实验五一元函数积分学.ppt

MATLABMATLAB 高等数学实验高等数学实验 实验五实验五 一元函数积分学一元函数积分学 n n 实验目的实验目的 n n 掌握用掌握用MATLABMATLAB计算不定积分与定积分的计算不定积分与定积分的 方法。通过作图和观察，深入理解定积分方法。通过作图和观察，深入理解定积分 的概念和几何意义。理解变上限积分概念的概念和几何意义。理解变上限积分概念 。提高应用定积分解决各种问题的能力。提高应用定积分解决各种问题的能力。 5.1 5.1 学习学习MATLABMATLAB命令命令 5.1.1 5.1.1 积分命令积分命令 n n MATLABMATLAB软件求函数积分的命令是软件求函数积分的命令是intint，它既可以用于计，它既可以用于计 算不定积分，也可以用于计算定积分。算不定积分，也可以用于计算定积分。 n n 具体为具体为: : n n (1)int(f)(1)int(f)求函数求函数f f关于关于symssyms定义的符号变量的不定积分定义的符号变量的不定积分; ; n n (2)int(f,v)(2)int(f,v)求函数求函数f f关于变量关于变量v v的不定积分的不定积分; ; n n (3)int(f,a,b)(3)int(f,a,b)求函数求函数f f关于关于symssyms定义的符号变量的从定义的符号变量的从a a到到b b 的定积分的定积分; ; n n (4)int(f,v,a,b)(4)int(f,v,a,b)求函数求函数f f关于变量关于变量v v的从的从a a到到b b的定积分。的定积分。 5.1.25.1.2数值积分命令数值积分命令 n n quad(f,a,bquad(f,a,b) )命令是用辛普森法求定积分命令是用辛普森法求定积分 的近的近 似值。其形式为似值。其形式为: : symssyms x x quad(f(x),a,bquad(f(x),a,b) ) n n 例如求定积分例如求定积分 的近似值，可以输入的近似值，可以输入: : symssyms x x quad(sin(x.2),0,1)quad(sin(x.2),0,1) n n 则输出为则输出为: : ansans= 0.31030.3103 5.2 5.2 实验内容实验内容 5.2.1 5.2.1 用定义计算定积分用定义计算定积分 n n 当当f(xf(x) )在在 a,ba,b 上连续时，有上连续时，有: : n n 因此将因此将 与与 作为作为 的近似值。在例的近似值。在例1 1中定义这两个近似值为中定义这两个近似值为f f，a a，b b和和n n的函数的函数 。 n n 【例例1 1】计算计算 的近似值。的近似值。 n n 输入输入: : n=128;n=128; x=0:1/n:1;x=0:1/n:1; left_sumleft_sum=0;=0; right_sumright_sum=0;=0; for i=1:nfor i=1:n left_sum=left_sum+x(i)2*(1/n);left_sum=left_sum+x(i)2*(1/n); right_sumright_sum=right_sum+x(i+1)2*(1/n);=right_sum+x(i+1)2*(1/n); endend left_sumleft_sum right_sumright_sum n n 输出为输出为: : left_sumleft_sum= 0.32940.3294 right_sumright_sum= 0.33720.3372 n n 若将以上输入中的若将以上输入中的n n依次换为依次换为2 2，4 4，8 8，1616，3232，6464，128128，256256， 512512，10241024，而其他的不改动，则输出依次为，而其他的不改动，则输出依次为: : n n left_sumleft_sumright_sumright_sum 2 2 0.12500.12500.62500.6250 4 4 0.21880.21880.46880.4688 8 8 0.27340.27340.39840.3984 16160.30270.30270.36520.3652 32320.31790.31790.34910.3491 64640.32560.32560.34120.3412 1281280.32940.32940.33720.3372 2562560.33140.33140.33530.3353 5125120.33240.33240.33430.3343 102410240.33280.33280.33380.3338 n n 这是这是 的一系列近似值，且有的一系列近似值，且有left_sumleft_sum right_sumright_sum。 n n 【例例2 2】计算计算 的近似值。的近似值。 n n 输入输入: : n=100;n=100; x=0:1/n:1;x=0:1/n:1; left_sumleft_sum=0;=0; right_sumright_sum=0;=0; for i=1:nfor i=1:n if i=1 if i=1 left_sumleft_sum=left_sum+1/n;=left_sum+1/n; else else left_sumleft_sum=left_sum+sin(x(i)/x(ileft_sum+sin(x(i)/x(i)*(1/n);)*(1/n); end end right_sumright_sum=right_sum+sin(x(i+1)/x(i+1)*(1/n);=right_sum+sin(x(i+1)/x(i+1)*(1/n); endend left_sumleft_sum right_sumright_sum n n 输出为输出为: : left_sumleft_sum=0.9469=0.9469 righ_sumrigh_sum=0.9453=0.9453 n n 若将以上输入中的若将以上输入中的n n依次换为依次换为5050，150150，200200，500500，而，而 其余不改动，则输出依次为其余不改动，则输出依次为: : n n n n left_sumleft_sumright_sumright_sum 50500.94470.94470.94450.9445 1001000.94690.94690.94530.9453 1501500.94660.94660.94560.9456 2002000.94650.94650.94570.9457 5005000.94620.94620.94590.9459 n n 注注 用这种方法（矩形法）得到的定积分的近似值随用这种方法（矩形法）得到的定积分的近似值随n n收收 敛的很慢。可以利用梯形法或抛物线法改进收敛速度（敛的很慢。可以利用梯形法或抛物线法改进收敛速度（ quadquad命令就是利用抛物线法的）。命令就是利用抛物线法的）。 5.2.2 5.2.2 不定积分计算不定积分计算 n n 【例例3 3】求求 。 n n 输入输入: : symssyms x x int(x2*(1-x3)5,x)int(x2*(1-x3)5,x) n n 则得到输出则得到输出: : ansans= -1/18*x18+1/3*x15-5/6*x12+10/9*x9-1/18*x18+1/3*x15-5/6*x12+10/9*x9- 5/6*x6+1/3*x3 5/6*x6+1/3*x3 n n 即即: : n n 注注 用用MATLABMATLAB软件求不定积分时，不自动添加积分常数软件求不定积分时，不自动添加积分常数C C。 n n 【例例4 4】求求 。 n n 输入输入: : symssyms x x int(exp(-2*x)*sin(3*int(exp(-2*x)*sin(3*x),xx),x) ) n n 则得到输出则得到输出: : ansans= -3/13*exp(-2*x)*cos(3*x)-2/13*exp(-2*x)*sin(3*x)-3/13*exp(-2*x)*cos(3*x)-2/13*exp(-2*x)*sin(3*x) n n 即即: : n n 【例例5 5】求求 n n 输入输入: : symssyms x x int(atan(xint(atan(x)*x2,x)*x2,x) n n 则得到输出则得到输出: : ansans= 1/3*x3*atan(x)-1/6*x2+1/6*log(x2+1)1/3*x3*atan(x)-1/6*x2+1/6*log(x2+1) n n 即即: : n n 【例例6 6】求求 n n 输入输入: : symssyms x x int(sin(x)/x,xint(sin(x)/x,x) ) n n 则输出为则输出为: : ansans= sinint(xsinint(x) ) n n 它已不是初等函数。它已不是初等函数。 5.2.3 5.2.3 定积分计算定积分计算 n n 【例例7 7】求求 n n 输入输入: : symssyms x x jf jf=int(x-x2),x,0,1)=int(x-x2),x,0,1) n n 则得到输出则得到输出: : jf jf= 1/61/6 n n 【例例8 8】求求 n n 输入输入: : symssyms x x jf jf=int(abs(x-2),x,0,4)=int(abs(x-2),x,0,4) n n 则得到输出则得到输出: : jf jf= 4 4 n n 【例例9 9】求求 n n 输入输入: : symssyms x x jf jf=int(sqrt(4-x2),x,1,2)=int(sqrt(4-x2),x,1,2) n n 则得到输出则得到输出: : jf jf= 2/3*pi-1/2*3(1/2)2/3*pi-1/2*3(1/2) n n 【例例1010】求求 n n 输入输入: : symssyms x x jf jf=int(exp(-x2),x,0,1)=int(exp(-x2),x,0,1) n n 则输出为则输出为: : jf jf= 1/2*erf(1)*pi(1/2)1/2*erf(1)*pi(1/2) n n 其中其中erferf是误差函数，它不是初等函数。改为求数值积分是误差函数，它不是初等函数。改为求数值积分 ，输入，输入: : symssyms x x quad(exp(-x.2),0,1)quad(exp(-x.2),0,1) n n 则有结果则有结果: : ansans= 0.74680.7468 5.2.4 5.2.4 变上限积分变上限积分 n n 【例例1111】求求 n n 输入输入: : diff(int(w(x),0,(cos(x)2)diff(int(w(x),0,(cos(x)2) n n 则得到输出则得到输出: : ansans=-2*=-2*cos(xcos(x)*)*sin(xsin(x)*w(cos(x)2)*w(cos(x)2) n n 即即: : n n 注注 这里使用了复合函数求导公式。这里使用了复合函数求导公式。 5.2.5 5.2.5 定积分应用定积分应用 n n 【例例1212】求曲线求曲线 与与x x轴所围成的图形分轴所围成的图形分 别绕别绕x x轴和轴和y y轴旋转所形成的旋转体体积。用轴旋转所形成的旋转体体积。用surfsurf命令作出命令作出 这两个旋转体的图形。这两个旋转体的图形。 n n 在图形绕在图形绕x x轴旋转时，体积轴旋转时，体积 n n 在图形绕在图形绕y y轴旋转时，体积轴旋转时，体积 n n 输入输入: : ezplot(xezplot(x*sin(x)2,0,pi)*sin(x)2,0,pi) n n 执行后得到的图形如图执行后得到的图形如图5-15-1所示。所示。 图图5-15-1 n n 观察观察g(xg(x) )的图形。再输入的图形。再输入: : syms xsyms x int(pi*(x*(sin(x)2)2,x,0,pi)int(pi*(x*(sin(x)2)2,x,0,pi) n n 则得到则得到: : ans=ans= 1/8*pi4-15/64*pi21/8*pi4-15/64*pi2 n n 即即: : n n 又输入又输入: : syms xsyms x int(2*x2*pi*sin(x)2,x,0,pi) int(2*x2*pi*sin(x)2,x,0,pi) n n 则得到则得到: : ansans= 1/3*pi4-1/2*pi21/3*pi4-1/2*pi2 n n 即即: : n n 若输入若输入: : symssyms x x quad(2*pi*(x.2).*sin(x).2,0,pi)quad(2*pi*(x.2).*sin(x).2,0,pi) n n 则得到体积的近似值为则得到体积的近似值为: : ansans= 27.534927.5349 n n 为了作出旋转体的图形，输入为了作出旋转体的图形，输入: : r=0:0.1:pi; t=-pi:0.1:pi;r=0:0.1:pi; t=-pi:0.1:pi; r,t=meshgrid(r,t);r,t=meshgrid(r,t); x=r;x=r; z=r.*sin(t).*sin(r).2;z=r.*sin(t).*sin(r).2; y=r.*cos(t).*sin(r)