向量在几何的应用.ppt

向量在平面几何中解题 的应用 复习旧知: （1）向量共线的条件: 与 共线 （2）向量垂直的条件： （3）两向量相等的条件： 且方向相同。 1.应用向量知识证明平面几何有关定理 例1、证明直径所对的圆周角是直角 A B C O 如图所示，已知O，AB为直径，C 为O上任意一点。求证ACB=90 分析：要证ACB=90，只须证向 量 ，即 。 解：设 则 ， 由此可得： 即 ，ACB=90 思考：能否用向量坐标形式证明？ . 练习: 证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 A B DC 已知：平行四边形ABCD 求证： 分析：因为平行四边形对边平行且相等，故 设 其它线段对应向量用它们 表示。 A B DC 解：设 ，则 例2.如图 ABCD中，点E,F分别是AD、DC的中点，BE、 BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间 的关系吗？ AB C D E R T F 提示：将几何问题转化为向量问题 2.应用向量知识证明三线共点、三点共线 例2、已知：如图AD、BE、CF是ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 F A BC D E A BC D E H 分析一：设AD与BE交于H， 只要证CHAB， 即高CF与CH重合， 即CF过点H 只须证 由此可设 如何证 ？ 利用ADBC，BECA，对应向量垂直。 2.应用向量知识证明三线共点、三点共线 例2、已知：如图AD、BE、CF是ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 F A BC D E A BC D E H 设 例2、已知：如图AD、BE、CF是ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 H F A BCD E 分析二：如图建立坐标系， 设A(0,a) B(b,0) C(c,0) 只要求出点H、F的坐标，就可求出 、 的坐标进而确定 两向量共线，即三点共线。 再设H(0,m) F(x,y) 由A、B、F共线；CFAB对应向量共线及垂直解得： 可得： 例、已知：如图AD、BE、CF是ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 H F A BCD E 可得： 可得： 即 而CF、CH有公共点C， 所以C、H、F共线，即 AD、BE、CF交于一点 CHCF/ 练习：如图已知ABC两边AB、AC 的中点分别为M、N，在BN延长线上取点P， 使NP=BN，在CM延长线上取点Q， 使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线 A B C N M Q P 解：设 则 由此可得 练习：如图已知ABC两边AB、AC 的中点分别为M、N，在BN延长线上取点P， 使NP=BN，在CM延长线上取点Q， 使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线 A B C N M Q P 即 故有 ，且它们有 公共点A，所以P、A、Q三点共线 因为： 应用向量知识证明等式、求值 例、如图ABCD是正方形M是BC的中点， 将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF， 若正方形面积为16，求AEM的面积 AB C D M N E F 分析：如图建立坐标系，设E(e,0)M(4,2), N是AM的中点故N(2,1) =(2,1)-(e,0)=(2-e,1) 解得：e=2.5 故AEM的面积为5 例、如图ABCD是正方形M是BC的中点， 将正方形折起， 使点A与M重合，设折痕为EF， 若正方形面积为64， 求AEM的面积 AB C D M N E F 解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由正方形面 积为64，可得边长为8，由题意可得M(8,4)， N是AM的 中点，故N(4,2) =(4,2)-(e,0)=(4-e,1) 解得：e=5 即AE=5 练习、PQ过OAB的重心G， 且OP=mOA,OQ=nOB 求证： 分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB, 联想线段的定比分点，利 用向量坐标知识进行求解。 O A B G P Q 由PO=mOA, QO=nOB可知： O分 的比为 ，O分 的比为 -m -n ? ? 练习、PQ过OAB的重心G， 且OP=mOA,OQ=nOB 求证： O A B G P Q 由此可设 由向量定比 分点公式，可求P、Q的坐标，而G为重心， 其坐标也可求出，进而由向量 ， 得到 m n 的关系。 练习、PQ过OAB的重心G， 且OP=mOA,OQ=nOB 求证： O A B G P Q 证：如图建立坐标系， 设 所以重心G的坐标为 由PO=mOA, QO=nOB可知： 即O分 的比为-m，O分 的比为-n 练习、PQ过OAB的重心G， 且OP=mOA,OQ=nOB 求证： O A B G P