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双向不等值拉压的复变函数解法及分析摘要：弹性力学中的许多问题在数学上都归结为寻找调和函数或重调和函数的问题。复变函数论正是研究实部和虚部都是重调和函数的解析函数，它统一了弹性力学中的三种基本方法（位移法、应力法、应力函数法）和三类边值（力边界、位移边界、混合边界）问题。它同时适用于直角坐标、极坐标和任意正交曲线坐标系。双向不等值拉压是冷加工中经常见到的一种应力状态，在极坐标中不等值拉压要用叠加原理分解成等值拉伸（或压缩）和等值拉压两个问题分别进行求解。本文通过复变函数解法统一上述两种方法求解双向不等值（等值）拉压问题，以便于求解和应力场的分析。关键词：复变函数、弹性力学、调和函数、等值拉压一、双向不等值拉压的复变函数解法如下图所示带小圆孔的无限大平板的双向不等值应力示意图，在方向受单向拉伸0，在方向受应力大小，且，求板内应力场。带圆孔无限大平板双向不等值应力示意图复变函数解法中，无限域孔口问题复势和基本结构形式如下。 （1） （2）求解上述复势的过程就是根据应力特征和边界条件确定和里面的系数的过程。无限域孔口问题中系数、的确定公式如下。 （3） （4） （5） （6）由题知无限远处应力条件为，（a）代入（3）、（4）式可得，（b）由孔力边界条件， （c）代入（5）、（6）式可得 （d）系数由下式确定 （7）由于，所以系数全部为0，即 （e）剩余系数可由下式求得正幂 恒等式 （取共轭得） （取共轭得）（8）负幂 将（b）、（d）、（e）式代入（8）式可得其它系数为，（f）其余系数全为0再由下式确定， （当）（9）得 ，（g）其余系数全为0将（b）、（d）、（g）式代入（1）、（2）式，并利用，将用代替，可得（h）应力组合公式为 （10）将（h）代入（10）整理后得 （I）先由第二式虚部相等求得，再将两式联立求得和，结果如下到此已经求得应力场，再将式（h）代入如下位移组合公式 （11）整理后得 （j）将上式实部和虚部对应相等得 （l）二、应力场和位移场分析 为了便于观察应力场的变化趋势，本文利用matlab绘制应力场及位移场随位置变化的曲线图，以及当拉伸力不变，由正变为负的过中应力场及位移场的变化情况。然后用abaqus模拟双向不等值（等值）拉压，将其与绘制出来的曲线进行对比，以验证模型的准确性。为处理方便，以下均令系数。1、应力场的变化趋势分别取，时方向的应力场和位移场的变化情况如下。分别取1，1.2，1.4，1.5，1.6，1.8，2.0，3.0时方向的应力场和位移场的变化情况如下。 2、边界力由正变负过程中应力场
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