代数学基础有限域(1).ppt

有限域的表示 有限域的表示 1. 多项式表示 2. N比特的字符表示 3. 向量空间中的基表示 4. 本原元表示 1.多项式表示 二元域F2； 多项式f(x)=x8+x4+x3+x+1在F2上不可约； F2x/f(x)上模f(x)的所有多项式集合构成一个 含有28个元素的域. 域中元素是F2上所有次数小于8的多项式，可以写成下 面的形式： 将每个元素都可以简写为一个长度为8的比特串： 即一个字节。 在16进制编码中，用一个字符表示一个长度为4的比特串 ，那么一个字节可以表示成两个16进制的字符。 也就是说，F28上的任一元素都可以看作区间00, FF 上的一个字节。例如：字节01010111(57)对应的元素为 ： 2.N比特二元域 对于已知的8次不可约多项式f，我们可以将域 F2x/f(x)看作由8个比特排列所构成的28=256个元素 构成的域。 一般地，我们可以将域F2x/f(x)看作由deg(f)个比特 排列所构成的含有2deg(f)个元素构成的域，将这个域称 为N比特二元域。 N比特二元域在编码学和密码学中都有很多应用，AES 就是在8比特二元域上实现的。 在N比特二元域中，加法运算即为比特之间的模2 加法，与定义多项式f无关，但是乘法运算与f有 关. 域中不可约多项式的根 令F是一个有限域，f(x)是F上的一个n次不可约 多项式； 类似于数域的扩张，可以将域F扩张，使得f(x)在 扩张后的域上有n个根. 分别记为 f(x)在F上不可约，这n个根都不在F中. 定理 3.向量空间中基表示 定义 多项式基 向量空间 v由线性代数的知识，n个线性无关的元素可以张成一个n维向量空间. 定理 例 域F28 这两个域都含有28个元素，同构. 类似地，后一种表示法也可以用一 个字节来表示. 中的乘法 f(x)=x8+x4+x3+x+1 5. 本原元表示 有限域的乘法群是一个循环群. 其生成元称为本原元(或者本原根). 有限域的乘法群 定理: 有限域Fq的乘法群F*q是一个循环群. 引理1: F*q是至多只有一个d阶循环子群, 其中d|(q- 1). 引理2: d|n(d) = n. 我们需要如下两条引理: 证明: 如果 F*q, 那么#=d|(q-1). 引理1: F*q是至多只有一个d阶循环子群, 其中d|(q-1). 同时的所有元都是方程xd-1=0的根. F*q的所有元都是是方程xq-1-1=0的根. 由于Fq x是唯一分解环, 得证. 引理2: d|n(d) = n. 证明: S=1,2,n Sd=x | 1x n, gcd(x, n) = d Sd, d|n, 构成S的一个完全划分 #Sd = #x | 1x n, gcd(x, n) = d = #x/d | 1x/d n/d, gcd(x/d, n/d) = 1 = #y | 1y n/d, gcd(y, n/d) = 1 =(n/d) 定理: F*q是一个循环群. 证明: 假设g是F*q的d阶元, 那么d | (q-1). 中的d阶元有(d)个. ord(gk)=d/(d,k) F*q中的d阶元有(d)个. d阶循环群存在即唯一 q-1d|(q-1)(d). 必须取等号 定义: F*q的生成元称为Fq的本原元. F*q中的(q-1)阶元有(q-1)个. 多项式的表示vs 本原元表示 多项式表示 - 加法容易, 乘法复杂 本原元表示 - 加法复杂, 乘法容易 本原元表示 取F2的不