数值积分与数值微分.ppt

1 对于积分 但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象: 4.1 数值积分概论 例如求一条河道的某个截面积。 如果知道f(x)的原函数F(x)，则由Newton-Leibniz公式有 (1) f(x)的解析式根本不存在，只给出了f(x)的一些数值; (2) f(x)的原函数F(x)求不出来，如F(x)不是初等函数; (3) f(x)的表达式结构复杂，求原函数较困难。 Chapter 4 Numerical Integration 4.1.1 数值求积的基本思想 2 定积分的几何意义： 是由曲线yf(x)，直线 x=a，x=b，与x轴所围成的曲 边梯形的面积。 由积分中值定理: I是以b-a为底,高为f()的矩形 的面积。 f()称为a,b上的平均 高度。 当f(x)在a,b上连续， Chapter 4 Numerical Integration 4.1 数值积分概论 4.1.1 数值求积的基本思想 3 2、 中矩形公式 1、 梯形公式 取 取 Chapter 4 Numerical Integration 4.1 数值积分概论 4.1.1 数值求积的基本思想 4 3、 Simpson公式 取 Chapter 4 Numerical Integration 4.1 数值积分概论 4.1.1 数值求积的基本思想 5 机械求积公式: 在a,b中有n+1个互异的节点x0, x1, x2, xn。 称上式为机械求积公式，其中x0 xn为求积节点， Ai(i=0,1,n)为求积系数(权)。 1、求积系数Ak仅与节点xi的选取有关,而不依赖于被积 函数f(x)的具体形式； 注: 2、通过机械求积,把求积分值转化为求函数值,避免了 Newton-Leibnits求原函数的困难； 3、机械求积是求定积分的近似方法。 为求积公式的误差或余项。 Chapter 4 Numerical Integration 4.1 数值积分概论 6 4.1.2 代数精度概念 定义：若机械求积公式 对所有不超过m次的多项式Pm(x)都精确成立，即R (Pm)=0， 而对某一个m+1次多项式Pm+1(x)近似成立，即R (Pm+1) 0。 则称机械求积公式具有m次代数精度。 判断代数精度的方法 当f(x)=1,x,x2,xm时,求积公式精确成立, 而f(x)= xm+1 时公式近似成立， 求积公式的代数精度为m 次. Chapter 4 Numerical Integration 4.1 数值积分概论 7 例：验证梯形公式的代数精度为1。 Chapter 4 Numerical Integration 4.1 数值积分概论 8 设有求积公式 试确定系数A0,A1,A2，使这个公式具有最高的代数精度。 Chapter 4 Numerical Integration 4.1 数值积分概论 9 利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下: 4.1.3 插值型求积公式 Chapter 4 Numerical Integration 4.1 数值积分概论 10 这就是数值求积公式 Chapter 4 Numerical Integration 4.1 数值积分概论 4.1.3 插值型求积公式 11 设将积分区间 分成n等分，记步长 ， 求积节点 为等距节点 且对应函数值 已知，则以这些等距节点为 插值节点所导出的插值型求积公式就称为牛顿 柯特斯求积公式，简称N-C公式。 4.2 Newton-Cotes数值求积公式 Chapter 4 Numerical Integration 1212 选取一个简单的函数(x)近似代替f(x)，得 牛顿-柯特斯的思想：选取(x) 为插值多项式Pn(x)，推 导出实用的数值积分公式。 再推导出简便实用的计算公式。 4.2 Newton-Cotes数值求积公式 Chapter 4 Numerical Integration 基本思想： 1313 4.2 Newton-Cotes数值求积公式 Chapter 4 Numerical Integration 在a, b作等距的插值基点 a=x0x1xn=b ， 令 1414 由 积分作代换x= a+th, 则 推导具体计算公式 dx=hdt, 当x=a时t=0，当x=b时t=n， xxj=(sj )h, =i(i-1)1(-1)(-2)(-(n-i) hn = (-1)n-i i! (n-i)! hn 4.2 Newton-Cotes数值求积公式 Chapter 4 Numerical Integration 1515 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式 n 1 1/2 1/2 2 1/6 4/6 1/6 3 1/8 3/8 3/8 1/8 4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 柯特斯系数 Chapter 4 Numerical Integration 16 下面分别考虑几种特殊请况。 （一）梯形公式 若积分区间x0,x1两端点处的函数值f0,f1为已知，可应用线 性插 值公式L1(x)在区间x0,x1上的积分来近似,这就是n=1的 情 况。当n =1时，C0(1)= C1(1)= 1/2，于是有 上式称为梯形公式。 积分的这种近似计算方法称为梯形法则。 它的几何意义是 用四边梯形x0 ABx1的面积(x1x0)(f0+f1)/2代 替曲边梯形 的面积 。 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式 Chapter 4 Numerical Integration 17 当n=1时, 有 （一）梯形公式 18 当n=1时，为梯形公式 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式 Chapter 4 Numerical Integration 19 （二）辛普森(Simpson)公式 如果已知步长的三个等距节点x0x1x2处的函数值f0、f1和 f2， 则可应用二次插值公式(抛物线插) L2(x)值在区间x0,x2上 进行积分。这就是牛顿柯特斯求积公式中n=2的情况。 这里， C0(2) =1/6 , C1(2) =2/3 , C2(2) =1/6 可得 式中h=(x2 -x0)/2, 它通常称式为辛普森公式或抛物线公式 。它的几何意义是用抛物线y=L2(x)围成的曲边梯形面积代替由 y=f(x)围成的曲边梯形面积。 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式 Chapter 4 Numerical Integration 20 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式 牛顿柯特斯求积公式当n=2时有 21 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式 Chapter 4 Numerical Integration 22 Chapter 4 Numerical Integration 误差分析 作为插值型求积公式的Newton-CotesNewton-Cotes公式至少具有 n次代数精度。 由定理1可得： 定理3： 当阶n为偶数时， Newton-CotesNewton-Cotes公式至少具有 n+1次代数精度。 23 试证梯形公式的代数精确度为1。 证明 梯形公式是 误差 当f(x)=0,x 时，梯形公式成为准确等式。 当f(x)=x2 时，根据梯形公式，左= 右= 左 因此，公式的代数精确度为1。 Chapter 4 Numerical Integration 误差分析 24 试证抛物线公式的代数精确度为3。 证明 抛物线公式是 误差 当f(x)=0,x,x2,x3 时, 抛物线公式成为准确等式。 当f(x)=x4 时， 因此，公式的代数精确度为3。 抛物线公式不能准确成立。 Chapter 4 Numerical Integration 误差分析 25 梯形公式的求积余项： 梯形公式的误差取决于插值多项式L1(x)的误差。 误差分析 辛普森公式的求积余项为： Chapter 4 Numerical Integration 26 Chapter 4 Numerical Integreation 复化求积公式复化求积公式 从积分余项可以看到，积分区间越小，可使求积公式的 截断误差变小。因此，我们经常把积分区间分成若干小 区间，在每个小区间上采用次数不高的插值公式，如梯 形公式或抛物线公式，构造出相应的求积公式，然后再 把它们加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化 求积公式的基本思想。 复化求积公式克服了高次Newton-Cotes公式计算不稳定 的问题，其运算简单且易于在计算机上实现。 常用的复化求积公式是复化梯形公式和复化抛物线公式 27 复合梯形求积公式复合梯形求积公式 将区间 n等分，记分点为: 并在每个小区间 上应用梯形公得： Chapter 4 Numerical Integration 28 复合辛普生求积公式复合辛普生求积公式 在每个小区间 上,用辛普生公得 : 记: 其中 为 的中点，即 Chapter 4 Numerical Integration 29 Matlab 计算积分 Z=trapz(X,Y) 用梯形公式计算积分 例计算 X = 0:pi/100:pi; Y = sin(x); Z = trapz(X,Y) Chapter 4 Numerical Integration 30 Matlab 计算积分 Quadrature is a numerical method used to find the area under the graph of a function, that is, to compute a definite integral. q = quad(fun,a,b) approximates the integral of function fun from a to b to within an error of 10-6 usin