试验设计与数据处理》讲稿第5章.ppsVIP

第5章 优选法试验设计的方法之 一 优选法：合理安排试验，寻找试验最佳点 确定达到最佳试验效果时得因素水平状态 按因素的多少分为两大类：单因素、多因素 5.1 单因素优选法 假定：f(x)是定义在区间(a, b)的单峰函数 在试验设计中： f(x)指的是试验结果； 区间(a, b)表示试验因素的取值范围。 如何确定f(x)获得最大值的近似位置x ？ 方法：来回调试法、均分法 、黄金分割法 、分数 法 、对分法 、抛物线法 、分批试验法 、爬山法 1 5.1.1 来回调试方法 优选法的基础 来回调试，求f (x)的最大值 2 5.1.2 均分法 均分法是单因素试验方法中最简单的方法。 (1) 在考察的范围内，等间距安排试验点。 (2) 试验结果处理后，找出规律和优化条件 。 优点：揭示因素变化对指标影响的规律。 缺点：试验工作量大（次数多）。 如何确定试验范围、试验点数和试验顺序？ 3 试验范围的确定： (1) 按要求 ：自热平衡温度的范围一般取25 100。 (2) 据经验： 液固比一般取2.57 (3) 基础知识：高岭土煅烧温度取500900 试验点数的确定： 两点：确定一条直线，但过两点的曲线是无限的 三点：可画一圆，也可画一条抛物线 四点：可画一条圆锥曲线 34点的规律不可靠，试验点到少要五至六点以上 。 试验范围宽：试验间距大，容易漏去最优点。 试验范围窄：试验间距小，容易落入误差范围内 这是均分法的最大缺点。 试验顺序的确定： 4 5.1.3 黄金分割法（0.618法） 黄金分割法是一个分配比或中外比： 把直线段L分为两部分，使其中一部分对于全部的 比等于其余一部分对于这部分的比： 5 0.618法试验点的具体确定方法 ： 第一次： 4次试验： f(a)、f(b)、f(x1)、f(x2) 如果f(x2)f(x1)，f(x2)f(a)，f(x2)f(b)，则极 值点在(a, x1)之间，去掉(x1, b) 6 第二次：1次试验：f(x3) 如果f(x2)f(x3)，则极值点在( x3, x1)之间，去掉( a, x3) 7 第三次：1次试验：f(x4) 如果f(x4)f(x2)，则极值点在( x2, x1)之间，去掉( x3, x2) 如果f(x2)f(x4)，则极值点在( x3, x4)之间，去掉( x4, x1) 两个试验点在区间的 两个黄金分割点上，即 0. 618和0. 382处，且一 定是相互对称的。因此 可通过折纸来确定试验 点，又称“折纸法”。 第四次：如此类推 8 为什么0.618法能用较少的试验次数就能找 到最优指标的条件呢？ 因为每搜索一回，剩下的试验范围就是原来的0.618倍 ，设搜索次数的n，搜索范围为，如果搜索精度为 ，则： 而第一次试验点数为4，则总试验次数为m=n+3。 例如：高岭土煅烧温度的试验：F=900-500=400 如果要求温度间隔为10。 (1) 用均分法的实验次数为400/10+1=41次。 (2) 用0.618法时，10=0.618n400 0.618n=0.025 解出n=7.7次，取n=8， 则m=n+3=8+3=11次 9 5.1.4 分数法 由菲波那契(Fibonacci)数列： 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 得出分数数列： 1/2 , 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89, 用分数数列来安排试验点的优选法称为分数法。 实际上，0.618法也是分数法的一种，当n 时： 分数法适用场合： 试验点只能取整数的情况 受条件限制只能做几次试验的情况10 分数法的使用 确定等分试验范围的份数：增加或缩减与分母同 根据第一批试验的结果，判断极值的存在区间，然 后继续用分数法安排第二批试验。 分数Fn/Fn+1第一批 试验点位置 等分试验范围 份数Fn+1 试验次数 2/32/3，1/332 3/53/5，2/553 5/85/8，3/884 8/138/13，5/13135 13/2113/21，8/21216 21/3421/34，13/34347 34/5534/55，21/55558 11 5.1.5 对分法 用分数数列第一项(1/2)来安排试验点的方法 特点：每个试验点的位置都在试验区间的中点，每做一 次试验，试验区间长度就缩短一半。 对分法的分法简单，能很快地逼近极值点。 使用条件： 要有一个标准（或具体指标）。 要预知该因素对指标的影响规律。 12 5.1.6 抛物线法 根据已得的三个试验数据，求出过这三点的抛物线的极 大值，作为下次试验的依据，这种方法称抛物线法。 收敛速度快, 即试验次数少, 能快速逼近极值点。 具体做法： 在三个试验点x1 , x2 , x3，且x1x2x3，分别得试验值y1，y2， y3，根据拉格朗日插值法可以得到一个二次函数，是一条抛 物线，在x4取得最大值： 在x=x4处做试验，结果为y4。选取y1，y2，y3，y4中的最大值对 应的xi , 在x1 , x2 , x3和x4中取较靠近xi的左右两点，根据这三 点又可得到一条抛物线方程，如此继续下去，直到找到函数 的极大点（或它的充分邻近的一个点）被找到为止。 13 抛物线法具体做法举例： 假设某矿物有效成分的浸出率与浸出时间的关系如下 图 14 1. 用对分法做试验： 试验点为x1、x2、x3，试验值为y1、y2、y3 15 2. 用抛物线法求x4： 由三个试验点为(x1, y1) 、(x2, y2)、(x3, y3) 作抛物线， 并求出该抛物线的极值点试验值x4 16 3.在x4做试验，得y4 比较y1、y2、y3、y4 ，确定极值点在区间 (x1, x4) 17 4. 用抛物线法求x5 由三个试验点为(x1, y1) 、(x2, y2)、(x4, y4) 作抛物线， 并求出该抛物线的极值点试验值x5 18 5. 在x5做试验，得y5 比较y1、y2、y5、y4 ，确定极值点在区间 (x1, x2) 19 6. 用抛物线法求x6 由三个试验点为(x1, y1) 、(x5, y5)、(x2, y2) 作抛物线， 并求出该抛物线的极值点试验值x6 20 7. 在x6做试验，得y6 比较y1、y2、y5、y6 ，确定极值点在区间 (x1, x5) 21 8. 用抛物线法求x7 由三个试验点为(x1, y1) 、 (x6, y6) 、(x5, y5) 作抛物线， 并求出该抛物线的极值点试验值x7 22 9. 在x7做试验，得y7 比较y1、y5、y6 、y7 ，确定极值点在区间 (x1, x6) 23 10. 用抛物线法求x8 由三个试验点为(x1, y1) 、(x7, y7) 、 (x6, y6) 作抛物线， 并求出该抛物线的极值点试验值x8 24 11. 在x8做试验，得y8 比较y1、y6 、y7 、y8 ，确定极值点在区间 (x1, x7) 25 5.1.7 分批试验法 一批同时做几个试验加速试验速度 均分分批试验法、比例分割分批试验法 1. 均分分批试验法每批用均分法做2n + 1个试验 第一批：用均分法做2n个试验（n为任意正整数），比较结果 ，留下较好点，及其左右一段。 较好点 第二批：在较好点左右这两段用均分法做2n个试验。比较结 果，留下新的较好点，及其左右一段，依次类推。 26 2. 比例分割分批试验法 每批按一定的比例做2n + 1个试验 第二步：在(2n + 1)个分点上做第一批试验，比较结果， 在好试验点左右留下一长(a)和一短(b)两段，使下一 批试验的范围变成a + b。 第一步：把试验范围按比例划分为2n + 2段，其比例为： 第三步：把长段a 按上述比例分成2n + 2段，相邻两段为 a1，b1（a1b1），且a1 = b ，即上一批中短的一段在 下一批变成长段。 这样不断地做下去，就能找到最佳点。 27 比例分割分批试验法图解 第二步：比较结果，留下一长(a)和一短(b)两段，把长 段a 按上述比例分成2n + 2段 第一步：把试验范围按比例划分为2n + 2段： a 较好点 较好点 28 比例分割法是黄金分割法的推广 当n = 0时，即每批作一次试验时 试验范围为（0，1）时每批奇数个试验的安排情况见书 中表5-3（P.73） 29 5.1.8 逐步提高法（爬山法） 加速逼近极值的另一种方法 “两头小，中间大” ： 开始，小步试探，找出有利于寻找目标的方向 当方向确定后，跨大步前进 快到或接近最好点，改为小步 5.1.9 多峰情况 多峰情况比较复杂，需根据具体问题具体分析。 30 5.2 双因素优选法（简介） 单因素优选问题的扩充或延伸，就是要迅速地找 到二元函数z=f(x, y)的最大值及其对应点（x，y） 双因素优选法的几何意义: 单峰问题，z=f(x, y)的图 形就是一座山 找出该山峰的最高点。 常用的双因素优选法: 对开法 、旋升法 、平行 线法、按格上升法 、翻 筋斗法 31 5.2.1 对开法 1.分别在两条中线上用单因素法找最大值P、Q； 2. 根据P、Q值的大小去掉另一半 或3/4； 3.在余下 部分的两条中线上重复第一步的试验，直 到得到所需的结果为止。 32 5.2.2 旋升法“从好点出发法” 1.在一条中线上用单因素法找最大值P1； 2. 然后在过P1点与中线垂直的线上用单因素法找最大值P2； 3.再在