2018北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题 含答案.doc_第1页
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文档简介

北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛 试题2018年6月23日本试卷共4题,每题30分,满分120分.考试时间180分钟.1.已知、为整数,且对任意正整数、,存在整数满足如下关系:求所有满足要求的三元整数组.2.已知实数两两不同,存在满足(,并规定).求实数的可能取值的个数.3.给定正整数、.有一个密码锁,它有个按钮,编号分别为.打开该锁的密码是长度为的按钮序列.当且仅当连续正确的按动这个按钮时,密码锁会被打开.(例如,密码为时,依次按动后可以打开该锁,按动后也可以打开该锁.)要保证把这个密码锁打开,至少需要按动多少次按钮?4.如图,中.点所对应的旁切圆圆分别与直线、相切于点、.点是线段的中点.点在线段上,且满足.求证:.试卷答案本试卷共4题1.设,注意,故本题只需对任意正整数,组成模的完全剩余系.下证,或.若,取,则,矛盾.若,则,此时,这也不可能.故或.当时,则.取,则,矛盾.故.类似当时,取,可得.故或.注意对任意正整数、,同余方程和显然有解.故或,.2.由已知有,不动点方程为,化为,设此一元二次方程的两根为与.当时,若,则,矛盾.若,同理可得,也矛盾.所以,可得,以及,两式相除得,有,从而,由对称性,不妨设,其中.另一方面,当时,由知,而.所以当时,即,即对任意,都不是的倍数,即,又因为,所以这样的有个,所以有个取值.3.最少需要按次.不同的密码共有个,要保证打开密码锁,必须全部试过一遍.从第次按键开始,每次按动按钮都可以视为一个长为的序列末位,故至少需要次.下面给出按动次可以满足要求的存在性证明.当时结论显然成立,故下设.构造图,共有个顶点,每个顶点对应为一个长为的序列.对顶点,若点所对应序列的后位与点所对应序列的前位相同,则在之间连一条由指向的有向边.此时每一个长为的序列可以对应为该图中的一条边.注意图为连通图,且每个顶点的入度和出度均为,我们即证明该图中存在欧拉圈.为此给出如下引理:若有向连通图中所有顶点的入度和出度都相同,则该图中存在欧拉圈.对图的总边数进行归纳证明,若图每个顶点出入度为,且该图中存在圈,再由连通性可得该圈为欧拉圈.若总边数小于时结论成立,考虑总边数等于时.考虑图中的最大有向圈,显然这样的圈存在.若不是欧拉圈,则从图中去掉,得到图.此时图每点的出入度仍相同(但可以为).取中的一条边,使其一个顶点在中,沿该边前进,可以得到图中的圈.注意和没有公共边,故可将它们拼接得到一个更大的圈.这与的最大性矛盾,故此时结论成立.综上,引理得证.由引理,我们即可得到本题存在性证明.4.如图,作的平分线交于,以为圆心、点到直线的距离为半径作,则与直线、均相切.过作的异于直线的切线,交直线于,则与四边形的各边所在直线均相切,由“切线长相等”可得,又已知,因此,故,由“三角形两边之差小于第三边”可知与重合,所以与四边形的各边所在的直线都相切.作的平分线交于,以为圆心、点到直线的距离为半径作,类似可证与折四边形的各边所在的直线都相切.从而、都与和相切,故是和的内位似中心.故、三点共线.下面证明.用反证法.假设直线与直线相交于,因、分别平分或的邻补角,所以、是调和线束,该线束与直线截得点、

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