非正弦周期电流电路[终.ppt

第十章 非正弦周期激励下线性时不 变电路的稳态分析 v10.1 非正弦周期量 v10.2 周期函数分解为傅里叶级数 v10.4 对称波形周期函数的谐波分析 v10.3 周期函数的频谱 v10.5 有效值、平均值和平均功率 v10.6 非正弦周期电流电路的计算 v10.7 L、C元件构成的无源滤波器 54学时 Chapter 10 非正弦周期电流电路分析 4 Chapter 5 线性时不变动态电路暂态过程的时域分析 10 Chapter 11 拉普拉斯变换及电路的复频域分析 8 Chapter 12 电路方程的矩阵形式 8 Chapter 13 双口网络 8 Chapter 14 状态变量分析法 4 Chapter 15 均匀传输线的正弦稳态分析 8 Chapter 16 无损线的暂态分析 4 学时安排 在1822年，付里叶提出：任何一个实际周 期函数能表示成一系列正弦函数的和。如此的 表示，随同叠加定理一起，允许我们使用相量 法，求得非正弦周期函数激励的电路的响应。 首先，我们以付里叶级数开始。然后，在 电路分析中应用付里叶级数。最后，说明付里 叶级数在频谱分析器和滤波器的工程应用。 前面我们花了相当的时间分析正弦函数激励 的电路。本章分析非正弦周期函数激励的电路。 10.1 非正弦周期量 一、非正弦周期信号的产生 1.电路中含有非线性元件 D R 输入正弦波 输出半波整流 例如：二极管半波整流电路 2.实验室中示波器的水平扫描电压 输入周期性锯齿波 示波器 输入正弦波 10.1 非正弦周期量 3.一个电路中同时有几个不同频率的激励共 同作用时 交流电源 UCC uS 直流电源 输出波为非正弦波 电压放大电路 10.1 非正弦周期量 4.计算机内的脉冲信号 T t 10.1 非正弦周期量 5. 发电机中产生的电压并非标准正弦波 10.1 非正弦周期量 二、本章讨论内容 10.1 非正弦周期量 主要是运用数学中学过的傅里叶级数展开 法，首先将非正弦周期电压、电流或外施信号 分解为一系列不同频率的正弦量之和，然后分 别计算在各种频率正弦量单独作用下，在电路 中产生的正弦电流分量和电压分量，最后再根 据线性电路的叠加定理，把所有分量的时域形 式叠加，就可以得到电路中实际的稳态电流和 电压。这种分析方法称为谐波分析法。 本章讨论非正弦周期电压、电流或信号作 用下（电源） ，线性电路的分析和计算方法。 10.2 周期函数分解为傅里叶级数 周期函数表示为： n0，1，2，3（整数） T：函数的周期 如果给定的函数是周期的同时又满足 所谓狄里赫利条件，那么它就可以展开成 一个收敛级数。电工技术中所遇到的周期 函数，通常都能满足这个条件。按上述， f(t)可展开成 称基波角频率（rad/s） 常数a0 、an、bn称付里叶系数 方程称f(t)的三角形式的付里叶级数 10.2 周期函数分解为傅里叶级数 决定系数a0 、an和bn的过程称傅里叶分析。 下列三角函数积分对付里叶分析有用。对任意 整数m和n，有： 我们使用这些 恒等式求付里 叶系数。 10.2 周期函数分解为傅里叶级数 先求a0 在一个周期内，积分上式两边 根据恒等式，即正弦函数在一个周期内积分为零 a是f(t)的平均值 10.2 周期函数分解为傅里叶级数 求an 用cosm0t乘上式两边，再一个周期内积分 根据恒等式，第一、三项为零，第二项（含an的积分）除mn外，也为零。 10.2 周期函数分解为傅里叶级数 求bn 用sinm0t乘上式两边，再一个周期内积分，得： 注意：既然f(t)是周期的， 用-T/2T/2或一般地 t0t0+T取代0T的来表达积分，也许更方便。结 果一样。 10.2 周期函数分解为傅里叶级数 10.2 周期函数分解为傅里叶级数 由f(t)求傅里叶系数： 10.2 周期函数分解为傅里叶级数 用正弦函数表示的傅里叶级数： 证明： 对比级数方程 10.2 周期函数分解为傅里叶级数 有：， 所以 对比级数方程 10.2 周期函数分解为傅里叶级数 有： ， ， 所以 10.2 周期函数分解为傅里叶级数 f(t)的一次谐波 （或基波分量） 二次谐波 n次谐波 f(t)的恒定分量 （或直流分量） 高次谐波：指2次谐波及其以上次数谐波。 谐波分析：指把一个周期函数分解为具有一 系列谐波的傅里叶级数。 10.2 周期函数分解为傅里叶级数 例： t u(t) 02 1 1 3 4 f(t)由直流分量、基波分量、奇次谐波构成。 例： 10.2 周期函数分解为傅里叶级数 t u(t) 0T/2T A 周期函数u(t)的傅里叶级数： 周期函数，是一系列正弦波的合成波。这些正弦 波的振幅、初相都不同，频率都是基频整数倍。 t u(t) 0 以一个周期的情况为例进行分析： u1 u1与方波同频率, 称为方波的基波 u3 u3的频率是方波的3倍, 称为方波的三次谐波。 u1和u3的合成波, 显然较接近方波 U1m 1/3U1m 10.2 周期函数分解为傅里叶级数 10.2 周期函数分解为傅里叶级数 t u(t) 0 u5的频率是方波 的5倍,称为方波 的五次谐波。 u13和u5的合成波, 显然更接近方波 1/5U1m u135 u5 10.3 周期函数的频谱 周期函数展开成傅里叶级数，这样一种 数学表示式虽然详尽准确表达了周期函数的 分解结果，但往往不够直观。 为了表示一个周期函数分解为傅里叶级数后 包含哪些频率分量和各分量所占的“比重”，用长 度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的 高低把它们依次排列起来，就得到图形，这种图 形称f(t)的频谱图，简称频谱。 t u(t) 02 1 134 相位频谱幅度频谱 离散频谱，称线频谱。 10.3 周期函数的频谱 10.4 对称波形周期函数的谐波分析 谐波分析：指把一个周期函数分解为具 有一系列谐波的傅里叶级数 偶函数： f ( t ) = f ( - t ) 特点：对称于纵轴。 奇函数： f ( t ) = - f (-t ) 特点：对称于原点。 bn=0 a0=0,an=0 含有sin项 含有cos项 10.4 对称波形周期函数的谐波分析 偶谐波函数： f ( t ) = f (tT/2 ) 特点：后半周是前半周的重复。 a0=0 a偶=b偶=0 a奇=b奇=0 奇谐波函数： f ( t ) = f (tT/2 ) 特点：镜对称。 掌握了波形 与谐波成分之 间的上述关系 ，无疑给谐波 分析的步骤带 来简化，根据 波形的对称性 会很快找出相 应的谐波。 根据各函数定义有： 计时起点变动，影响 ，但不影响Anm。 1奇函数和偶函数与波形和计时起点有关。 2. 奇谐波函数和偶谐波函数，只与波形有关。 适当选择计时起点，有时会使函数的分解简化。 注意： 10.4 对称波形周期函数的谐波分析 所以适当选择计时起点，会使函数的分解简化。 10.5 有效值、平均值和平均功率 定义式: 设 将该式代入电流有效值的定义式： 非正弦周期电流、电压的有效值10.5.1 电工和电子技术的定义式： 数学角度给出的定义式： 即非正弦周期函数的直流分量 非正弦周期电流、电压的平均值10.5.2 例：设正弦电流 ，求其平均值。 即 正弦量的平均值，指取绝对值后的平均值。 10.5 有效值、平均值和平均功率 10.5 有效值、平均值和平均功率 例： 测电阻电压 矩形波电源 磁电系电压表测出的是电压u ( t )的直流分 量。所以读数为零。 电磁系电压表测出的是电压u ( t )的有效值U， 故读数为100 V 解： 所以整流式电压表的读数为： 整流式电压表测出的是电压u ( t )在表内经整 流后的电压的有效值U。 整流电压|u ( t ) |的平均值Uav 10.5 有效值、平均值和平均功率 非正弦周期电流电路的平均功率10.5.3 任意一端口的瞬时功率（吸收）为 由平均功率的定义： 根据下列三角函数积分的恒等式： m和n为任意整数 10.5 有效值、平均值和平均功率 可以得到平均功率 10.5 有效值、平均值和平均功率 式中 Uk电压u的第k次谐波的有效值 电压u的第k次谐波的初相与电流 i 的第k次谐波的初相之间的差。 Ik电流i的第k次谐波的有效值 定义非正弦周期电流电路的视在功率 10.6 非正弦周期电流电路的计算 非正弦周期电流电路的分析计算一般步骤：非正弦周期电流电路的分析计算一般步骤： （1）将电路中的周期激励（激励指电源的 表示式）展开成傅里叶级数。即将激励 分解为直流和各次谐波即一系列不同频 率正弦量；依准确度高低决定谐波的最 高次数。 （3）应用叠加定理，把步骤(2)所计算出的结 果化为瞬时表达式后进行相加（把表示不同 频率正弦电流的相量直接相加是没有意义的 ），最终求得的响应是用时间函数表示的。 (2)分别求出电源电压或电流的恒定分量以及 各次谐波分量单独作用时的响应。对恒定 分量，求解时把电容看作开路，把电感看 作短路。对各次谐波分量可以用相量法进 行，但要注意，感抗、容抗与频率有关。 10.6 非正弦周期电流电路的计算 10.6 非正弦周期电流电路的计算 已知电路中：例: f=50Hz，求i(t)和电流有效值I。 解:直流分量单独作用时的 电路： us(t) L C i=? R 10 0.05H 22.5F 40V L C i(0)=0 R 直流电源时， 短路，C开路，因此i(0)=0； 10.6 非正弦周期电流电路的计算 电压u(t)的基波（一次谐波）分量单独作用时： R 相量模型 L C R 时域开路 0.05H 22.5F 10 10.6 非正弦周期电流电路的计算 R 相量模型 电压u(t)的三次谐波分量 单独作用时： L C R 时域开路 0.05H 22.5F 10 10.6 非正弦周期电流电路的计算 R 相量模型 电压u(t)的五次谐波分量 单独作用时： L C R 时域开路 0.05H 22.5F 10 10.6 非正弦周期电流电路的计算 瞬时值式根据叠加定理可求得： 电流的有效值： 其中三次谐波电压、电流同相，说明电 路在三次谐波作用下发生了串联谐振。 注意： 错误原因： 不同频率的相 量不能相加。 10.7 L、C元件构成的无源滤波器 代入 例:已知u(t), 求uR。 10.7 L、C元件构成的无源滤波器 以上例题分析计算的结果可知，四次谐波 分量的幅值仅为直流分量的0.387，六次谐波 分量电压幅值与直流分量的比值就更小，故可 以忽略不计。全波整流输出电压u ( t ) 经过L、 C组成的滤波电路之后，负载电阻R两端电压有 效值为200.35 V，基本上接近于直流分量，也 就是说，该滤波电路具有允许直流分量（零次 谐波）通过而阻止高次谐波通过的功能，习惯 上称它为低通滤波器。 利用电感随着谐波频率的升高感抗值增大，电容 随着谐波频率的升高容抗值减小这一特点，可以将电 感和电容组成各种不同的滤波电路，把电路接在输入 和输出之间，让某些需要的谐波通过而抑制某些不需 要的谐波。滤波电路广泛地运用在电子电路中，按其 功能分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带 阻滤波器。按其接线方式又分为T型滤波器、 型滤 波器和型滤波器。 10.7 L、C元件构成的无源滤波器 已知无源网络N的入端电压为 u ( t )= 100 sin 314 t + 50 sin ( 942 t -30)V， 入端电流为 i ( t ) = 10 sin 314 t + 1.755 sin (942 t +3 )A，如果N可以看作R、 L、C串联电路， 试求： （1）R、L、C的值； （2）3的值； （3）无源网络N消耗的有功功率。 例: 解