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7.2 向量的坐标表示 一 空间直角坐标系 二 向量在轴上的投影 三 向量的坐标表示 一 空间直角坐标系 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手法则 。 即以右手握住 轴轴，当 轴轴右手的四个手指从正向 轴时轴时 ，角度转转向正向以 轴轴的正拇指的指向就是向。 大 x y z 0 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 空间的点有序数组 特殊点的表示: 轴上的点轴上的点 轴上的点 面上的点 面上的点面上的点 坐标原点 二 向量在轴上的投影与投影定理 设有一轴是轴上的有向线段。 空间两向量的夹角： 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角。 两非零向量 与 的夹夹角 空间一点在轴上的投影： 过过点作轴轴的垂直平面， 即为为点在轴轴上的 交点 投影。 空间一向量在轴上的投影： 记为记为 定理1 向量在轴轴上的投影等于向量的模乘以 轴与向量的夹角的余弦，即 投影， 设设向量的起点和终终点在轴轴上的投影分别为别为 那么轴轴上的有向线线段的值值，轴称为向量在上的 定理2 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量 在该轴上的投影之和，即 1 向量的坐标标表示 三 向量的坐标 以分别别表示沿 轴轴正向的单单位向量。 设向量 则 所以 （向量的坐标分解式） 的向径。称为点 分别称向量为在三个坐标轴上的分向量， 称为向量的坐标。向量 又可以表示为 （向量的坐标表达式 ） 起点固定在原点，终点在点的向量注：（1） （2） （3） 2 向量的模与方向余弦的坐标表示 设向量 则 所以 称非零向量 的正向的夹角为方向角. 与三条坐标轴 由投影定理1有 同理 称非零向量的方向角的余弦为的方向余弦。 易见 ： 3 向量的加、减、数乘运算的坐标表示 设 所以 同理 则 4 空间间两点间间的距离 设设 为为空间间两点 ， 则 所以 解 所求点为 例1 设设在轴轴上，它到 到点的距离的两倍，求点 的坐标标. 的距离为 因为为在轴轴上， 设点坐标为 解 例2 求向量 的方向余弦。 的方向余弦为： 例3 设设有向量已知它与轴轴和 轴轴的夹夹角分别为别为 和 如果的坐标为标为求 的坐标标。 解 设设向量的方向角为为则 因此 所以的坐标标是 的坐标标加上的坐标，即是 例4 设设和为为两已知点， 直线线上的点分有向线线段为为两部分 使它们们的值值的比等于某数即 而在 解 ，求分
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