线性空间和欧氏空间.ppt

第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间 R R n n 及其子空间及其子空间 一一. . 向量空间向量空间 基和维数基和维数 二二. . R R n n 上的坐标变换上的坐标变换 三三. . R R n n 上的线性变换上的线性变换 4.2 4.2 R R n n 中的度量与正交变换中的度量与正交变换 一一. . R R n n 中向量的内积、长度和夹角中向量的内积、长度和夹角 二二. . 标准正交基和施密特标准正交基和施密特(Schmidt)(Schmidt)方法方法 三三. . 正交矩阵和正交变换正交矩阵和正交变换 第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间 R R n n 及其子空间及其子空间 一一. . 向量空间向量空间 基和维数基和维数 1. 1. n n维实维实( (列列) )向量的全体向量的全体 关于向量的加法和数乘运算满足关于向量的加法和数乘运算满足8 8条基本性质条基本性质: : 加法加法: (1) : (1) + + = = + + ; (2) (; (2) ( + + )+)+ = = +(+( + + ) ); ; (3) (3) R R n n , , R R n n , , + + = = ; (4) ; (4) R R n n , , +(+( ) )= = ; ; 数乘数乘: (5) 1: (5) 1 = = ; (6) ; (6) k k( (l l ) = ) = ( (klkl) ) ; ; (7) ( (7) (k k+ +l l) ) = = k k + +l l ; (8) ; (8) k k( ( + + ) = ) = k k + +k k . . 第四章第四章 线性空间线性空间和欧氏空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间 R R n n 及其子空间及其子空间 2. 2. 设设V V是是R R n n 的的非空子集非空子集, , 且对且对向量的加法及数向量的加法及数 乘封闭乘封闭, , 即即 , , V V, , k k R R, , 有有 + + V V, , k k V V 则称则称V V是一个是一个( (实实) )向量空间向量空间. . 设设V V是一个向量空间是一个向量空间, , U U V V, , 若若U U也构成一个也构成一个 向量空间向量空间, , 则称则称U U为为V V是一个是一个子空间子空间. . 注注3 3： 注注2 2：向量空间必包含向量空间必包含 . . 反之反之, , 若一若一向量集向量集不含不含 , , 则它必则它必不构成不构成向量空间向量空间. . 注注4 4： R R n n 和和 称为称为R R n n 的的平凡子空间平凡子空间. . 也构成一个向量空间也构成一个向量空间, , 称为称为零空间零空间. . 注注1: 1: 向量空间向量空间V V 中中任意任意一组向量的一组向量的任意任意线性组合都在线性组合都在V V 中中. . 第四章第四章 线性空间线性空间和欧氏空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间 R R n n 及其子空间及其子空间 3. 3. 设设V V是一个向量空间是一个向量空间, I:, I: 1 1, , 2 2 , , , , r r 是是V V中一中一 线性无关向量组线性无关向量组, , 并且并且V V中中任一任一向量都能由向量都能由I I 线性表示线性表示, , 则称则称( (有序有序) )向量组向量组 I I 是是V V的一组的一组基基. . r r称为称为V V的的维数维数( (dimensiondimension) ). . 记为维记为维( (V V) )或或dim(dim(V V). ). 注注1:1:零空间没有基零空间没有基, , 规定规定dimdim = = 0. 0. V V, , 唯一唯一的一组有序实数的一组有序实数k k 1 1 , , k k 2 2 , , , k k r r 使得使得 = = k k 1 1 1 1 + +k k 2 2 2 2 +k k r r r r . . 称称r r维向量维向量 k k 1 1 , , k k 2 2 , , , k k r r T T 为为 在基在基 1 1 , r r 下的下的坐标坐标. . 除零空间外，任何一个向量空间都含有无穷多个向量除零空间外，任何一个向量空间都含有无穷多个向量 , , 那么它的那么它的极大无关组极大无关组称为一组称为一组基基. . 注注2:2: 基基不唯一不唯一, ,且是且是有序有序的的, ,在在不同基不同基下的下的坐标不同坐标不同 第四章第四章 线性空间线性空间和欧氏空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间 R R n n 及其子空间及其子空间 例例1 1. . R R n n 的基本向量组的基本向量组 e e1 1 = = 1 1 0 0 0 0 0 0 , , e e 2 2 = = 0 0 1 1 0 0 0 0 , , , , e e n n = = 0 0 0 0 0 0 1 1 构成构成R R n n 的一组基的一组基. . R Rn n 中的任一向量中的任一向量 都能由这组基线性表示都能由这组基线性表示. . 且且 在这组基下的在这组基下的坐标坐标就是就是 本身本身. . 这组基称为这组基称为R R n n 的的自然基自然基. . dim(dim(R R n n ) = ) = n n. . 第四章第四章 线性空间线性空间和欧氏空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间 R R n n 及其子空间及其子空间 例例2. 2. 设设A A R Rm m n n, , b b R Rmm, , b b , , r r( (A A, , b b) =) = r r( (A A) = ) = r r, , K KA A = = x x | | AxAx = = , , x x R R n n , , S SB B = = x x | | AxAx = = b b, , x x R R n n. . 其中其中K K A A 是向量空间是向量空间, , 称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组 AxAx = = 的的解空间解空间, , AxAx = = 的一个的一个基础解系基础解系 就是就是K K A A 的一组基的一组基, , 因此因此dim(dim(K K A A ) = ) = n n r r. . 但但S S B B 不是向量空间不是向量空间. . 事实上事实上, , S S B B 中不含中不含 . . 在在R R 3 3 中中, , 过原点的平面过原点的平面是是R R 3 3 的的2 2维子空间维子空间, , 过原点的直线过原点的直线是是R R 3 3 的的1 1维子空间维子空间, , 不经过原点不经过原点的直线与平面都的直线与平面都不是不是向量空间向量空间. . 第四章第四章 线性空间线性空间和欧氏空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间 R R n n 及其子空间及其子空间 4. 4. 设设 1 1, , 2 2 , , , , s s R R n n , , 用用L L( ( 1 1, , 2 2 , , , , s s ) )表示表示 1 1, , 2 2 , , , , s s 的的一切线性组合所成的集合一切线性组合所成的集合, , 即即 L L( ( 1 1, , 2 2 , , , , s s ) ) = = k k 1 1 1 1 + +k k 2 2 2 2 +k k s s s s | | k k 1 1 , , k k 2 2 , , , , k k s s R R 则则L L( ( 1 1, , 2 2 , , , , s s ) )是是 ( (包含包含 1 1, , 2 2 , , , , s s 的的 向量空间中向量空间中最小最小的的) ) 一个一个向量空间向量空间, , 我们称我们称 之为之为由由 1 1, , 2 2 , , , , s s 生成的子空间生成的子空间. . 而而 1 1, , 2 2, , , , s s 称为称为L L( ( 1 1, , 2 2 , , , , s s ) )生成元生成元. . L L( ( 1 1 , s s ) )的的基基可取为可取为 1 1 , s s 的任一的任一极大无关组极大无关组 . . dim(dim(L L( ( 1 1 , s s ) = ) = r r ( ( 1 1 , s s ). ). 第四章第四章 线性空间线性空间和欧氏空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间 R R n n 及其子空间及其子空间 设矩阵设矩阵A A R Rn n s s, , 称称L L( (A A 1 1 , , A A 2 2 , , , , A A s s ) )为为A A的列空间的列空间. . A A的列空间的基的列空间的基为列向量组的为列向量组的极大无关组极大无关组. . dim(dim(L L( (A A 1 1 , , A A 2 2 , , , , A A s s ) = ) = r r( (A A). ). 求L L( (A A 1 1 , , A A 2 2 , , A A 3 3 , , A A 4 4 ) )的一组基和维数. 例例3 3. . 设设A A = = A A 1 1 , , A A 2 2 , , A A 3 3 , , A A 4 4 = = 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 解解: : 初等初等 行行变换变换 A A1 1, , A A2 2 是是L L( (A A 1 1 , , A A 2 2 , , A A 3 3 , , A A 4 4 ) )的一组基的一组基, , 可见可见dim dim L L( (A A 1 1 , , A A 2 2 , , A A 3 3 , , A A 4 4 ) ) = = 2. 2. 1 1 0 0 0 0 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间 R R n n 及其子空间及其子空间 一一. . 向量空间向量空间 基和维数基和维数 二二. . R R n n 上的坐标变换上的坐标变换 V Rn,对加 法数乘封闭 本质为极 大无关组 本质为秩 UV, U也构 成向量空间 解空间解空间: : K K A A =x x| |AxAx= = , , x x R R n n , , 基为基础解系基为基础解系, , dim(dim(K K A A )=)=n n r r. . L L( ( 1 1 , , 2 2 , s s )=)=k k 1 1 1 1 + +k k 2 2 2 2 +k k s s s s | | k k 1 1, ,k k2 2 ,k k s s R R 基基为为 1 1 , s s 的的极大无关组极大无关组 dim(dim(L L) = ) = r r ( ( 1 1 , s s ). ). 第四章第四章 线性空间线性空间和欧氏空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间 R R n n 及其子空间及其子空间 二二. . R R n n 上的坐标变换上的坐标变换 1. 1. 两组基之间的关系两组基之间的关系 设设I I: : 1 1, , 2 2 , , , , n n 及及IIII: : 1 1, , 2 2 , , , , n n 都是都是R R n n 的的 基基, , j j 在在 1 1, , 2 2 , , , , n n 下的坐标为下的坐标为 c c 1 1j j, , c c2 2j j , , , , c cnj nj T T , , j j = 1, 2, , = 1, 2, , n n. . 记记A A= 1 1, , 2 2 , , , , n n , , B B= 1 1, , 2 2 , , , , n n , , C C = = c c ij ij , ,则则 A A, , B B可逆可逆, , 且且B B = = ACAC. . 我们我们称称C C为从为从基基I I到到基基IIII的的过渡矩阵过渡矩阵. . 则则C C = = A A 1 1 B B也也可逆可逆. . 例例4 4从自然基从自然基I: I:e e 1 1 ,e e n n 到基到基II:II: 1 1 , n n 的过渡阵的过渡阵C C= =A A. . ( (A A= =ICIC) ) 从基从基IIII到自然基到自然基I I的过渡阵的过渡阵C C= =A A 1 1 . .( (I I= =ACAC) ) 第四章第四章 线性空间线性空间和欧氏空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间 R R n n 及其子空间及其子空间 2. 2. 一个向量在两组基下的坐标变换公式一个向量在两组基下的坐标变换公式 设设 在基在基 1 1, , 2 2 , , , , n n 下的坐标为下的坐标为x x, , 在基在基 1 1, , 2 2 , , , , n n 下的坐标为下的坐标为y y, , 记记A A = = 1 1, , 2 2 , , , , n n ，B B = = 1 1, , 2 2 , , , , n n ， 则则 = = AxAx = = By By = = ACyACy, , x x = = C y C y 坐标变换公式坐标变换公式 y y = = C C 1 1 x x 第四章第四章 线性空间线性空间和欧氏空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间 R R n n 及其子空间及其子空间 (1)(1)求求I I到到IIII的过渡矩阵；的过渡矩阵；(2) (2) 求求 =2=2 1 1+ + 2 2 +3+3 3 3 在基在基I, II, I, II, e e 1 1 , , e e 2 2 , , e e 3 3 下的坐标下的坐标; ; (3) (3) 求求 = 1, 0, 2= 1, 0, 2 T T 在基在基I, II, I, II, e e 1 1 , , e e 2 2 , , e e 3 3 下的坐标下的坐标 . . 解解: (1): (1) B=ACB=ACC=AC=A 1 1 B B ( (A BA B I AI A 1 1 B B = = I C I C ) ) (2) (2) I I =2,1,3=2,1,3 T T , , (3) (3) = 1, 0, 2= 1, 0, 2 T T = = e e e e = 2= 2 1 1+ + 2 2 +3+3 3 3 = =3,4,3,4,1 1 T T A A= =ICIC e eI I C C e eI I= =A AC C e eIIII = =B B I I = = C C e eI I 1 1 = =A A 1 1 = = 1.5,1.5, 0.50.5,0.5,0.5T T , , IIII = = B B 1 1 IIII = = C C 1 1 I I = =0,3,0,3, 2 2T T , , 第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间 R R n n 及其子空间及其子空间 一一. . 向量空间向量空间 基和维数基和维数 二二. . R R n n 上的坐标变换上的坐标变换 三三. . R R n n 上的线性变换上的线性变换 V Rn,对加 法数乘封闭 本质为极 大无关组 本质为秩 L L( ( 1 1 , s s) ) C C为从为从基基I I到到基基IIII的的过渡矩阵过渡矩阵. . B B = = ACAC x x = = Cy Cy 坐标变换公式坐标变换公式 UV, U也构 成向量空间 y y = = C C 1 1 x x 解空间解空间: : K K A A =x x| |AxAx= = , , x x R R n n 第四章第四章 线性空间线性空间和欧氏空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间 R R n n 及其子空间及其子空间 三三. . R R n n 上的线性变换上的线性变换 1. 1. 线性映射线性映射 设设A A R Rm m n n, , 映射 映射f f: : R R n n R Rm m , , f f( ( ) = ) = A A , , R R n n 为为 一个一个线性映射线性映射. . 若若A A R Rn n n n, , 则则从从R R n n 到到R R n n 自身的线性自身的线性映射映射x=Ayx=Ay称为称为 R Rn n 的线性变换的线性变换. . 1 1 , , 2 2 R R n n , , k k 1 1, ,k k2 2 R R, , f f( (k k 1 1 1 1 + +k k2 2 2 2 ) = ) = A A( (k k 1 1 1 1 + +k k2 2 2 2 ) =) =k k 1 1 f f( ( 1 1 ) + ) + k k 2 2 f f( ( 2 2) ) 若若A A R Rn n n n, , 且可逆且可逆, , 则则x=Ayx=Ay 称为称为可逆可逆线性变换线性变换. . 保持线性运算保持线性运算 第四章第四章 线性空间线性空间和欧氏空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间 R R n n 及其子空间及其子空间 3. 3. 线性变换线性变换x x = = AyAy的两个重要子集的两个重要子集 则则R R( (A A) )称为称为x x = = AyAy的的值域值域，K K( (A A) ) 称为称为x x = = AyAy的的核核. . 则则R R( (A A) ) = = AyAy | | y y R R n n = = L L( (A A 1 1 , , A A 2 2 , , , , A A n n ), ), K K( (A A) = ) = y y R R n n | | AyAy = = 为为AxAx = = 的解空间的解空间. . R R( (A A) ) = = AyAy | | y y R R n n, , K K( (A A) = ) = y y R R n n | | AyAy = = . . 若若A A的列向量为的列向量为A A 1 1 , , A A 2 2 , , , , A A n n , , 于是于是, , dimdimR R( (A A) = ) = r r( (A A), ), dimdimR R( (A A) + ) + dimdimK K( (A A) = ) = n n. . R R( (A A) )的基的基可取为可取为A A 1 1 , ,A A 2 2 ,A A n n 的一个的一个极大无关组极大无关组, , K K( (A A) )的基的基可取为可取为AxAx = = 的一个的一个基础解系基础解系. . dimdimK K( (A A) = ) = n n r r( (A A). ). 第四章第四章 线性空间线性空间和欧氏空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间 R R n n 及其子空间及其子空间 求求R R( (A A) )和和K K( (A A) )的基和维数的基和维数. . 例例6 6. . 设设A A = = A A 1 1 , , A A 2 2 , , A A 3 3 , , A A 4 4 = = 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 解：解： 初等初等 行行变换变换 dim dim R R( (A A) ) = = 2. 2. 1 1 0 0 0 0 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 R R( (A A) )的一组基为的一组基为A A 1 1 , , A A 2 2 . . 初等初等 行行变换变换 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 K K( (A A) )的基的基 dimdimK K( (A A) ) = = 2. 2. 第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间 R R n n 及其子空间及其子空间 一一. . 向量空间向量空间 基和维数基和维数 二二. . R R n n 上的坐标变换上的坐标变换 三三. . R R n n 上的线性变换上的线性变换 V Rn,对加 法数乘封闭 本质为极 大无关组 本质为秩 L L( ( 1 1 , s s) ) C C为从为从基基I I到到基基IIII的的过渡矩阵过渡矩阵. . B B = = ACAC x x = = Cy Cy 值域值域R R( (A A) ) = = AyAy| | y y R R n n = = L L( (A A 1 1 , , A A 2 2 , , , , A A n n), ), UV, U也构 成向量空间 y y = = C C 1 1 x x 核核K K( (A A)=)=y y R R n n | |AyAy= = 为为AxAx= = 的解空间的解空间. . dimdimR R( (A A) + ) + dimdimK K( (A A) = ) = n n. . 解空间解空间: : K K A A =x x| |AxAx= = , , x x R R n n 向量组的极大无关组向量组的极大无关组 (i) I(i) I 0 0 l.i.l.i.; ; (ii)(ii) IIII 0 0 ,I,I 0 0 , , l.dl.d. . I I可由可由I I 0 0 线性表示线性表示 命题：如果r r( ( 1 1 , , 2 2 , , , s s ) )= = r r, , 则则 1 1 , , 2 2 , , , s s 中任意 r r个线性线性无关的向量均为 1 1 , , 2 2 , , , s s 的极大无关组. 极大无关组不唯一，任两个极大无关组都等价， 且含有相同个数(秩)的向量. 向量空间向量空间V V的基的基为向量组为向量组V V中的中的极大无关组极大无关组. . V V的的维数维数为向量组的为向量组的秩秩. . 齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间V V=x x R Rn n | Ax| Ax=0=0的基础解的基础解 系系为向量组为向量组V V的的极大无关组极大无关组, , V V的的维数维数为为n n r r( (A A). ). 向量组 极大无关组极大无关组 向量空向量空 间间. . 基基 解空间解空间 核 第四章第四章 线性空间线性空间 向量空间的例子基维数 V Rn,对加法数乘封闭 本质为极大无关组 本质为秩 Rn本身e1, e2, , enn 零空间无 0 齐次线性方程组的解空间 xRn|Ax = , ARmn Ax = 的 基础解系 n r(A) A=1, , s的生成子空 间L(1, ,s)=k11+ kss | k1,ksR 向量组A的 极大无关组 A的秩 A的秩 A的列向量组的 极大无关组 矩阵A的列空间, 即A的列 向量组的生成子空间 n r(A) Ay = 的 基础解系 A的秩 A的列向量组的 极大无关组 线性映射f: RnRm的核 K K( (A A)=)=y y R R n n | |AyAy= = 线性映射f的值域值域R R( (A A)=)= AyAy| |y y RnRn=L L( (A A 1 1 , ,A A 2 2 , , A A n n ) ) Ex. 4.1-2 4.1-2 向量空间向量空间, , 内积与正交变换内积与正交变换 一一. . 向量空间向量空间 基和维数基和维数 二二. . R R n n 上的坐标变换上的坐标变换 与线性变换与线性变换 三三. . n n维向量的内积维向量的内积 四四. . 标准正交向量组和标准正交向量组和SchmidtSchmidt正交化方法正交化方法 R R3 3 R Rn n 线性相关共线共面 极大无关组 ？秩 ？ 直角坐标系 ？ 标准正交基标准正交基 维数维数 仿射坐标系 五五. . 正交矩阵和正交变换正交矩阵和正交变换 第四章第四章 线性空间线性空间和欧氏空间和欧氏空间 4.2 R4.2 R n n 中的度量与正交变换中的度量与正交变换 4.2 4.2 R R n n 中的度量与正交变换中的度量与正交变换 一一. . R R n n 中向量的内积、长度和夹角中向量的内积、长度和夹角 1. 1. 设设 =a a 1 1 , , a a 2 2 , , , , a a n n T T, , =b b 1 1 , , b b 2 2 , , , , b b n n T T, , 则则 与与 的的内积内积为为 2. 2. 内积的基本性质内积的基本性质 , , = = a a i i b b i i = = T T n n i i =1 =1 (1)(1) 对称性对称性: : , , = = , , ; ; (2)(2) 线性性线性性: : k k 1 1 1 1 + +k k 2 2 2 2 , , = = k k 1 1 1 1, , + +k k 2 2 2 2 , , ; ; (3)(3) 正定性正定性: : , , 0; 0; 且且 , , = 0 = 0 = = . . 3. 3. n n维实向量维实向量 的的长度长度或或模模为为 , , | | | =| = = = a a i i 2 2 n n i i =1 =1 第四章第四章 线性空间线性空间和欧氏空间和欧氏空间 4.2 R4.2 R n n 中的度量与正交变换中的度量与正交变换 5. 5. 单位向量单位向量: : | | | =| =1 1的向量的向量. . 非零向量非零向量 单位化单位化或或标准化标准化: : 0 0 = |= | | | 1 1 4. 4. 长度的基本性质长度的基本性质 (1)(1) 正定性正定性: : | | | | 0; 0; 且且| | | = 0 | = 0 = = ; ; (2)(2) 齐次性齐次性: : | |k k | = | = |k k| | (| (k k R R); ); (3)(3) CauchyCauchy不等式不等式: |: | , , | | | | | |. |. 6. 6. 设设 , , R R n n , , 若若 , , , , 则定义则定义 , , 的的夹角夹角为为 若若 , , = 0, = 0, 即即 = = /2, /2, 则称则称 与与 正交正交. . = = arccosarccos , , | | | | | , 0 , 0 , , = 0, = 0, 则则 , , 即即 与任意与任意 正交正交. . 第四章第四章 线性空间线性空间和欧氏空间和欧氏空间 4.2 R4.2 R n n 中的度量与正交变换中的度量与正交变换 例例7. 7. 设设 , , R R n n , , 且且 与与 线性无关线性无关, , 求常数求常数k k使使 + +k k 与与 正交正交. . 解：解： + +k k 与与 正交正交 = = + k + k = = 0 0 在几何空间在几何空间R R 3 3 中中, , 与与 线性无关线性无关 第四章第四章 线性空间线性空间和欧氏空间和欧氏空间 4.2 R4.2 R n n 中的度量与正交变换中的度量与正交变换 二二. . 标准正交基和施密特标准正交基和施密特(Schmidt)(Schmidt)方法方法 1. 1. 正交向量组正交向量组: :两两正交两两正交 标准正交向量组标准正交向量组: : 向量空间的向量空间的正交基正交基: : 标准正交基标准正交基: : e1,e2,en 例例8. 8. 设设 为任一为任一R R n n 的标准正交基，则的标准正交基，则 任一标准正交基 与自然基作用同 由由单位向量单位向量组成的正交向量组组成的正交向量组. . 一组一组基基是是正交向量组正交向量组; ; 一组一组基基是是标准正交向量组标准正交向量组. . 第四章第四章 线性空间线性空间和欧氏空间和欧氏空间 4.2 R4.2 R n n 中的度量与正交变换中的度量与正交变换 定理定理4.1. 4.1. 设设 1 1, , 2 2 , , , , s s 是正交向量组是正交向量组, , 则则 1 1, , 2 2 , , , , s s 线性无关线性无关. . 证明：证明： 设设k k 1 1 1 1 + + k k 2 2 2 2 + + +k k s s s s = = , , 则则 0 = = = k k j j , ,i i j j, , = 0 = 0 0 0 k k j j = 0, = 0, j j=1,2,=1,2, ,s s 定理定理4.2. 4.2. 设设 1 1, , 2 2 , , , , s s 线性无关线性无关( (s s 2 2), ), 则存则存 在一个正交向量组在一个正交向量组 1 1 , , 2 2 , s s 满足满足 1 1 , , 2 2 , t t 与与 1 1, , 2 2 , , , , t t 等价等价(1 (1 t t s s). ). 则则 1 1, , 2 2 , , , , s s 线性无关线性无关. . 第四章第四章 线性空间线性空间和欧氏空间和欧氏空间 4.2 R4.2 R n n 中的度量与正交变换中的度量与正交变换 1 1 = = 1 1, , 施密特正交化施密特正交化过程过程: : 将一组将一组l.il.i. .的向量化为正交向量组的向量化为正交向量组 2 2 = = 2 2 2 2, , 1 1 1 1, , 1 1 1 1, , s s = = s s s s, , 1 1 1 1, , 1 1 1 1 s s, , s s 1 1 s s 1 1 , , s s 1 1 s s 1 1 再将再将 1 1, , 2 2 , , , , s s 单位化得单位化得: : 1 1 = = 1 1 | | 1 1 | | , , 2 2 = = 2 2 | | 2 2 | | , , , , s s = = s s | | s s | | . . 施密特正交化方法施密特正交化方法 标准化标准化 得到一得到一 组标准组标准 正交向正交向 量组量组 第四章第四章 线性空间线性空间和欧氏空间和欧氏空间 4.2 R4.2 R n n 中的度量与正交变换中的度量与正交变换 1 1 = = A A 1 1, , 2 2 = = A A 2 2 A A 2 2 , , A A 1 1 A A 1 1 , , A A 1 1 A A1 1 = =A A2 2 A A1 1 1 1 = = 1 1 | | 1 1 | | 2 2 = = 2 2 | | 2 2 | | 求L L( (A A 1 1 , , A A 2 2 , , A A 3 3 , , A A 4 4 ) )的一组标 准正交基，并将其扩展到R3的一组标准正交基. 例例8 8. . 设设A A = = A A 1 1 , , A A 2 2 , , A A 3 3 , , A A 4 4 = = 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 解：解：A A 1 1 , , A A 2 2 是是L L( (A A 1 1 , , A A 2 2 , , A A 3 3 , , A A 4 4 ) )的一组基的一组基. . 3 3 1 1, , 3 3 2 2 1 1 , , 2 2 为为L L的一组标准正交基, 1 1 , , 2 2 , , 3 3 为为R3的一组标正交基 第四章第四章 线性空间线性空间和欧氏空间和欧氏空间 4.2 R4.2 R n n 中的度量与正交变换中的度量与正交变换 三三. . 正交矩阵和正交变换正交矩阵和正交变换 1. 1. 满足满足Q Q T T Q Q = = I I ( (即即Q Q 1 1 = = Q Q T T ) )的实方阵的实方阵Q Q称称 为为正交矩阵正交矩阵, , 简称为简称为正交阵正交阵. . 定理定理4.34