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利用直角坐标计算三重积分 一、 坐标面投影法 二、 坐标轴投影法 第三节 三重积分(2) 第十章 x 0 z y P N M 一、 坐标面投影法(“先一后二”) x 0 z y I = P N M . . 先做定积分先做定积分, , 后做二重积分后做二重积分 . . 先一后二 三重积分化为三次积分的步骤： 先 z 次 y 后 x 其中 为三个坐标面及 例1. 计算 所围成的闭区域 . 解: 平面 z = 0 o 其中 为三个坐标面例2. 计算三重积分 所围成的闭区域 . 解: 及平面 y 1 1/2 x+2y = 1 x 0 y = 0 z = 0 例3. 解： x y z 0 z = 1 1-1 1 x+ y=1 y o z x 1 z=xy . 例4. z =0 1 x+ y=1 o z x 1 y z=xy . 例4. 1 1 z =0o z x x+ y=1 y z=xy . 例4. 0 y x1 1 Dxy y =1x x 例5. 解: x 0 z y c1 c2 z Dz 二、坐标轴投影法(截面法, “先二后一”) x 0 z y c1 c2 . z Dz x 0 z y c1 c2 I = . zDz 先做二重积分先做二重积分, , 后做定积分后做定积分. . x 0 z y c1 c2 . I = 先做二重积分先做二重积分, , 后做定积分后做定积分. . 先二后一 三重积分化为“先二后一”的步骤： 0 x z y z 适用范围: x 0 y z b c 例5. 计算 a D0 -c Dz z . = . 椭圆的面积 先二后一 x y z 0 1 1 例6. 计算其中 是由z = x2 + y2 和z = 1 所围成的闭区域. 解I：先二后一. 1 z 0 圆的面积 解II：先一后二. x y z 0 1 Dxy z = 1 z = x2 + y2 (x, y) 1 1 再解 例3. x y z 0 1 z 0 解II：先二后一. x y z 0 1 z 0 练习:1. 将化为三次定积分,其中 是由 z = x2 + y2 和 z = 1所围的闭区域. 解：(1) 先将 向 xoy 面投影. z = x2 + y2 Dxy: x2 + y2 1 z = 1 1 Dxy x y z 0 z = 1 z = x2 + y2 1 由 x y z 0 1 Dxy z = 1 z = x2 + y2 得到 (x, y) 1 0-11 x
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