2018北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题 含答案.doc

北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛 试题2018年6月23日本试卷共4题，每题30分，满分120分.考试时间180分钟.1.已知、为整数，且对任意正整数、，存在整数满足如下关系：求所有满足要求的三元整数组.2.已知实数两两不同，存在满足（，并规定）.求实数的可能取值的个数.3.给定正整数、.有一个密码锁，它有个按钮，编号分别为.打开该锁的密码是长度为的按钮序列.当且仅当连续正确的按动这个按钮时，密码锁会被打开.（例如，密码为时，依次按动后可以打开该锁，按动后也可以打开该锁.）要保证把这个密码锁打开，至少需要按动多少次按钮？4.如图，中.点所对应的旁切圆圆分别与直线、相切于点、.点是线段的中点.点在线段上，且满足.求证：.试卷答案本试卷共4题1.设，注意，故本题只需对任意正整数，组成模的完全剩余系.下证，或.若，取，则，矛盾.若，则，此时，这也不可能.故或.当时，则.取，则，矛盾.故.类似当时，取，可得.故或.注意对任意正整数、，同余方程和显然有解.故或，.2.由已知有，不动点方程为，化为，设此一元二次方程的两根为与.当时，若，则，矛盾.若，同理可得，也矛盾.所以，可得，以及，两式相除得，有，从而，由对称性，不妨设，其中.另一方面，当时，由知，而.所以当时，即，即对任意，都不是的倍数，即，又因为，所以这样的有个，所以有个取值.3.最少需要按次.不同的密码共有个，要保证打开密码锁，必须全部试过一遍.从第次按键开始，每次按动按钮都可以视为一个长为的序列末位，故至少需要次.下面给出按动次可以满足要求的存在性证明.当时结论显然成立，故下设.构造图，共有个顶点，每个顶点对应为一个长为的序列.对顶点，若点所对应序列的后位与点所对应序列的前位相同，则在之间连一条由指向的有向边.此时每一个长为的序列可以对应为该图中的一条边.注意图为连通图，且每个顶点的入度和出度均为，我们即证明该图中存在欧拉圈.为此给出如下引理：若有向连通图中所有顶点的入度和出度都相同，则该图中存在欧拉圈.对图的总边数进行归纳证明，若图每个顶点出入度为，且该图中存在圈，再由连通性可得该圈为欧拉圈.若总边数小于时结论成立，考虑总边数等于时.考虑图中的最大有向圈，显然这样的圈存在.若不是欧拉圈，则从图中去掉，得到图.此时图每点的出入度仍相同（但可以为）.取中的一条边，使其一个顶点在中，沿该边前进，可以得到图中的圈.注意和没有公共边，故可将它们拼接得到一个更大的圈.这与的最大性矛盾，故此时结论成立.综上，引理得证.由引理，我们即可得到本题存在性证明.4.如图，作的平分线交于，以为圆心、点到直线的距离为半径作，则与直线、均相切.过作的异于直线的切线，交直线于，则与四边形的各边所在直线均相切，由“切线长相等”可得，又已知，因此，故，由“三角形两边之差小于第三边”可知与重合，所以与四边形的各边所在的直线都相切.作的平分线交于，以为圆心、点到直线的距离为半径作，类似可证与折四边形的各边所在的直线都相切.从而、都与和相切，故是和的内位似中心.故、三点共线.下面证明.用反证法.假设直线与直线相交于，因、分别平分或的邻补角，所以、是调和线束，该线束与直线截得点、