《简明微积分》word版.doc

简简明微积分 Easy&Quick-to-learn Calculus0简简明微积分Easy&Quick-to-learn CalculusFor High School StudentsIsaac NewtonGottfried Wilhelm LeibnizBy Zeizyy致读者一直以来我都把微积分称作一门手艺，他确实是门手艺，可能初中的各位现在还没有概 念，但当你开始接触高中的理科，尤其是高中的数学和物理之后，看着身边的同学熟练地运 用着求导和积分解题时，相信你一定会后悔当初为什么自己没有学。再者,如果你想在高中 的数学和物理，尤其是物理上有一定的建树的话，微积分更显得十分必要。掌握了微积分， 解决某些题目会变得十分快捷。比如,求一已知曲线某一点的曲率半径(本书第三章中会涉及)，v2如果用物理方法，曲率半径是该点速度的平方除以向心加速度，即 r = ，但实际操作起an来十分的繁琐。而运用微积分，知道了曲线的表达式 y ,那么所 x 点的曲率半径 r 就是31 + ( y ) 2 238y ,十分便捷。总之，微积分的应用性十分之强 。微积分是一门手艺，更是一种思想。很多人都说数学离生活太远，因为它太抽象。我不 这么认为。离开了生活，哪来的数学？当然这里的生活可能比一般意义下所理解的要稍微广 义一些，但这的的确确是实实在在的，它会存在于生活中的每个角落。微积分提供我们用另 一种视角来观察这个世界，这你会在学习的过程中逐渐感觉到的。可能在未来的某一天，你会庆幸当年的自己所做的决定，这门手艺，不说终生，至少会 让你受益 as long as 你还在学理科。微积分本来是大学高等数学中的一门课，应该说学习门槛还是很高，但如今编教程的也 不过就是一个连高中都还没毕业的学生，这个反差未免有些大了。实际上，这本教程也正是 专门为中学生设计的。在书中，我弱化了一些定理的证明，而是把重点放在了微积分的强应 用性上。实际上这些证明对于现在的我们可能并不必要重要，我们只要知道怎么使用微积分 来解决一些问题就足够了。数学固然是严密的，但却并不是一成不变的，应用性也是数学的 魅力所在。不过弱化证明并不能代表对于概念理解的扎实程度可以下一个档次，微积分毕竟 是大学课程，要理解透彻并非易事，希望读者能夯实基础，一步一个脚印。对于本书的读者，我想最合适的当属初三的学生了。通过半年左右对于微积分的训练， 对其的理解会加深，技巧会熟练，运用会自如，虽然可能在初三的内容中几乎没什么地方用 的到微积分，不过没关系，耐心等半年。到了高一，全速起航。当然对于其他年龄段的读者同样十分欢迎。 就像前文中说的我也只不过是一个连高中都还没有毕业的学生，能力有限，时间有限。书中可能会有一些笔误，用语可能也不那么专业，当然我想应该没有什么很大的原则性错误。 然后我要感谢同济大学数学系出版的高等数学。本书的一些章节中引用部分书中的段落。当然有些读者可能会说，既然是引用的我还不如看原书，为什么要来看这个呢。正统 的微积分教程大多都是给大学生看的，内容自然会比较完整，基本上每一步都有完整的证明， 让你找不到一丝的破绽，加之其中还穿插有许多作为中学生一般不太会用的内容，作为代价， 这样的教程将会相当厚，而且用语可能超出了中学生的理解范围。就拿同济大学的高等数 学来说，分上下两册，加起来要七八百页。而这本教程的优点在于它挑选出了微积分中最 基本，也是最实用的一些精华部分，适当组合，运用比较简单的语言，让读者在比较短的时间内能够掌握这门所谓的”大学课程”。所谓“简简明”也就是这个意思。 感谢各位读者耐心读完这篇所谓的致读者,和那 RMB15，但相信收获远不止这些。最后，向封面上的两位致敬.谢谢大家.By Zeizyy目录第一章 函数 .3 第一节 函数的概念及特性.3 第二节 基本初等函数. 5 第二章 极限 . 10 第一节 数列的极限. 10 第二节 函数的极限. 10 第三节 无穷小量与无穷大量 . 11 第四节 极限的运算法则. 12 第五节 极限存在准则及两个重要极限. 12 第六节 函数的连续性. 13 第三章 导数与微分 . 13 第一节 导数的定义. 14 第二节 导数公式. 14 第三节 导数的应用. 19 第四章 积分学 . 23 第一节 不定积分的概念. 23 第二节 定积分的概念及应用 . 25 第三节 重积分的概念及应用 . 29附 求导积分练习&希腊字母表. 34第一章 函数Function本章是所谓的 pre-calculus 介于时间和篇幅的原因，对于本章中某些概念的阐述 可能稍显简单，读者稍加了解即可，初学者可参阅 D.D.Ao 出品的高一欢迎你， 数学部分第一章对本章中的基础知识有详细叙述。第一节 函数的概念及特性一、基础知识1 集合的概念 一个集合就是将几个对象适当归类而作为一个整体。构成集合的事物或对象称作元素。集合的元素可以是任何东西：数字，人，字母，别的集合，等等。2 集合的表示 集合可以用文字或数学符号描述，称为描述法，比如：A = x | x2 +1 = 0 空集 A = x | x2 +1 0 实数集 R“|”前为集合的特征元素，“|”后为集合中元素的特征，即满足的条件. 集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，称为列举法，比如：C = 1, 2, 3D = 红色，白色，蓝色，绿色 集合在不严格的意义下也可以通过文氏图来表示。3 集合中的符号Z 整数 Q 有理数 R 实数 C 复数 N 自然数N * 正整数R+ 正数 属于 包含于真包含 空集4 区间表示法 用数轴上的区间来表示大小于关系，十分直观。1)(a, b) = x | a x b2)a, b = x | a x b3)a, b) = x | a x b4)(a, b = x | a a6)(-, b) = x | x 0 ，( $ 表示 Exist 存在)使得 x Z 都有f (x) M ，则称 f ( x) 在 Z 上是有界函数，否则称 f ( x) 无界。2 单调性Def : f (x) 的定义域 D ，区间 I D 。1） 若 x1 x2 I ( 表示 Any 任取)，有 f (x1 ) f (x2 ) ，则 f ( x) 在 I 上单调递 增， I 是 f ( x) 的增区间记 f ( x) 2） 若 x1 f (x2 ) ，则 f ( x) 在 I 上单调递增， I 是 f ( x) 的增 区间记 f ( x) 两者统称单调函数.3 奇偶性Def : y = f (x) 的定义域为 D , x D, $ - x D ,且 f (x) = - f (-x) ,则 f ( x) 为奇 函数 (奇函数关于原点对称).y = f (x) 的定义域为 D , x D, $ - x D ,且 f (x) = f (-x) ,则 f ( x) 为奇 函数 (偶函数关于 y 轴对称).*若 f ( x) 是定义域关于原点对称的函数，则它一定能够表示为一个奇函数与一个偶函数的和。proof :令 f1 ( x) =1 f ( x) + f (-x) ， f2 (x) =21 f ( x) - f (-x) ，则2f1 ( x) 是偶函数，f2 ( x) 是奇函数。f1 (x) + f2 (x) = f (x) ，因为总能找到这样的 f1 ( x) 和 f2 ( x) 使 得两者的和等于 f ( x) ，得证。4 周期性Def : y = f (x) 的定义域是 D ，若 $l 0 ，使得 x D ， x + l D ，有 f ( x+l)=f( x，)则称 f ( x) 为周期函数， l 是 f ( x) 的一个周期。注意区别于最小正周期。值得注意的是有些函数不存在最小正周期，如狄利克雷函数1, x为有理数D( x) = 0, x为无理数，任意有理数都是其周期。四、反函数对于 y = f (x) ，若y W 有且仅有唯一的 x 与之对应时，则可得到一个 x 关于 y的函数关系 x = f -1 ( y) ，称为 y = f (x) 的反函数。习惯上写成 y = f -1 (x) .(上式中的 y是原函数中的 x , x 是原函数中的 y ，改变的是对应法则). 几何上两者关于 y = x 对称. 求法：对于原函数每个因变量仅有一个自变量值与其对应的情况，整理后用 y 表示 x 即 可。否则为了满足函数的特征，即每个自变量只能对应一个因变量，应规定主值区间。*应用：求值域一般来说，求已知函数的定义域可转化为求这个函数反函数的值域.第二节 基本初等函数1 幂函数my = xm (m为常数,m 0, m 1) = x n (m, n Z , 且m, n互素)定义域：n 为偶数n 为奇数m 0D = 0, +)D = Rm 0R = 0, +)R = Rm 0R = (0, +)R = (-, 0) (0, +)图像：先研究第一象限的情况再根据奇偶性画出其他象限的情况.1）幂函数第一象限及 x, y 正半轴的函数图像情况如图:i.m 0 时,幂函数图像为双曲线形，如图中的 x- 1 - 12 和 x 3 .ii.0 m 1 时,幂函数图像为过原点且增长随自变量的增大速度越来越快，即切线斜率随自变量增大越来越大，即导数(详见第三章)越来越大的曲线，如图中的 x2 和 x3 .2）然后根据奇偶性画出二三象限的情况i.m 为偶数，此时幂函数为偶函数，将第一步中得到的图像关于 y 轴对称即得到当前解析式下幂函数的图象。ii.m 为奇数 n 为奇数，此时幂函数为奇函数，将第一步中得到的图像关于原点对称即得到当前 解析式下幂函数的图象。n 为奇数，此时幂函数为非奇非偶函数，函数在自变量小于 0 是没有定义，第一部 中得到的图像及当前解析式下幂函数的图像*几点注意1）上述 m, m, n 同定义中的变量，图中 y = x 不是幂函数。2）注意函数在原点和 x 轴负半轴上是否有定义。3）幂函数恒过定点 (1,1)2 指数函数y = ax (a 0, a 1)0 a 1图像性 质定义域RR值域(0, +)(0, +)定点(0,1)(0,1)单调性在定义域上为减函数在定义域上为增函数对称性y = a x 与 y = a- x 关于 y 轴对称3 对数函数指数函数的反函数（关于 y = x 的对称性），两者性质相似，这里不再赘述 对数定义：是一种求指数的运算，若 a x = b ，则x = loga b , a 称为底数, b 为真数.特别的，ln 是以 e (第二章中会涉及)为底的对数. lg 表示以 10 为底的对数，又称常用对数.y = loga x(a 0, a 1)对数运算率:因为对函数和指数函数互为反函数，所以只要将相应的指数运算律倒过来既得到对 数运算律。如指数运算中，同底数幂乘法，底数不变指数相加，而在对数运算中， 同底数对数加法，底数不变指数相乘和差loga M + loga n = loga MNMloga M - loga N = logaN换底公式logx = logb x （其中b 为任意常数）ba log a* 计算器运算对数时 仅记忆所有以 e 为底的对数即 ln x ， 运 用 换 底 公 式logax = ln x 即可求得任意底数，任意真数的对数.ln a指系bloga Ma a= logb M = b log Mbloga Mb= logaM = 1 log Mb a还原aloga xx= loga a = x互换M loga N = N loga M倒数logab = ln a =ln b1 ln bln a= 1 loga b链式logb loga = ln b ln a = ln a = log ac b ln c ln bln c c4 三角函数三角函数公式众多，这里不一一列举，读者可自行参阅数学手册.1） 正弦函数y = sin x2） 余弦函数y = cos x3） 正切函数y = tan x4） 余切函数y = cot x5） 正割函数y = sec x =6） 余割函数y = csc x =1 cos x1 sin x三角函数直观的定义三角函数线如图中的正弦线，因为 sin 的定义是对边比斜边，而从图中可知，现在的斜边等于单位圆的 半径 1，所以q 角的对边表示正弦的大小。其他的三角比也可以这样构造，精神是要让分母上的边等于单位圆的半径，则分子可以表示该三角笔的大小。5 反三角函数顾名思义，是三角函数的反函数，这里不赘述1） 反正弦函数y = arcsin x2） 反余弦函数y = arccos x3） 反正切函数y = arctan x4） 反余切函数y = arc cot x五、复合函数给定两个函数 f : X Y 和 g : Y Z ，其中 f 的值域等于 g 的定义域（称 为 f 、g 可复合），则其复合函数，记为 g f ，以 X 为定义域， Z 为值域，并 将任意 x X 映射为 g( f (x)六、初等函数由有限个基本初等函数通过有限次(从有限到无限会发生质变)四则运算及有限次复合 可用一个解析式表达的函数。*基本初等函数：幂、指、对、三角、反三角函数.注意其与初等函数的区别.第二章 极限本章与第一章同为所谓 pre-calculus。本章的概念较多，而实际理解起来并不困 难，本章重点为两个重要极限，尤其是自然对数的底 e 的出现.Limits第一节 数列的极限a1 , a2 , a3an数列 an 当 n 无限增大， an 无限接近 A ，则称 A 为数列an 记作： liman = An的极限，否则称它是发散的。第二节 函数的极限一、 x ( 表示趋向于 )时 f ( x) 的极限x 0 ，且 x 无限增大，记 x +x a (a 0) 有意义当 x 时，若 f ( x) 无限接近某一常数 A ，则 A 为 f ( x) 的极限。 记作： lim f ( x) = Ax二、 x x0 时 f ( x) 的极限Def :设 f ( x) 在 x0 的某一邻域内有定义，在 x x0 时，若 f ( x) 的值无限趋近于某个常数A ，则 A 为 x x0 时 f ( x) 的极限。 记作： lim f ( x) = Axx00Def :设 f ( x) 在某邻域左侧 ( x - d , x) 内有意义，当 x x -（左趋近，即从左边趋近）时，-f ( x) 无限趋近某个常数 A ，则 A 为 x x0时 f ( x) 的左极限。+Def :设 f ( x) 在某邻域右侧内有意义，当 x x0（右趋近）时， f ( x) 无限趋近某个常数+A ，则 A 为 x x0时 f ( x) 的右极限。*邻域：以坐标轴上的一个点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域，记作U (a) .设d 是任一正数，则开区间 (a - d , a + d ) 就是点 a 的一个邻域，这个邻域称为点 a 的d 邻域，记作U (a,d ) ，即U (a, d) =x| a- dxa + d.点 a 称为这邻域的中心，d 称为邻域的半径。第三节 无穷小量与无穷大量Def 1:当 x x0 时， f ( x) 的极限为 0，则称当 x x0 时 f ( x) 的极限为无穷小量。Def 2: 当 x x0 时，f ( x) 无限增大，这时 f ( x) 的极限为无穷大量。定理：当 x x0 ， f ( x) 为无穷小量，则1f ( x)为无穷大量.反之亦然.性质 1：有限个无穷小量的代数和为无穷小量。性质 2：有限个无穷小量相乘的乘积仍为无穷小量。*可推得以下结论：0, n m上下同除以 x 的最高次项.而 lim xi (i Z ) 当 i 1 时等于 0，当 i 1 时等于无穷大, 只是有x高低阶之分,根据上述性质将无穷小略去得到以上结论。请读者自行思考证明。第四节 极限的运算法则Th1: 若 lim f ( x) = A ， lim g ( x) = Bxx0xx0(1) lim f ( x) g( x) = lim f ( x) lim g( x) = A Bxx0xx0xx0(2) lim f ( x) g(x) = lim f ( x) lim g( x) = A Bxx0f ( x)xx0lim f ( x)xx0A(3) lim = x x0= (B 0)x x0g ( x) lim g ( x) Bx x0推论 1）以上三个定理都可以推广到有限个2） lim (cf ( x) = c lim f ( x)xx0x3） lim f ( x)n = lim f ( x)nxx0x第五节 极限存在准则及两个重要极限Th1. 夹逼准则若在 x0 的某一点的邻域内， g(x) f (x) h(x) 且 lim g(x) = Alim h(x) = A则 lim f (x) = A可推得重要极限之一 limx0sin x = 1xTh2.极限存在准则（）单调有界数列必有极限可推得重要极限之二 lim(1 +x11 )x = lim(1 + x) x = e xx0其中 e 称为自然对数的底e = 1+1+ 1 + 1 + 1 (泰勒展开式，第三章中会提及)2!3!n!因为(1 + 1 )n 单调增加，且为有界函数，所以必有极限.n*一般地 lim(1 + a )b x = eabx x第六节 函数的连续性函数在某点可导（见第三章）则函数在该点连续.*命题：初等函数在定义域内都连续闭区间上连续函数的定理：Th1：有界性定理函数 y = f (x) 在a, b 上连续，则 f ( x) 在a, b 上一定有界。Th2：介值定理f ( x) 在a, b 上连续，M , N 分别是 f ( x) 在a, b 上的最大值和最小值，则c N , M 至少存在一点x a, b ，使 f (x ) = c推论：零点定理f ( x) 在a, b 上连续且 f (a) f (b) 0 ，则在 (a, b) 上至少有一点是 f (x ) = 0 。Eg. 二