结果分析：从回归方程可看出，为一元二次方程，二次项系数为负数，方程有最大值。随着N肥用量的增加，农作物的产量会增加，到一定用量后产量达到最大，然后当N肥用量继续增加时，农作物的产量反而会降低。在一定范围内，农作物产量随着P肥和K肥的用量的增加一直增加。5.2.3一元线性回归模型的检验利用eviews软件处理数据，得到六组回归方程的检验值如下： 表1 一元回归方程的检验值作物肥料 土豆N0.00000.00000.00000.9862902.1419650.000000P0.00000.00010.9114792.7451480.000062K0.00000.00050.8380491.2008790.000532生菜N0.00000.00000.00010.9249071.8496640.000116P0.00120.00000.9460200.9516930.000011K0.00000.03320.4519542.4561930.033204其中、分别表示方程常数a、前系数、前系数的检验值。土豆的与生菜的为非线性方程，、对应其线性形式即式（7）、式（8）中常数、前系数的检验值。检验均通过，说明模型的拟合度较高，能够较好地反映施肥量与产量之间关系。利用Matlab软件处理原数据与回归方程，得到六组回归方程的实际值与拟合值的对比图，实际值与拟合值基本一致，进一步验证了模型的准确性。图3土豆N肥对比图 图4土豆P肥对比图 图5土豆K肥对比图图6生菜N肥对比图 图7生菜P肥对比图 图8生菜K肥对比图5.2.4模型的改进表1中回归方程的检验值均通过，六个回归方程并不都具有高度的显著性，生菜中值为0.451954，与其它五个方程的检验值有较大差异，生菜中值为0.951693，与理想值相差较大。二次函数能够较好地反映肥料施肥量与产量的关系（公理1），为了提高回归方程整体的显著性，本文将三种肥料的施肥量最为自变量，以农作物的产量作为因变量，拟合成三元二次函数，建立多元回归模型，进一步分析施肥量与产量之间关系。 （9）利用eviews软件处理数据计算得到土豆与生菜的回归方程结果及检验值： 结果分析：一元回归方程只能反映一种肥料与产量的关系，改进后的模型能够反映出三种肥料搭配情况的不同对农作物产量造成的影响，避免了多个回归方程显著性的不一致。 由，中一次项前的系数可反映各肥料对产量的影响程度，。此三种肥料的影响程度。表2三元二次回归方程的检验值作物 土豆0.0050.0000.0000.0010.0180.0000.0010.9121.4790.000生菜0.0110.0000.0000.0000.0050.0030.0200.8591.1070.000其中表示系数的检验值，检验都通过，从检验值看出两个回归方程均具有高度的显著性，拟合效果较好。5.3问题二 :模型的建立及求解5.3.1基于一元二次回归方程产量最大化模型的建立及求解本问只追求高产，则只要求出问题一中拟合出的函数的最大值即可。 分别对问题一中拟合的一元二次回归模型和改进后的三元二次回归模型进行求解。由原数据散点图及得到的拟合曲线知，N肥用量较少时，随着N肥用量增加，农作物产量会增加，到一定用量后达到最大，N肥继续增加，农作物产量反而会降低。P肥和K肥用量对农作物产量的影响随着其用量的增加而一直增加，但P和K用量少时，效果显著，当P和K达到一定值时，产量增加将不明显，因此基于一元二次回归方程求解产量最大化，可以简化为P、K肥固定在较高水平，求解产量最大化时N肥的施肥量。本文将P、K肥固定在第7水平，利用问题一中土豆与生菜的一元二次回归方程进行求解。 (10)求导，令其为零，有则，当时，取得最大值，即N肥使用量为时，产量最大。 综上得到如下模型： (11) 经计算得到P、K肥固定在第7水平时，产量最大化的结果。表3 P、K肥施肥量固定最大产量与N肥施肥量结果作物N施肥量P施肥量K施肥量最大产量土豆生菜 土豆与生菜N的施肥量分别为，产量最大，最大值分别为，。此时P、K施肥量保持在第七水平，即与。5.3.2基于三元二次回归方程产量最大化模型的建立及求解根据改进后的反映三种肥料与产量关系的三元二次函数求解目标最大值。对土豆与生菜的三元二次 ，分别求解其产量最大值与对应的，三种肥料的施肥量。 利用Matlab软件求解得到产量最大时土豆与生菜N、P、K三种肥料的施肥量与最大值如下表： 表4基于三元二次回归方程最大产量与施肥量的求解结果作物N施肥量P施肥量K施肥量最大产量土豆生菜结果分析：以产量最大化为目标，比较两个模型得到的结果，看出，基于三元二次回归方程求解得到的产量最大值更优，因此本问采用表4的结果。5.4 问题三：模型的建立及求解5.4.1收益最大化模型的建立假设当考虑到经济性时，作物产量以收益最大化为目标。使用肥料所带来的收入比用于购买肥料的费用多时，就应该施肥，否则就不应该多施肥。设某蔬菜的售价分别为，N、P及K化肥的售价分别为，施肥量为。 当施肥量为时，对于该蔬菜的产量为： (12) 该蔬菜施用N肥料的费用是： (13) 其中表示肥料的施肥量。施加肥料后的总收益为： (14) 其中表示因施加肥料产生的收益，为因其它成本产生的收益。为固定值，本文近似将看成总的收益。因此为本问追求的目标，综上可以得到如下的收益最大化模型 (15)5.4.2收益最大化模型的求解方法1：单独以一种肥料为自变量，产量为因变量，将另外两种肥料固定在第七水平，基于问题一得到的六个一元回归方程进行求解。方法2：基于以三种肥料为自变量，以产量为因变量的三元二次回归方程进行求解。5.4.2.1基于一元回归方程收益最大化模型的求解查找到的肥料与产量价格如下表。 表5肥料及产量价格（江苏农业网）商品N（元/吨）P（元/吨）K（元/吨）土豆（元/吨）生菜（元/吨）价格15603295350022002400以一种肥料施肥量作物自变量，另外两种肥料施肥量固定在第七水平，将原数据以及肥料与产量价格数据带入模型进行求解，计算得到土豆的收益表达式为：生菜的收益表达式为：利用Matlab软件求解得到如下最大收益结果： 表6作物最大收益与肥料施肥量作物收益施用量N肥P肥K肥土豆最大收益(元)928308884111506施肥量（kg）288.67410.685946生菜最大收益（元）47137134190施肥量（kg）209.0623154 其中以一种肥料施肥量作物自变量，另外两种肥料施肥量固定的第七水平值表中没有给出，例如当土豆N肥的施肥量为，P、K肥施肥量分别为第七水平值，即、时产量最大。结果分析：观察表6，看出生菜K肥施肥量无穷大时，收益也趋近于无穷大，这显然不符合实际情况，因此基于一元线性回归方程收益最大化模型需要改进。5.4.2.2基于一元二次回归方程收益最大化模型的改进根据问题中一元线性回归模型的结果，随着N肥用量的增加，农作物的产量会增加，到一定用量后产量达到最大，然后当N肥用量继续增加时，农作物的产量反而会降低，在一定范围内，农作物产量随着P肥和K肥的用量的增加一直增加。结合表5最大收益与肥料施肥量的结果，分析看出，N、P肥施肥量固定在第七水平，随着K肥的施肥量的增加，K肥成本小于产量收益会造成收益趋近于无穷大。由问题一得到的反映施肥量与产量关系的一元回归方程如下： (15) (16) 只有土豆与生菜的为一元二次函数，虽然这六个函数是通过检验值选取的，但题中数据有限，很可能产生偶然误差，显著性高并不一定能够反映作物的实际规律，根据（公理1），一元二次回归方程能够较好地反映作物产量与施肥量的关系，据此本文以六个一元二次函数重新对土豆与生菜作物产量与施肥量的关系进行拟合。 (17) 利用eviews软件处理原数据得到如下回归结果与检验值： 表7一元二次回归方程检验结果作物肥料土豆N0.00000.00000.00000.9862902.1419650.000000P0.00000.00320.02210.8644832.2173840.000916K0.00010.01970.11090.7885070.8438050.004350生菜N0.00000.00000.00010.9249071.8496640.000116P0.00020.00010.00180.9587871.5976170.000014K0.00000.51400.95390.4522352.4564590.121641其中p表示系数P值的检验，生菜中K的检验值未通过，由图9，生菜施肥量与产量的散点图观察得，散点图各点分布极不规律，本文认为是题中数据有限产生的偶然误差，对此忽略不计。 图9生菜施肥量与产量的散点图 基于收益最大化模型： (18) 利用Matlab软件求解得到如下最大收益结果： 表8作物最大收益与肥料施肥量作物收益施用量N肥P肥K肥土豆最大收益(元)928309024593661施用量（kg）288.6631251.7938534.4460生菜最大收益（元）471375319548513施用量（kg）209.0625542.84342656其中以一种肥料施肥量作物自变量，另外两种肥料施肥量固定的第七水平值表中没有给出，例如当土豆N肥的施肥量为，P、K肥施肥量分别为第七水平值，即、时产量最大。结果分析：观察表8，与表6中的结果相比，结果更加合理，更符合实际情况，改进后的模型具有较高的实用性。5.4.2.3基于三元二次回归方程收益最大化模型的求解分析表3，表4最大产量与施肥量的结果可以看出，基于如下三元二次回归方程求解造成了肥料大量的浪费。 (19)表示不施肥的产量，为非负数值而利用该函数拟合出来的常数项为负，并且没有N、P、K交叉相乘的项，没有考虑到三种肥料的交互影响，造成结果中三种肥料搭配不科学情况的出现。因此加入经济因素后再基于该函数求解是不合理的，本文将该函数进行改进。N、P、K三种肥料都是农作物生长的基本肥料要素，本文近似认为如果三种肥料都不施用，农作物没有产量。由于原点并不在数据的范围，导致了拟合误差。本文在已有数据上增加一个点，增加N、P、K三种肥料的交叉项。利用Eviews软件处理原数据与增加的点对重新进行三元二次拟合。得到反映产量与施肥量关系的三元二次方程： 表9改进的三元二次回归方程的检验值作物 土豆0.000.000.000.020.000.000.00-0.951.54生菜0.000.000.000.000.000.01-0.000.911.11检验均通过，拟合效果显著。基于收益最大化模型： (20) 利用Matlab软件计算得到如下结果： 表10作物最大收益与肥料施肥量作物最大收益(元)N肥（kg）P肥（kg）K肥（kg）土豆102500 363.98243.80620.1生菜52023271.39699.39 407.61 结果分析：比较表8与表10的结果看出，基于改进后的三元二次回归方程求解得到的收益更大，模型更理想。5.5问题四：模型的选择与建立5.5.1基于线性规划收益最大化模型的选择与建立根据文献3，化肥污染主要是氮污染，本文近似认为P、K肥不会产生污染,在宏观估算农田氮污染时，依据N肥的施肥量就可以判定N污染程度，建立了农田氮污染评价指标体系，为了便于计算，本文选取评价体系的宏观指标，并进行了改善和简化，得到如下的评价指标。 表11氮肥污染程度评价体系表污染程度无污染轻度污染中度污染重度污染强度污染污染指数70根据文献4,我国大田作物无污染的施氮量标准为每季，此范围的施氮量不会引起氮素的明显流失，称为“平均适宜施氮量”。基于收益最大化，本文取，得到污染指数计算公式。 (21) 以N、P、K肥料的调配比例为作为约束条件，以n、p、k表示三种肥料的施肥量，以N肥的施肥量表示P、K肥的施肥量，得到：，其中、和、均为常系数，可以进行人为设定。在此约束条件下，基于效益最大化模型，建立施加肥料的总收益: (22)综上建立如下线性规划收益最大化模型： (23) (24)5.5.2基于线性规划收益最大化模型的求解 文献5，经统计N、P、K肥料施加比例平均为时最有利于作物的生长，考虑到两种作物存在偶然误差，本文将该比例调整。即， ，以轻度污染作为约束条件，即 ，。根据问题三中的结果分析，通过改进后的三元二次回归方程求解得到的收益更大，模型更理想，因此本文基于如下回归方程求解最大收益。 利用lingo软件求解得到收益最大化结果 表12增加环保因素后作物收益最大化结果作物收益(元/ha)N肥（kg/ha）P肥（kg/ha）K肥（kg/ha）污染指数土豆77946 281.25196.88168.7525生菜26757244.19170.93 146.51 8.5 结果分析：比较表12与表10，看出，增加环保因素后，土豆与生菜的最大收益都有所降低，但N肥的减少降低了污染，属于轻度污染，基本符合要求。 5.5.3多目标规划模型的选择与建立基于线性规划求解最大收益时，本文以各目标偏差变量之和最低为目标，以污染指数公式，肥料调配比例作为约束条件，建立多目标规模模型6，再结合收益最大化模型实现多目标求解。设为未达到环境指标目标的差值, 为超过目标的差值，为使其尽可能不超过25，则有 (25)设为磷肥与氮肥使用量比的偏差变量，为钾肥与氮肥使用量比的偏差变量，为使尽可能的接近最优比例，则有 (26)设为收益的偏差变量，为使收益不小于需要值，有以各偏差变量之和最小作为目标 (27)其中，分别为污染程度、施肥比例、收益偏差的权重系数。对约束条件进行无量纲化处理，处理方法如下：例如设 处理得 将约束条件无量纲化处理后得到如下多目标规划模型： (28)5.5.4多目标规划模型的求解基于我国土壤退化十分严重的国情，本文以环境指数前提，追求最大收益，令土地被污染程度偏差的权重系数，三种肥料搭配比例偏差的权重系数，农作物收益偏差权重系数。由 计算得到N肥施肥量的满意范围，以 作物N、P、K肥料的最佳搭配比例，根据此比例计算得到P、K肥施肥量的满意范围，以表10得到的最大收益结果作为满意值，综上经计算得到表13两种作物各目标满意值，最终结果若符合表13中的各目标满意值，则结果符合要求。表13作物各目标满意值作物N肥（kg/ha）P肥（kg/ha）K肥（kg/ha）收益(元/ha)环境指数土豆100000生菜52000利用lingo软件计算得到表14土豆与生菜各目标的实际值。 表14多目标规划结果作物N肥（kg/ha）P肥（kg/ha）K肥（kg/ha）收益(元/ha)环境指数土豆281.25143.41245.288211625生菜281.25140.625485.334462725结果分析：环境指数为25，属于轻度污染， K肥施肥量超过满意值，但K肥适当增加能够增大收益，对土地没有造成污染，收益实际值与满意值相差不大，结果比较合理，符合本问的要求。 5.6问题五：基于层次分析法与多目标规划评价模型的选择与建立利用多目标规划结果中满意值与偏差值的差值占满意值的比例作为单目标的满意度，利用层次分析法得到单目标权重值，根据单目标的权重值与满意度可以得到多目标满意度，从而建立如下基于层次分析法与多目标规划的评价模型。 (29)其中为一个的总体满意度分数，具体评价标准见表15，为单目标满意值，为单目标偏差值，为各目标权重。 表15满意度评价标准满意程度极不满意不满意满意比较满意非常满意量化满意值40606080809090100利用层次分析法，建立各目标评价矩阵，由式（）计算得到目标规划模型中的环境指数和施肥比例都与N肥施肥量有关存在明显的线性相关，为降低共线性本文对式（24）约束条件进行改进。以N肥的临界值替换（24）原有值，降低N肥的变化对P、K肥的影响。得到新的约束条件：为了提高模型的应用价值，引入产量作为新的约束条件，设为产量的偏差变量，为使产量尽可能的不小于需要值，则有：新的目标函数为： (30)综上得到如下的评价模型： (31)其中，根据其重要程度，依次取值，为可承受的环境指数最大值，为磷肥与氮肥的最优比，为钾肥与氮肥的最优比，为最满意效益值，为最满意产量值，均可主观假定。5.6.1基于层次分析法与多目标规划评价模型的求解以土豆为例，对施肥后作物整体满意度进行评价。根据层次分析法求得单目标的权重，为保证各目标权重的均衡，本文将两两指标标度最大值定为4，得到如表16的判断矩阵。 表16各目标权重判断矩阵A环境指数施肥比例金钱效益蔬菜产量环境指数1423施肥比例0.2510.3330.5金钱效益0.5312蔬菜产量0.33320.51 计算得到：利用lingo软件对多目标规划模型进行求解，根据前面条件，取，计算结果如下。 表17多目标规划结果条件实际值偏差值满意值环境指数25025施肥比例金钱效益86306369490000蔬菜产量40.101.9042根据式（31）计算得到满意度：结果分析：观察表17，看出，环境指数为25，属于较低污染，收益、产量与满意值相差不大，综合满意度为86.7，满意程度属于比较满意。5.6.2模型的推广 通过控制各因子的权重可以将模型推广到不同的方面。一般情况下，在控制环境因素的条件下让效益最大化，如果是国家级的试验田，则需要考虑在环境满足的条件下，让产量最大化。针对不同的应用角度将模型的参数进行适当调整，极大地提高了模型的应用价值。 6.模型的优缺点模型的优点1. 问题一，我们考虑了单一化肥的影响和三种化肥共同的影响，进行了单元回归和多元回归，拟合出了相应的函数模型，较精确的反应了数据中肥料与产值的关系。2. 问题三中，基于已有数据的多元回归方程中没有交叉影响，由于不施加肥料时的产量很低，我们假设为零，因而引入了一组新的数据点并进行重新拟合，可以得到一个存在交叉项的三元二次函数，继而求解，更加准确的反应了实际效果。3. 问题四中，我们在线性规划模型的基础上从新建立了目标规划，并给出了满意度函数，可以从环境、施肥比例和效益多方面考虑。4. 问题五中，我们对目标规划进行了改善，引入了产量条件，并且在人为控制下，可以精确的得到模型价值和结果的量化满意值。5. 可以运用模型二和模型三预计产量最大值和效益最大值，继而运用模型五进行满意度量化估计。模型的缺点1. 模型只是在肥料的基础上对产值和效益进行估算，并没有引入诸如人工劳动力、农药量等其他因子。2. 模型二和模型三的产量和效益值达到了最大，但施肥比例并不适用于实际情况。3. 模型中的化肥污染只着重的考虑了氮肥的污染，没有体现磷肥和钾肥的污染状况。三应用实例当前的科学技术还不能有效地存储电力，所以电力生产和消费在任何时刻都要相等，否则就会威胁电力系统安全运行。为了能够实时平衡变化剧烈的电力负荷，电力部门往往需要根据预测的未来电力负荷安排发电机组起停计划，在满足电力系统安全运行条件下，追求发电成本最小。在没有电力负荷损耗以及一个小时之内的电力负荷和发电机出力均不变的前提下，假定所有发电机组的发电成本都是由3部分组成:1.启动成本（Startup Cost），2.空载成本（No load cost），3.增量成本（Incremental Cost）。需要考虑的约束有: 1负荷平衡约束2系统备用约束3输电线路传输容量约束4发电机组出力范围约束5机组增出力约束6机组降出力约束。问题1：3母线系统有一个3母线系统，其中有2台机组、1个负荷和3条输电线路，已知4个小时的负荷和系统备用要求。请求出这4个小时的最优机组组合计划。最终结果应该包括总成本、各小时各机组的状态、各小时各机组的发电出力和各小时各机组提供的备用。问题2：3母线系统在问题1的基础上，考虑发电机组的下列物理特性约束:1.发电机组的稳定出力范围约束2.机组启动时的出力约束3.机组停运时的出力约束4.机组最小运行时间约束5.机组最小停运时间约束。重新制定最优机组组合计划。问题3：IEEE 118系统用IEEE118节点的电力系统对问题2的求解模型进行测试，试求出24个小时的最优机组组合计划。最终结果应该包括总成本、各小时各机组的状态、各小时各机组的发电出力和各小时各机组提供的备用。 二、问题的分析机组优化组合和优化启停就是要在满足约束条件的情况下，优化地选定各时段参加运行的机组，求出机组的最佳运行方案，实现发电成本最小。然而